Номер 137, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

137 Изобразите два графа с шестью вершинами степени $2$: один связный, а другой — нет.

один связный

Связный граф, у которого все шесть вершин имеют степень 2, представляет собой простой цикл, проходящий через все эти вершины. Такой граф называется циклическим графом $C_6$.

Обозначим вершины графа как $v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6$. Рёбра будут соединять их последовательно, образуя замкнутую цепь: $(v_1, v_2), (v_2, v_3), (v_3, v_4), (v_4, v_5), (v_5, v_6), (v_6, v_1)$.

Каждая вершина в таком графе соединена ровно с двумя другими вершинами, следовательно, её степень равна 2. Граф является связным, так как из любой вершины можно достичь любую другую, двигаясь по рёбрам цикла.

Визуально такой граф можно представить в виде шестиугольника, где углы — это вершины, а стороны — рёбра.

Ответ: Связный граф с шестью вершинами степени 2 — это циклический граф $C_6$ (шестиугольник).

а другой — нет

Несвязный граф с шестью вершинами степени 2 должен состоять из нескольких (двух или более) отдельных компонент связности. Поскольку степень каждой вершины во всём графе равна 2, то и внутри каждой компоненты все вершины должны иметь степень 2. Это означает, что каждая компонента связности сама по себе является циклом.

Нам нужно разбить 6 вершин на несколько групп так, чтобы каждая группа образовывала цикл. Наименьшее число вершин в простом цикле — три (граф $C_3$, треугольник). Единственный способ разбить 6 вершин на циклы (с числом вершин не менее трёх в каждом) — это создать два цикла по три вершины.

Таким образом, несвязный граф будет состоять из двух непересекающихся циклов $C_3$. Например, первая компонента — это вершины $v_1, v_2, v_3$ с рёбрами $(v_1, v_2), (v_2, v_3), (v_3, v_1)$, а вторая компонента — это вершины $v_4, v_5, v_6$ с рёбрами $(v_4, v_5), (v_5, v_6), (v_6, v_4)$.

В этом графе степень каждой из шести вершин равна 2, но сам граф является несвязным, так как отсутствуют рёбра между первой и второй компонентами (например, нет пути из $v_1$ в $v_4$).

Визуально такой граф можно представить в виде двух отдельных треугольников.

Ответ: Несвязный граф с шестью вершинами степени 2 — это объединение двух непересекающихся циклов $C_3$ (два треугольника).