Страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

211 Изобразите объединение числовых промежутков на числовой прямой.

а) $3 < x \le 5$ и $4 < x \le 8$;

б) $x > 2$ и $x < -1$;

в) $x \ge 6$ и $x \le 9$;

г) $5 \le x < 7$ и $x > 4$.

а)

Заданы два числовых промежутка: $3 < x \le 5$ и $4 < x \le 8$. В виде интервалов это $(3, 5]$ и $(4, 8]$. Объединение этих промежутков — это множество всех чисел, которые принадлежат хотя бы одному из них. Для нахождения объединения необходимо изобразить оба промежутка на числовой прямой.

Первый промежуток $(3, 5]$ на числовой прямой — это отрезок с выколотой (пустой) точкой в 3 и закрашенной (сплошной) точкой в 5.

Второй промежуток $(4, 8]$ — это отрезок с выколотой точкой в 4 и закрашенной точкой в 8.

Эти промежутки перекрываются. Объединение будет начинаться с наименьшей границы (3) и заканчиваться наибольшей (8). Поскольку точка 3 не входит в первый промежуток (строгое неравенство $x > 3$), она не войдет и в объединение. Точка 8 входит во второй промежуток (нестрогое неравенство $x \le 8$), поэтому она войдет в объединение.

Таким образом, итоговый промежуток — это все числа от 3 до 8, не включая 3 и включая 8. На числовой прямой это будет интервал с выколотой точкой на 3, закрашенной точкой на 8 и заштрихованной областью между ними.

Ответ: $3 < x \le 8$.

б)

Заданы два числовых промежутка: $x > 2$ и $x < -1$. В виде интервалов это $(2, \infty)$ и $(-\infty, -1)$. Объединение этих промежутков — это множество всех чисел, которые либо больше 2, либо меньше -1.

Изобразим их на числовой прямой. Первый промежуток $(2, \infty)$ — это луч, идущий вправо от точки 2 (точка 2 выколота). Второй промежуток $(-\infty, -1)$ — это луч, идущий влево от точки -1 (точка -1 выколота).

Эти два промежутка не пересекаются, между ними есть разрыв от -1 до 2. Объединение будет состоять из двух этих непересекающихся лучей.

На числовой прямой это будет выглядеть как два заштрихованных луча: один от -1 влево, другой от 2 вправо, с выколотыми точками в -1 и 2.

Ответ: $x < -1$ или $x > 2$.

в)

Заданы два числовых промежутка: $x \ge 6$ и $x \le 9$. В виде интервалов это $[6, \infty)$ и $(-\infty, 9]$. Объединение этих промежутков — это множество всех чисел, которые либо больше или равны 6, либо меньше или равны 9.

Изобразим их на числовой прямой. Первый промежуток $[6, \infty)$ — это луч, идущий вправо от точки 6 (точка 6 закрашена). Второй промежуток $(-\infty, 9]$ — это луч, идущий влево от точки 9 (точка 9 закрашена).

Любое действительное число удовлетворяет хотя бы одному из этих условий. Если число меньше 6, оно точно меньше 9, значит, оно принадлежит второму промежутку. Если число больше или равно 6, оно принадлежит первому промежутку. Таким образом, объединение этих двух лучей покрывает всю числовую прямую.

На числовой прямой это будет вся числовая ось, полностью заштрихованная.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$ (множество всех действительных чисел).

г)

Заданы два числовых промежутка: $5 \le x < 7$ и $x > 4$. В виде интервалов это $[5, 7)$ и $(4, \infty)$. Объединение этих промежутков — это множество всех чисел, которые принадлежат хотя бы одному из них.

Изобразим их на числовой прямой. Первый промежуток $[5, 7)$ — это отрезок с закрашенной точкой в 5 и выколотой точкой в 7. Второй промежуток $(4, \infty)$ — это луч, идущий вправо от точки 4 (точка 4 выколота).

Заметим, что первый промежуток $[5, 7)$ полностью содержится во втором промежутке $(4, \infty)$, так как любое число $x$, удовлетворяющее условию $5 \le x < 7$, также удовлетворяет условию $x > 4$.

Когда один промежуток является подмножеством другого, их объединением является больший из них. В данном случае, объединение $[5, 7) \cup (4, \infty)$ есть $(4, \infty)$.

На числовой прямой это будет луч, начинающийся с выколотой точки 4 и заштрихованный вправо к плюс бесконечности.

Ответ: $x > 4$.

212 Запишите с помощью знака объединения множество, изображённое на рисунке 57.

а) $[-3, 1] \cup [3, 6]$

б) $[-4, 0] \cup [2, +\infty)$

в) $[-2, 0] \cup [4, 5]$

Рисунок 57

а) На рисунке изображены два числовых промежутка. Первый промежуток — это отрезок от -3 до 1. Так как точки -3 и 1 закрашены (являются сплошными), они включаются в промежуток. Этот промежуток записывается в виде отрезка $[-3; 1]$. Второй промежуток — это отрезок от 3 до 6. Точки 3 и 6 также закрашены, поэтому они включаются в промежуток. Этот промежуток записывается как $[3; 6]$. Изображенное на рисунке множество является объединением этих двух промежутков. Знак объединения множеств — $\cup$. Таким образом, множество можно записать как объединение двух отрезков.
Ответ: $[-3; 1] \cup [3; 6]$.

б) На рисунке изображены два числовых промежутка. Первый промежуток — это отрезок от -4 до 0. Точки -4 и 0 закрашены, значит, они входят в множество. Этот промежуток записывается как $[-4; 0]$. Второй промежуток — это луч, начинающийся в точке 2 и уходящий в положительную бесконечность. Точка 2 закрашена, поэтому она включается в промежуток. Этот промежуток можно записать как $[2; +\infty)$. Объединение этих двух промежутков и есть искомое множество. Таким образом, множество, изображенное на рисунке, записывается как объединение отрезка и луча.
Ответ: $[-4; 0] \cup [2; +\infty)$.

в) На рисунке изображены два числовых промежутка. Первый — это отрезок от -2 до 0. Концевые точки -2 и 0 включены в промежуток, так как они закрашены. Этот промежуток записывается как $[-2; 0]$. Второй промежуток — это отрезок от 4 до 5. Точки 4 и 5 также закрашены и, следовательно, включаются в промежуток. Этот промежуток записывается как $[4; 5]$. Множество, изображенное на рисунке, является объединением этих двух отрезков. Таким образом, искомое множество записывается как объединение двух отрезков.
Ответ: $[-2; 0] \cup [4; 5]$.

213 Найдите пересечение и объединение числовых промежутков:

а) $[4; 7]$ и $(0; 6)$;

б) $(-5; 2)$ и $(3; 7)$;

в) $[-4; 1]$ и $(-2; 5)$.

г) $(-\infty; 7]$ и $[5; +\infty)$.

а) Даны промежутки $[4; 7]$ и $(0; 6)$.

Пересечением двух числовых промежутков является множество, содержащее все числа, которые принадлежат обоим этим промежуткам. Для нахождения пересечения $[4; 7] \cap (0; 6)$ нужно найти общую часть. Промежуток $[4; 7]$ — это все числа $x$, такие что $4 \le x \le 7$. Промежуток $(0; 6)$ — это все числа $x$, такие что $0 < x < 6$. Числа, удовлетворяющие обоим условиям, должны быть одновременно больше или равны 4 и строго меньше 6. Таким образом, пересечением является промежуток $[4; 6)$.

Объединением двух числовых промежутков является множество, содержащее все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. Для нахождения объединения $[4; 7] \cup (0; 6)$ нужно взять все числа из обоих промежутков. Объединив промежутки, мы получим все числа от 0 (не включая) до 7 (включительно). Таким образом, объединением является промежуток $(0; 7]$.

Ответ: пересечение $[4; 6)$; объединение $(0; 7]$.

б) Даны промежутки $(-5; 2)$ и $(3; 7)$.

Найдем пересечение $(-5; 2) \cap (3; 7)$. Промежуток $(-5; 2)$ — это все числа $x$, такие что $-5 < x < 2$. Промежуток $(3; 7)$ — это все числа $x$, такие что $3 < x < 7$. Эти два промежутка не имеют общих точек, так как любое число из первого промежутка меньше 2, а любое число из второго промежутка больше 3. Следовательно, их пересечение является пустым множеством.

Найдем объединение $(-5; 2) \cup (3; 7)$. Так как промежутки не пересекаются, их объединение состоит из двух отдельных промежутков. Записать его в виде одного непрерывного промежутка нельзя.

Ответ: пересечение $\emptyset$; объединение $(-5; 2) \cup (3; 7)$.

в) Даны промежутки $[-4; 1]$ и $(-2; 5)$.

Найдем пересечение $[-4; 1] \cap (-2; 5)$. Промежуток $[-4; 1]$ — это все числа $x$, такие что $-4 \le x \le 1$. Промежуток $(-2; 5)$ — это все числа $x$, такие что $-2 < x < 5$. Общие числа для этих промежутков должны быть строго больше -2 и меньше или равны 1. Таким образом, пересечением является промежуток $(-2; 1]$.

Найдем объединение $[-4; 1] \cup (-2; 5)$. Объединив эти промежутки, мы получим все числа от -4 (включительно) до 5 (не включая). Таким образом, объединением является промежуток $[-4; 5)$.

Ответ: пересечение $(-2; 1]$; объединение $[-4; 5)$.

г) Даны промежутки $(-\infty; 7]$ и $[5; +\infty)$.

Найдем пересечение $(-\infty; 7] \cap [5; +\infty)$. Промежуток $(-\infty; 7]$ — это все числа $x$, такие что $x \le 7$. Промежуток $[5; +\infty)$ — это все числа $x$, такие что $x \ge 5$. Общие числа для этих промежутков должны удовлетворять двойному неравенству $5 \le x \le 7$. Таким образом, пересечением является промежуток $[5; 7]$.

Найдем объединение $(-\infty; 7] \cup [5; +\infty)$. Объединение этих двух промежутков включает все числа, которые меньше или равны 7, и все числа, которые больше или равны 5. Вместе они покрывают всю числовую ось. Любое действительное число принадлежит хотя бы одному из этих промежутков. Таким образом, объединением является множество всех действительных чисел, или $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: пересечение $[5; 7]$; объединение $(-\infty; +\infty)$.

214 Найдите пересечение и объединение числовых лучей:

а) $x < 6$ и $x \ge 4$;

б) $x \ge 5$ и $x \le 1$.

а) Рассматриваются два числовых луча: $x < 6$ и $x \geq 4$.

Первый луч $x < 6$ соответствует интервалу $(-\infty, 6)$.

Второй луч $x \geq 4$ соответствует интервалу $[4, +\infty)$.

Пересечение числовых лучей

Пересечение — это множество всех чисел, которые принадлежат обоим лучам одновременно. Для этого необходимо, чтобы число $x$ удовлетворяло двум условиям: $x < 6$ и $x \geq 4$. Объединив эти условия, получаем двойное неравенство $4 \leq x < 6$.

В виде интервала это записывается как $[4, 6)$.

Таким образом, пересечение лучей: $(-\infty, 6) \cap [4, +\infty) = [4, 6)$.

Объединение числовых лучей

Объединение — это множество всех чисел, которые принадлежат хотя бы одному из лучей. То есть, число $x$ должно удовлетворять условию $x < 6$ или $x \geq 4$.

Если представить эти лучи на числовой прямой, то первый луч покрывает все числа левее 6, а второй — все числа правее 4, включая саму точку 4. Вместе они покрывают всю числовую прямую.

Следовательно, объединением является множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, что в интервальной записи выглядит как $(-\infty, +\infty)$.

Таким образом, объединение лучей: $(-\infty, 6) \cup [4, +\infty) = (-\infty, +\infty)$.

Ответ: пересечение: $[4, 6)$; объединение: $(-\infty, +\infty)$.

б) Рассматриваются два числовых луча: $x \geq 5$ и $x \leq 1$.

Первый луч $x \geq 5$ соответствует интервалу $[5, +\infty)$.

Второй луч $x \leq 1$ соответствует интервалу $(-\infty, 1]$.

Пересечение числовых лучей

Пересечение — это множество всех чисел, которые удовлетворяют одновременно обоим условиям: $x \geq 5$ и $x \leq 1$.

Не существует такого числа, которое было бы одновременно больше или равно 5 и меньше или равно 1. На числовой прямой эти два луча не имеют общих точек.

Поэтому их пересечение является пустым множеством, которое обозначается символом $\emptyset$.

Таким образом, пересечение лучей: $[5, +\infty) \cap (-\infty, 1] = \emptyset$.

Объединение числовых лучей

Объединение — это множество всех чисел, которые принадлежат хотя бы одному из лучей, то есть $x \geq 5$ или $x \leq 1$.

Поскольку лучи не пересекаются, их объединение будет состоять из двух непересекающихся интервалов.

В интервальной записи это объединение записывается как $(-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$.

Таким образом, объединение лучей: $(-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$.

Ответ: пересечение: $\emptyset$; объединение: $(-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$.

215 Известно, что $x \in [1; 4]$ и $x \in (2; 5)$. Истинны ли утверждения:

а) $x \in (2; 4];$

б) $3 \le x \le 4;$

в) $x \in (-5; 8);$

г) $x > 2?$

По условию задачи, переменная $x$ одновременно удовлетворяет двум условиям: $x \in [1; 4]$ и $x \in (2; 5)$. Это означает, что $x$ принадлежит пересечению этих двух множеств.

Первое условие $x \in [1; 4]$ можно записать в виде двойного неравенства: $1 \le x \le 4$.

Второе условие $x \in (2; 5)$ можно записать в виде двойного неравенства: $2 < x < 5$.

Чтобы найти пересечение этих множеств, необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Запишем это в виде системы:

$\left\{ \begin{array}{l} 1 \le x \le 4 \\ 2 < x < 5 \end{array} \right.$

На числовой прямой это соответствует общей области для двух интервалов. Левая граница пересечения будет наибольшей из левых границ ($1$ и $2$), то есть $2$. Правая граница будет наименьшей из правых границ ($4$ и $5$), то есть $4$.

Поскольку $x > 2$ (строгое неравенство), левая граница не включается. Поскольку $x \le 4$ (нестрогое неравенство), правая граница включается.

Таким образом, пересечением является полуинтервал $(2; 4]$, что можно записать в виде неравенства $2 < x \le 4$.

Теперь проверим истинность каждого утверждения, исходя из того, что $x \in (2; 4]$.

а) $x \in (2; 4]$

Это утверждение в точности совпадает с найденным пересечением множеств. Следовательно, если $x$ удовлетворяет исходным условиям, то он обязательно принадлежит множеству $(2; 4]$. Утверждение истинно.

Ответ: истинно.

б) $3 \le x \le 4$

Это утверждение означает, что $x$ принадлежит отрезку $[3; 4]$. Мы знаем, что $x \in (2; 4]$. Верно ли, что любое число из $(2; 4]$ также принадлежит $[3; 4]$? Нет, это неверно. Например, можно взять значение $x=2.5$. Это значение принадлежит интервалу $(2; 4]$, но не принадлежит отрезку $[3; 4]$, так как $2.5 < 3$. Поскольку утверждение не выполняется для всех возможных значений $x$, оно является ложным.

Ответ: ложно.

в) $x \in (-5; 8)$

Это утверждение означает, что $x$ принадлежит интервалу $(-5; 8)$. Мы знаем, что $x \in (2; 4]$. Нужно проверить, является ли множество $(2; 4]$ подмножеством множества $(-5; 8)$. Поскольку левая граница $2 > -5$ и правая граница $4 < 8$, то любое число из полуинтервала $(2; 4]$ также будет находиться и в интервале $(-5; 8)$. Следовательно, утверждение истинно.

Ответ: истинно.

г) $x > 2$

Это утверждение является неравенством. Мы знаем, что $x \in (2; 4]$, что в виде неравенства записывается как $2 < x \le 4$. Из этого двойного неравенства напрямую следует, что $x > 2$. Следовательно, утверждение истинно.

Ответ: истинно.

216 Решая систему двух неравенств относительно переменной $x$, школьник получил отдельно решения обоих неравенств: $x \ge 3$ и $x \le 7$. Укажите промежуток, который является решением системы, и изобразите его на числовой прямой.

По условию задачи, мы имеем систему двух неравенств, решения которых уже найдены:

$ \begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 7 \end{cases} $

Решением системы неравенств является множество значений переменной $x$, которые удовлетворяют каждому неравенству системы одновременно. Это означает, что нам нужно найти пересечение (общую часть) множеств решений обоих неравенств.

Первое неравенство, $x \ge 3$, задает числовой промежуток, включающий все числа, которые больше или равны 3. В виде интервала это записывается как $[3; +\infty)$.

Второе неравенство, $x \le 7$, задает числовой промежуток, включающий все числа, которые меньше или равны 7. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 7]$.

Чтобы найти решение системы, найдем пересечение этих двух промежутков: $[3; +\infty) \cap (-\infty; 7]$. Пересечением являются все числа, которые одновременно принадлежат и первому, и второму промежутку. Таким образом, искомый промежуток — это все числа от 3 до 7, включая концы.

В виде двойного неравенства это записывается как $3 \le x \le 7$.

В виде числового промежутка (отрезка) это $[3; 7]$.

Изобразим полученный промежуток на числовой прямой. Отмечаем точки 3 и 7. Так как неравенства нестрогие (знаки $\ge$ и $\le$), точки 3 и 7 включаются в решение, и на прямой мы их обозначаем закрашенными (сплошными) кружками. Решением является заштрихованная область между этими точками.

Ответ: Решением системы является промежуток $[3; 7]$.

217 При решении системы двух неравенств получились решения обоих неравенств: $x \leq -4$ и $x > 8$. Какое множество является решением системы?

Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему. Нам даны решения для двух неравенств:

1. $x \le -4$
2. $x > 8$

Система неравенств выглядит так: $$ \begin{cases} x \le -4 \\ x > 8 \end{cases} $$

Множество решений первого неравенства $x \le -4$ представляет собой числовой промежуток $(-\infty; -4]$.

Множество решений второго неравенства $x > 8$ представляет собой числовой промежуток $(8; +\infty)$.

Чтобы найти решение системы, необходимо найти пересечение этих двух промежутков: $(-\infty; -4] \cap (8; +\infty)$.

На числовой прямой эти два множества не пересекаются. Не существует числа, которое было бы одновременно меньше или равно -4 и в то же время больше 8. Следовательно, пересечение этих множеств является пустым множеством.

Ответ: решением системы является пустое множество ($\emptyset$).

218 Решая систему неравенств, школьник нашёл, что переменная $a$ должна удовлетворять одновременно двум утверждениям: $a > 5$ и $a \ge 3$. Запишите множество всех значений $a$, которые являются решением задачи.

По условию задачи, переменная $a$ должна одновременно удовлетворять двум неравенствам: $a > 5$ и $a \ge 3$. Решить задачу — значит найти все значения $a$, которые удовлетворяют обоим этим условиям. Фактически, нам нужно найти пересечение множеств решений этих двух неравенств.

Рассмотрим каждое неравенство:
1. Неравенство $a > 5$ означает, что искомые значения $a$ должны быть строго больше 5. На числовой прямой это соответствует открытому лучу, начинающемуся от точки 5 и идущему вправо, в сторону положительной бесконечности. В виде интервала это записывается как $(5, +\infty)$.
2. Неравенство $a \ge 3$ означает, что искомые значения $a$ должны быть больше или равны 3. На числовой прямой это соответствует лучу, начинающемуся от точки 3 (включая саму точку) и идущему вправо. В виде интервала это записывается как $[3, +\infty)$.

Для того чтобы оба условия выполнялись одновременно, значение $a$ должно принадлежать пересечению этих двух множеств: $(5, +\infty) \cap [3, +\infty)$.

Чтобы найти пересечение, можно рассуждать логически: если число больше 5, то оно заведомо больше и 3. Таким образом, более сильное (или более строгое) неравенство $a > 5$ поглощает условие $a \ge 3$. Следовательно, общим решением для обоих неравенств будут все числа, которые строго больше 5.

Итак, множество всех значений $a$, которые являются решением задачи, — это интервал от 5 до плюс бесконечности, не включая 5.

Ответ: $(5, +\infty)$

219 В задаче требовалось найти значения переменной $y$. Решая задачу, школьник нашёл, что переменная $y$ должна удовлетворять хотя бы одному из двух неравенств: $3 < y \le 4$ и $-2 \le y \le 0$. Запишите множество всех значений переменной $y$, которые не являются решением задачи.

По условию, переменная $y$ должна удовлетворять хотя бы одному из двух неравенств, что математически означает, что решение задачи является объединением решений этих неравенств.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно:
1. Первое неравенство $3 < y \le 4$ задает множество значений на полуинтервале $(3, 4]$.
2. Второе неравенство $-2 \le y \le 0$ задает множество значений на отрезке $[-2, 0]$.

Множество всех решений задачи — это объединение (совокупность) этих двух множеств: $y \in [-2, 0] \cup (3, 4]$.

Нам необходимо найти множество всех значений переменной $y$, которые не являются решением задачи. Это значит, что мы должны найти дополнение к найденному множеству на всей числовой оси.

Множество решений $S = [-2, 0] \cup (3, 4]$ состоит из двух непересекающихся промежутков. Дополнение этого множества будет состоять из всех остальных чисел на числовой прямой, то есть из трех промежутков:

1. Значения, которые меньше нижней границы первого отрезка: $y < -2$. Это промежуток $(-\infty, -2)$.

2. Значения, которые лежат между двумя промежутками решения. Верхняя граница первого промежутка — $0$, нижняя граница второго — $3$. Поскольку $y=0$ является решением, оно не входит в искомое множество. Поскольку $y=3$ не является решением (так как по условию $y$ должно быть строго больше $3$), оно входит в искомое множество. Таким образом, получаем промежуток $0 < y \le 3$, то есть $(0, 3]$.

3. Значения, которые больше верхней границы второго промежутка. Поскольку $y=4$ является решением, оно не входит в искомое множество. Следовательно, искомые значения — это $y > 4$, что соответствует промежутку $(4, +\infty)$.

Объединяя эти три промежутка, мы получаем множество всех значений $y$, которые не являются решением задачи.

Ответ: $(-\infty, -2) \cup (0, 3] \cup (4, +\infty)$.