Страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

231 Игральную кость бросают 2 раза. Укажите, какие из перечисленных ниже случайных событий являются невозможными, а какие — достоверными.

A «сумма выпавших очков меньше, чем 100»;

B «в сумме выпадет одно очко»;

C «в сумме выпадет 13 очков»;

D «в сумме выпадет два или больше очков».

Чтобы определить, какие из перечисленных событий являются невозможными, а какие — достоверными, сначала найдем наименьшую и наибольшую возможную сумму очков при бросании игральной кости дважды. Стандартная игральная кость имеет грани с числами от 1 до 6.

Минимально возможная сумма очков получается, если оба раза выпадает 1: $1 + 1 = 2$.

Максимально возможная сумма очков получается, если оба раза выпадает 6: $6 + 6 = 12$.

Таким образом, любая сумма очков $S$, которая может выпасть при двух бросках, находится в пределах от 2 до 12 включительно, то есть $2 \le S \le 12$. Теперь проанализируем каждое событие.

Так как максимальная возможная сумма очков равна 12, то любая выпавшая сумма всегда будет меньше 100. Это событие произойдет при любом исходе бросков, поэтому оно является достоверным.

Ответ: достоверное событие.

Минимальная возможная сумма очков при двух бросках равна 2. Получить в сумме 1 очко невозможно. Следовательно, это событие является невозможным.

Ответ: невозможное событие.

Максимальная возможная сумма очков при двух бросках равна 12. Получить в сумме 13 очков невозможно, так как $13 > 12$. Следовательно, это событие является невозможным.

Ответ: невозможное событие.

Минимальная возможная сумма очков при двух бросках равна 2. Это означает, что при любом исходе бросков сумма всегда будет равна 2 или больше. Это событие произойдет при любом исходе, поэтому оно является достоверным.

Ответ: достоверное событие.

232 Из множества натуральных чисел от 1 до 100 выбирают два различных числа.

Какие из перечисленных ниже событий невозможные, а какие — достоверные?

A «одно из чисел больше другого»;

B «одно из чисел больше другого на 100»;

C «сумма выбранных чисел — положительное число»;

D «одно из двух данных чисел меньше половины другого числа».

Для ответа на вопрос проанализируем каждое событие в отдельности, исходя из условия, что из множества натуральных чисел от 1 до 100 выбирают два различных числа. Обозначим эти числа как $a$ и $b$, где $a, b \in \{1, 2, ..., 100\}$ и $a \ne b$.

А «одно из чисел больше другого»

По условию задачи, выбранные числа $a$ и $b$ различны, то есть $a \ne b$. Для любых двух различных действительных чисел одно из них обязательно больше другого. Это следует из свойства упорядоченности множества чисел. Таким образом, при любом выборе двух различных чисел одно из них будет больше другого. Это событие будет происходить всегда.

Ответ: достоверное событие.

B «одно из чисел больше другого на 100»

Пусть одно число $a$ больше другого числа $b$ на 100. Математически это можно записать как $a - b = 100$. Оба числа принадлежат множеству $\{1, 2, ..., 100\}$. Максимально возможная разность между двумя числами из этого множества достигается при выборе наибольшего и наименьшего чисел: $100 - 1 = 99$. Поскольку максимальная разность равна 99, разность между любыми двумя числами из данного множества не может быть равна 100. Следовательно, это событие не может произойти никогда.

Ответ: невозможное событие.

C «сумма выбранных чисел — положительное число»

Выбираются натуральные числа из диапазона от 1 до 100. Любое натуральное число является положительным. Сумма двух положительных чисел всегда есть число положительное. Наименьшие возможные числа для выбора — это 1 и 2. Их сумма равна $1 + 2 = 3$. Так как даже минимально возможная сумма положительна, сумма любых двух чисел из данного множества всегда будет положительной. Следовательно, это событие будет происходить всегда.

Ответ: достоверное событие.

D «одно из двух данных чисел меньше половины другого числа»

Чтобы определить тип этого события, нужно проверить, всегда ли оно происходит или никогда не происходит.

• Пример, когда событие происходит: выберем числа 3 и 10. Половина от 10 — это 5. Так как $3 < 5$, то есть $3 < 10/2$, условие выполняется. Значит, событие не является невозможным.
• Пример, когда событие не происходит: выберем числа 2 и 3. Половина от 3 — это 1.5. Условие $2 < 1.5$ ложно. Половина от 2 — это 1. Условие $3 < 1$ также ложно. Ни одно из чисел не меньше половины другого. Значит, событие не является достоверным.

Поскольку событие может как произойти, так и не произойти в зависимости от выбора чисел, оно не является ни невозможным, ни достоверным. Такое событие называют случайным.

Ответ: случайное событие (не является ни невозможным, ни достоверным).

233 Андрей и Борис решили купить мороженое и встали в очередь перед киоском «Мороженое». Сколькими способами они могут расположиться друг за другом? Выпишите все эти способы.

Данная задача заключается в том, чтобы определить количество возможных порядков (перестановок) для двух человек в очереди и перечислить все эти порядки.

Сколькими способами они могут расположиться друг за другом?

Для решения можно использовать простое логическое рассуждение.

На первое место в очереди может встать либо Андрей, либо Борис. Это даёт нам 2 варианта для первой позиции.

Когда первая позиция занята одним из них, на вторую позицию остаётся только один человек. Это даёт нам 1 вариант для второй позиции.

Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить число вариантов для каждой позиции: $2 \times 1 = 2$.

Таким образом, Андрей и Борис могут расположиться друг за другом двумя способами.

Этот же результат можно получить, используя формулу для числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$.
В нашем случае количество элементов (человек) $n=2$. Тогда число способов равно:

$P_2 = 2! = 1 \times 2 = 2$

Выпишите все эти способы.

Существует два возможных варианта расположения в очереди:

1. Первым стоит Андрей, за ним — Борис.

2. Первым стоит Борис, за ним — Андрей.

Ответ: 2 способа. Возможные варианты: (Андрей, Борис) и (Борис, Андрей).

234 В киоске продаётся мороженое трёх сортов: сливочное, шоколадное и клубничное. Андрей и Борис покупают по одной порции. Выпишите в виде таблицы элементарные события этого опыта. Сколько всего получилось элементарных событий? Перечертите в тетрадь и продолжите заполнять таблицу 48.

Таблица 48

Для решения задачи необходимо перечислить все возможные комбинации выбора мороженого Андреем и Борисом. В киоске продаётся три сорта мороженого: сливочное, шоколадное и клубничное. Каждый из мальчиков покупает по одной порции, и их выбор не зависит друг от друга.

Выпишите в виде таблицы элементарные события этого опыта.

Элементарное событие в данном опыте — это упорядоченная пара, где на первом месте стоит сорт мороженого, который выбрал Андрей, а на втором — сорт, который выбрал Борис. Систематически переберём все возможные варианты и занесём их в таблицу.

Ответ: Все элементарные события этого опыта представлены в заполненной таблице выше.

Сколько всего получилось элементарных событий?

Чтобы найти общее количество элементарных событий, можно воспользоваться комбинаторным правилом умножения. У Андрея есть 3 возможных варианта выбора мороженого. Для каждого из этих трёх вариантов у Бориса также есть 3 варианта выбора.

Следовательно, общее число комбинаций (элементарных событий) равно произведению числа вариантов для каждого мальчика:

$3 \times 3 = 9$

Также общее число событий можно найти, посчитав количество строк с данными в составленной таблице. Их ровно 9.

Ответ: Всего получилось 9 элементарных событий.

235 Андрей, Борис и Владимир решили купить мороженое и встали в очередь.

Сколькими способами они могут расположиться друг за другом?

Выпишите все эти способы.

Сколькими способами они могут расположиться друг за другом?

Эта задача заключается в нахождении количества перестановок для трех человек. Обозначим имена первыми буквами: Андрей (А), Борис (Б), Владимир (В).
На первое место в очереди может встать любой из трех человек, значит, у нас есть 3 варианта.
После того как первый человек занял свое место, на второе место может встать один из двух оставшихся, то есть есть 2 варианта.
На последнее, третье, место встанет тот, кто остался, — 1 вариант.
Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции:
$3 \times 2 \times 1 = 6$
Это значение соответствует числу перестановок из 3 элементов, которое вычисляется как факториал числа 3:
$P_3 = 3! = 6$
Ответ: 6 способами.

Выпишите все эти способы.

Перечислим все возможные варианты расположения Андрея (А), Бориса (Б) и Владимира (В) в очереди:
1. Андрей, Борис, Владимир (А, Б, В)
2. Андрей, Владимир, Борис (А, В, Б)
3. Борис, Андрей, Владимир (Б, А, В)
4. Борис, Владимир, Андрей (Б, В, А)
5. Владимир, Андрей, Борис (В, А, Б)
6. Владимир, Борис, Андрей (В, Б, А)
Ответ: Андрей, Борис, Владимир; Андрей, Владимир, Борис; Борис, Андрей, Владимир; Борис, Владимир, Андрей; Владимир, Андрей, Борис; Владимир, Борис, Андрей.

236 Игральную кость подбрасывают дважды. Нарисуйте в тетради таблицу элементарных событий этого эксперимента. Закрасьте в таблице элементарные события, при которых в сумме выпадет:

а) менее 4 очков;

б) ровно 7 очков;

в) ровно 11 очков;

г) чётное число очков.

При подбрасывании игральной кости дважды, элементарным событием (исходом) является упорядоченная пара чисел $(i, j)$, где $i$ — число очков, выпавшее при первом броске, а $j$ — число очков, выпавшее при втором. Всего возможно $6 \times 6 = 36$ различных элементарных событий. Для наглядности составим таблицу, в ячейках которой будем указывать сумму очков $i+j$, выпавших на двух костях.

а) менее 4 очков

Событие "в сумме выпадет менее 4 очков" означает, что сумма очков равна 2 или 3. Найдем элементарные события, соответствующие этим суммам:

• Сумма равна 2: (1, 1).
• Сумма равна 3: (1, 2), (2, 1).

Всего 3 благоприятных события. Закрасим соответствующие ячейки в таблице сумм:

Ответ: Элементарные события: (1, 1), (1, 2), (2, 1).

б) ровно 7 очков

Найдем все пары $(i, j)$, для которых $i+j=7$. Это следующие события: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Всего 6 благоприятных событий.

Ответ: Элементарные события: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).

в) ровно 11 очков

Найдем все пары $(i, j)$, для которых $i+j=11$. Это события: (5, 6), (6, 5). Всего 2 благоприятных события.

Ответ: Элементарные события: (5, 6), (6, 5).

г) чётное число очков

Сумма очков является чётной в двух случаях: либо оба выпавших числа чётные, либо оба нечётные.

• Нечётные числа на кости: 1, 3, 5.
• Чётные числа на кости: 2, 4, 6.

События, где оба числа нечётные (нечёт + нечёт = чёт): (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5). Всего $3 \times 3 = 9$ событий.

События, где оба числа чётные (чёт + чёт = чёт): (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6). Всего $3 \times 3 = 9$ событий.

Общее число событий с чётной суммой: $9 + 9 = 18$.

Ответ: Элементарные события: (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6).

237 При подбрасывании монеты будем обозначать буквой О выпадение орла, буквой Р — выпадение решки. Подбросим монету два раза. Элементарное событие «выпадет два орла» записывается как ОО. Выпишите все элементарные события этого опыта. Сколько их?

По условию задачи, мы проводим опыт, состоящий из двух последовательных подбрасываний монеты. У каждого подбрасывания есть два возможных исхода: выпадение орла (О) или выпадение решки (Р). Элементарное событие в данном случае — это конкретная последовательность результатов двух подбрасываний.

Чтобы выписать все элементарные события, нужно перечислить все возможные комбинации результатов для первого и второго броска.

Рассмотрим все варианты:

• Если при первом броске выпал орел (О), то при втором броске может выпасть либо орел (О), либо решка (Р). Так мы получаем два элементарных события: ОО и ОР.
• Если при первом броске выпала решка (Р), то при втором броске также может выпасть либо орел (О), либо решка (Р). Так мы получаем еще два элементарных события: РО и РР.

Таким образом, полный список всех элементарных событий для этого опыта:

ОО (орел, орел)
ОР (орел, решка)
РО (решка, орел)
РР (решка, решка)

Теперь посчитаем их количество. Как видно из списка, всего существует 4 элементарных события.

Это количество также можно найти с помощью правила умножения: для первого броска есть 2 возможных исхода, и для каждого из них есть 2 возможных исхода для второго броска. Общее число элементарных событий равно произведению числа исходов на каждом шаге: $2 \times 2 = 4$.

Ответ: Все элементарные события: ОО, ОР, РО, РР. Всего их 4.

238 Монету бросают 3 раза. Выпишите все элементарные события этого опыта, пользуясь обозначениями O для орла и P для решки.

В данном опыте монету бросают 3 раза. Для каждого броска существует два возможных исхода: орел (О) или решка (Р). Элементарное событие — это конкретная последовательность из трех исходов. Общее число всех элементарных событий равно произведению числа исходов для каждого броска: $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Чтобы найти все элементарные события, можно систематически перечислить все возможные комбинации, сгруппировав их по количеству орлов (О):
- Три орла: ООО
- Два орла: ООР, ОРО, РОО
- Один орел: ОРР, РОР, РРО
- Ноль орлов (три решки): РРР

Таким образом, полный список всех элементарных событий этого опыта состоит из 8 комбинаций.
Ответ: ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР.

239 a) Во сколько раз больше число элементарных событий при трёх бросаниях монеты, чем при двух бросаниях монеты?

б) Сколько элементарных событий при четырёх бросаниях монеты?

в) Сколько элементарных событий при десяти бросаниях монеты?

а) При каждом бросании монеты возможны два исхода: орёл или решка. Общее число элементарных событий при $n$ независимых испытаниях, каждое из которых имеет 2 исхода, равно $2^n$.
Для двух бросаний монеты ($n=2$) число элементарных событий равно $2^2 = 4$.
Для трёх бросаний монеты ($n=3$) число элементарных событий равно $2^3 = 8$.
Чтобы определить, во сколько раз число событий при трёх бросаниях больше, чем при двух, найдём их отношение:
$\frac{2^3}{2^2} = \frac{8}{4} = 2$.
Ответ: в 2 раза.

б) Для четырёх бросаний монеты ($n=4$) число элементарных событий вычисляется по формуле $2^n$.
Подставляем значение $n=4$:
$2^4 = 16$.
Ответ: 16.

в) Для десяти бросаний монеты ($n=10$) число элементарных событий также вычисляется по формуле $2^n$.
Подставляем значение $n=10$:
$2^{10} = 1024$.
Ответ: 1024.

240 Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Пользуясь обозначениями $O$ и $P$, запишите несколько элементарных событий этого опыта. Сколько всего элементарных событий в этом случайном опыте?

Запишите несколько элементарных событий этого опыта

В данном случайном опыте монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Используются обозначения: О — орёл, Р — решка. Эксперимент прекращается при первом появлении орла. Элементарное событие — это одна из возможных полных последовательностей бросков от начала до конца эксперимента.

Примеры таких элементарных событий:

1. Орёл выпал при первом же броске. Последовательность исходов: О.

2. Сначала выпала решка, а на втором броске — орёл. Последовательность: РО.

3. Сначала выпали две решки подряд, а на третьем броске — орёл. Последовательность: РРО.

4. Сначала выпали три решки подряд, а на четвертом броске — орёл. Последовательность: РРРО.

И так далее. Любое элементарное событие в этом опыте представляет собой последовательность из $k$ решек (где $k$ — целое число, $k \ge 0$), за которой следует один орёл.

Ответ: Несколько элементарных событий: О, РО, РРО, РРРО.

Сколько всего элементарных событий в этом случайном опыте?

Пространство элементарных событий $\Omega$ — это множество всех возможных уникальных исходов эксперимента. Для данного опыта оно включает в себя все последовательности, которые мы можем составить по описанному правилу:

$\Omega = \{ \text{О, РО, РРО, РРРО, РРРРО, ...} \}$

Теоретически, последовательность выпадения решек может быть сколь угодно длинной. Нет такого максимального числа бросков $N$, после которого орёл гарантированно выпадет. Для любого натурального числа $n$ существует элементарное событие, в котором орёл выпадает ровно на $n$-м броске (этому событию предшествует $n-1$ решек).

Поскольку количество решек, которые могут выпасть до первого орла, не ограничено, то и общее количество возможных элементарных событий является бесконечным. Более точно, это множество является счётным, так как каждому исходу можно поставить в соответствие натуральное число (например, номер броска, на котором выпал орёл).

Ответ: В этом случайном опыте бесконечное множество элементарных событий.