Страница 134, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

227 Четыре подруги отправляли друг другу новогодние открытки: каждая отправила по одной трём другим. Сколько всего открыток было отправлено?

По условию задачи, есть четыре подруги. Каждая из них отправляет новогодние открытки всем остальным подругам.

1. Сначала определим, скольким людям каждая подруга отправляет открытку. Так как всего подруг четыре, то каждая из них отправляет открытки трем другим подругам (самой себе она открытку не отправляет). Таким образом, одна подруга отправляет 3 открытки.

2. Теперь, зная, что каждая из четырех подруг отправляет по 3 открытки, мы можем найти общее количество отправленных открыток. Для этого нужно умножить количество подруг на количество открыток, которое отправляет каждая из них.

Выполним вычисление:

$4 \times 3 = 12$

Следовательно, всего подруги отправили друг другу 12 новогодних открыток.

Ответ: 12

228 У Вити восемь разных учебников. Сколько существует способов поставить их в ряд на книжной полке?

Эта задача решается с помощью концепции перестановок из комбинаторики. Нам нужно найти количество способов, которыми можно упорядочить 8 различных объектов (учебников). Количество способов упорядочить $n$ различных объектов равно $n!$ (n-факториал).

Формула для числа перестановок из $n$ элементов выглядит так:

$P_n = n!$

где $n!$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

В нашем случае количество учебников $n=8$. Следовательно, нам нужно вычислить $8!$.

$P_8 = 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Выполним вычисления:

$8 \cdot 7 = 56$

$56 \cdot 6 = 336$

$336 \cdot 5 = 1680$

$1680 \cdot 4 = 6720$

$6720 \cdot 3 = 20160$

$20160 \cdot 2 = 40320$

$40320 \cdot 1 = 40320$

Таким образом, существует 40 320 способов расставить 8 разных учебников в ряд.

Ответ: 40320.

229 Сколько существует способов:

a) рассадить пять человек вокруг круглого стола на пять стульев;

б) поставить этих пятерых в хоровод вокруг ёлки?

а) Эта задача относится к круговым перестановкам. Если бы 5 человек рассаживались в ряд, количество способов было бы равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $P_5 = 5!$. Однако при рассадке за круглым столом, расположения, которые можно совместить поворотом, считаются одним и тем же способом. Например, если люди сидят в порядке 1-2-3-4-5, то это та же расстановка, что и 2-3-4-5-1, 3-4-5-1-2 и так далее. Для 5 человек существует 5 таких "одинаковых" расположений для каждой уникальной рассадки.
Чтобы найти количество уникальных способов, можно зафиксировать положение одного человека. Тогда оставшиеся 4 человека могут занять 4 оставшихся места $4!$ способами.
Таким образом, число способов рассадить 5 человек за круглым столом равно $(5-1)!$.
$(5-1)! = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
Ответ: 24.

б) Постановка людей в хоровод также является круговой перестановкой, но с одним важным отличием от рассадки за столом. В хороводе, в отличие от стола, неразличимы не только расположения, получаемые поворотом, но и те, что являются зеркальным отражением друг друга. Например, порядок людей по часовой стрелке (1-2-3-4-5) и тот же порядок против часовой стрелки (1-5-4-3-2) считаются одним и тем же хороводом, так как его можно "обойти с другой стороны".
Поэтому количество способов, полученное в предыдущем пункте, необходимо разделить на 2.
Число способов равно $\frac{(5-1)!}{2}$.
$\frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
Ответ: 12.

230 Сколько четырёхзначных натуральных чисел можно составить из цифр от 1 до 9 таким образом, чтобы каждая следующая цифра была больше предыдущей (например, 1367)?

По условию задачи нам нужно найти количество четырёхзначных натуральных чисел, которые можно составить из цифр от 1 до 9 так, чтобы каждая следующая цифра была больше предыдущей.

Пусть искомое четырёхзначное число состоит из цифр $d_1, d_2, d_3, d_4$. Согласно условию, эти цифры должны удовлетворять неравенству: $d_1 < d_2 < d_3 < d_4$.

Все цифры выбираются из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Из строгого неравенства $d_1 < d_2 < d_3 < d_4$ следует, что все четыре цифры в числе должны быть различными. Например, число 1223 не подходит, так как цифра 2 повторяется.

Когда мы выбираем любой набор из четырёх различных цифр, существует только один способ расположить их в порядке возрастания. Например, если мы выберем цифры $\{2, 5, 8, 9\}$, единственное число, которое можно составить, чтобы удовлетворить условию, — это 2589. Любая другая перестановка этих цифр (например, 2598) нарушит условие $d_3 < d_4$.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы определить, сколькими способами можно выбрать 4 различные цифры из 9 доступных. Порядок выбора цифр не имеет значения, так как он однозначно определяется условием возрастания. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество доступных цифр $n = 9$ (цифры от 1 до 9), а количество цифр, которые нужно выбрать, $k = 4$.

Подставляем наши значения в формулу:

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!}$

Распишем факториалы и произведём вычисления:

$C_9^4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Сократим дробь:

$C_9^4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} = 9 \times \frac{8}{4 \times 2} \times 7 \times \frac{6}{3} = 9 \times 1 \times 7 \times 2 = 126$

Следовательно, можно составить 126 таких чисел.

Ответ: 126