Номер 232, страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

232 Из множества натуральных чисел от 1 до 100 выбирают два различных числа.

Какие из перечисленных ниже событий невозможные, а какие — достоверные?

A «одно из чисел больше другого»;

B «одно из чисел больше другого на 100»;

C «сумма выбранных чисел — положительное число»;

D «одно из двух данных чисел меньше половины другого числа».

Для ответа на вопрос проанализируем каждое событие в отдельности, исходя из условия, что из множества натуральных чисел от 1 до 100 выбирают два различных числа. Обозначим эти числа как $a$ и $b$, где $a, b \in \{1, 2, ..., 100\}$ и $a \ne b$.

А «одно из чисел больше другого»

По условию задачи, выбранные числа $a$ и $b$ различны, то есть $a \ne b$. Для любых двух различных действительных чисел одно из них обязательно больше другого. Это следует из свойства упорядоченности множества чисел. Таким образом, при любом выборе двух различных чисел одно из них будет больше другого. Это событие будет происходить всегда.

Ответ: достоверное событие.

B «одно из чисел больше другого на 100»

Пусть одно число $a$ больше другого числа $b$ на 100. Математически это можно записать как $a - b = 100$. Оба числа принадлежат множеству $\{1, 2, ..., 100\}$. Максимально возможная разность между двумя числами из этого множества достигается при выборе наибольшего и наименьшего чисел: $100 - 1 = 99$. Поскольку максимальная разность равна 99, разность между любыми двумя числами из данного множества не может быть равна 100. Следовательно, это событие не может произойти никогда.

Ответ: невозможное событие.

C «сумма выбранных чисел — положительное число»

Выбираются натуральные числа из диапазона от 1 до 100. Любое натуральное число является положительным. Сумма двух положительных чисел всегда есть число положительное. Наименьшие возможные числа для выбора — это 1 и 2. Их сумма равна $1 + 2 = 3$. Так как даже минимально возможная сумма положительна, сумма любых двух чисел из данного множества всегда будет положительной. Следовательно, это событие будет происходить всегда.

Ответ: достоверное событие.

D «одно из двух данных чисел меньше половины другого числа»

Чтобы определить тип этого события, нужно проверить, всегда ли оно происходит или никогда не происходит.

• Пример, когда событие происходит: выберем числа 3 и 10. Половина от 10 — это 5. Так как $3 < 5$, то есть $3 < 10/2$, условие выполняется. Значит, событие не является невозможным.
• Пример, когда событие не происходит: выберем числа 2 и 3. Половина от 3 — это 1.5. Условие $2 < 1.5$ ложно. Половина от 2 — это 1. Условие $3 < 1$ также ложно. Ни одно из чисел не меньше половины другого. Значит, событие не является достоверным.

Поскольку событие может как произойти, так и не произойти в зависимости от выбора чисел, оно не является ни невозможным, ни достоверным. Такое событие называют случайным.

Ответ: случайное событие (не является ни невозможным, ни достоверным).