Номер 230, страница 134, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

230 Сколько четырёхзначных натуральных чисел можно составить из цифр от 1 до 9 таким образом, чтобы каждая следующая цифра была больше предыдущей (например, 1367)?

По условию задачи нам нужно найти количество четырёхзначных натуральных чисел, которые можно составить из цифр от 1 до 9 так, чтобы каждая следующая цифра была больше предыдущей.

Пусть искомое четырёхзначное число состоит из цифр $d_1, d_2, d_3, d_4$. Согласно условию, эти цифры должны удовлетворять неравенству: $d_1 < d_2 < d_3 < d_4$.

Все цифры выбираются из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Из строгого неравенства $d_1 < d_2 < d_3 < d_4$ следует, что все четыре цифры в числе должны быть различными. Например, число 1223 не подходит, так как цифра 2 повторяется.

Когда мы выбираем любой набор из четырёх различных цифр, существует только один способ расположить их в порядке возрастания. Например, если мы выберем цифры $\{2, 5, 8, 9\}$, единственное число, которое можно составить, чтобы удовлетворить условию, — это 2589. Любая другая перестановка этих цифр (например, 2598) нарушит условие $d_3 < d_4$.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы определить, сколькими способами можно выбрать 4 различные цифры из 9 доступных. Порядок выбора цифр не имеет значения, так как он однозначно определяется условием возрастания. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество доступных цифр $n = 9$ (цифры от 1 до 9), а количество цифр, которые нужно выбрать, $k = 4$.

Подставляем наши значения в формулу:

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!}$

Распишем факториалы и произведём вычисления:

$C_9^4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Сократим дробь:

$C_9^4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} = 9 \times \frac{8}{4 \times 2} \times 7 \times \frac{6}{3} = 9 \times 1 \times 7 \times 2 = 126$

Следовательно, можно составить 126 таких чисел.

Ответ: 126