Номер 229, страница 134, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

229 Сколько существует способов:

a) рассадить пять человек вокруг круглого стола на пять стульев;

б) поставить этих пятерых в хоровод вокруг ёлки?

а) Эта задача относится к круговым перестановкам. Если бы 5 человек рассаживались в ряд, количество способов было бы равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $P_5 = 5!$. Однако при рассадке за круглым столом, расположения, которые можно совместить поворотом, считаются одним и тем же способом. Например, если люди сидят в порядке 1-2-3-4-5, то это та же расстановка, что и 2-3-4-5-1, 3-4-5-1-2 и так далее. Для 5 человек существует 5 таких "одинаковых" расположений для каждой уникальной рассадки.
Чтобы найти количество уникальных способов, можно зафиксировать положение одного человека. Тогда оставшиеся 4 человека могут занять 4 оставшихся места $4!$ способами.
Таким образом, число способов рассадить 5 человек за круглым столом равно $(5-1)!$.
$(5-1)! = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
Ответ: 24.

б) Постановка людей в хоровод также является круговой перестановкой, но с одним важным отличием от рассадки за столом. В хороводе, в отличие от стола, неразличимы не только расположения, получаемые поворотом, но и те, что являются зеркальным отражением друг друга. Например, порядок людей по часовой стрелке (1-2-3-4-5) и тот же порядок против часовой стрелки (1-5-4-3-2) считаются одним и тем же хороводом, так как его можно "обойти с другой стороны".
Поэтому количество способов, полученное в предыдущем пункте, необходимо разделить на 2.
Число способов равно $\frac{(5-1)!}{2}$.
$\frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
Ответ: 12.