Страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

195 Какие из следующих множеств пустые?

а) Множество ${0}$.

б) Множество простых чисел, которые делятся на 10.

в) Множество квадратов, имеющих острый угол.

а) Множество {0}.
Пустое множество, которое обозначается как $\emptyset$ или {}, — это множество, не содержащее ни одного элемента. Представленное множество `{0}` содержит один элемент — число 0. Поскольку в множестве есть элемент, оно не является пустым.
Ответ: не пустое.

б) Множество простых чисел, которые делятся на 10.
Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Любое число, которое делится на 10 без остатка, должно быть кратно 10. Это означает, что оно также делится на 2 и на 5 (поскольку $10 = 2 \times 5$). Таким образом, любое число, делящееся на 10, имеет как минимум три делителя: 1, 2 и 5 (а также само число и 10). Это противоречит определению простого числа, которое должно иметь только два делителя (1 и само себя). Следовательно, не существует простых чисел, которые делятся на 10, и это множество не содержит элементов.
Ответ: пустое.

в) Множество квадратов, имеющих острый угол.
Квадрат по определению является четырехугольником, у которого все стороны равны и все углы прямые. Прямой угол равен $90^\circ$. Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Поскольку все углы квадрата по определению равны $90^\circ$, в нем не может быть острых углов. Следовательно, множество квадратов, имеющих острый угол, не содержит ни одного элемента.
Ответ: пустое.

196 Пусть множество C состоит из результатов броска монеты. Его элементы — орёл и решка: $C = \{О, Р\}$. Выпишите все подмножества множества C.

Дано множество $C$, которое представляет собой результаты броска монеты: $C = \{О, Р\}$, где О — орёл, а Р — решка.
Задача состоит в том, чтобы найти все возможные подмножества этого множества. Подмножеством множества A называется такое множество B, что каждый элемент множества B является также элементом множества A.

Для любого множества его подмножествами всегда являются пустое множество ($\emptyset$) и само это множество.

Перечислим все подмножества для $C = \{О, Р\}$, группируя их по количеству элементов:
1. Подмножество, не содержащее элементов:
Это пустое множество: $\emptyset$.

2. Подмножества, содержащие по одному элементу:
Берем каждый элемент из множества $C$ по отдельности и формируем из него множество. Таких подмножеств два: $\{О\}$ и $\{Р\}$.

3. Подмножество, содержащее два элемента:
Это само исходное множество: $\{О, Р\}$.

Общее количество подмножеств для множества из $n$ элементов вычисляется по формуле $2^n$. В нашем случае в множестве $C$ два элемента ($n=2$), поэтому общее количество подмножеств должно быть $2^2 = 4$.
Мы нашли ровно 4 подмножества, что подтверждает полноту нашего списка.

Ответ: $\emptyset$, $\{О\}$, $\{Р\}$, $\{О, Р\}$.

197 Обозначим буквой $A$ множество делителей числа 15, а буквой $B$ — множество делителей числа 5. Является ли одно из них подмножеством другого?

1. Нахождение множества A (делители числа 15)

По условию, множество $A$ — это множество всех натуральных делителей числа 15. Делителем числа называется такое число, на которое оно делится без остатка. Найдем все делители для 15:

$15 \div 1 = 15$
$15 \div 3 = 5$
$15 \div 5 = 3$
$15 \div 15 = 1$

Таким образом, множество делителей числа 15 есть $A = \{1, 3, 5, 15\}$.

2. Нахождение множества B (делители числа 5)

Множество $B$ — это множество всех натуральных делителей числа 5. Число 5 является простым, так как делится только на 1 и на само себя.

$5 \div 1 = 5$
$5 \div 5 = 1$

Таким образом, множество делителей числа 5 есть $B = \{1, 5\}$.

3. Проверка, является ли одно множество подмножеством другого

Множество $X$ является подмножеством множества $Y$ (записывается как $X \subset Y$), если каждый элемент множества $X$ также является элементом множества $Y$.

Проверим, является ли $B$ подмножеством $A$ ($B \subset A$).
Множество $B = \{1, 5\}$.
Множество $A = \{1, 3, 5, 15\}$.
Элемент 1 из множества $B$ принадлежит множеству $A$.
Элемент 5 из множества $B$ также принадлежит множеству $A$.
Поскольку все элементы множества $B$ содержатся в множестве $A$, то $B$ является подмножеством $A$.

Проверим, является ли $A$ подмножеством $B$ ($A \subset B$).
Множество $A = \{1, 3, 5, 15\}$.
Множество $B = \{1, 5\}$.
Элементы 3 и 15 из множества $A$ не принадлежат множеству $B$.
Следовательно, множество $A$ не является подмножеством множества $B$.

Ответ: Да, является. Множество делителей числа 5 (множество $B$) является подмножеством множества делителей числа 15 (множество $A$).

198 Множество $M = \{A, B, C, D\}$ состоит из четырёх точек на плоскости. Никакие три из них не лежат на одной прямой. Можно составить множество $N = \{AB, AC, AD, BC, BD, CD\}$, элементами которого являются всевозможные отрезки с концами в этих точках.

a) Запишите множество $T$ всех треугольников с вершинами в точках $A, B, C$ и $D$.

б) Выпишите подмножество множества $N$, состоящее из всех отрезков с концом в точке $B$.

а)

По условию, дано множество из четырех точек $M = \{A, B, C, D\}$, и никакие три из них не лежат на одной прямой. Треугольник определяется тремя вершинами, которые не лежат на одной прямой. Поскольку это условие выполнено для любой тройки точек из множества $M$, то для нахождения всех возможных треугольников нам нужно найти все возможные сочетания трех точек из четырех данных.

Количество таких сочетаний можно найти по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n=4$ (общее количество точек), а $k=3$ (количество вершин в треугольнике).
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$.

Таким образом, можно составить 4 различных треугольника. Перечислим их, выбирая по три вершины из множества ${A, B, C, D}$:

• Треугольник с вершинами A, B, C (обозначим ABC).
• Треугольник с вершинами A, B, D (обозначим ABD).
• Треугольник с вершинами A, C, D (обозначим ACD).
• Треугольник с вершинами B, C, D (обозначим BCD).

Множество $T$ всех этих треугольников будет выглядеть так:

Ответ: $T = \{ABC, ABD, ACD, BCD\}$.

б)

Исходное множество $N$ состоит из всех возможных отрезков, соединяющих пары точек из множества $M$:
$N = \{AB, AC, AD, BC, BD, CD\}$.

Нам нужно найти подмножество множества $N$, которое включает только те отрезки, у которых одним из концов является точка B. Для этого мы должны выбрать из множества $N$ все отрезки, в обозначении которых есть буква "B".

Проанализируем элементы множества $N$:

• Отрезок AB имеет конец в точке B.
• Отрезок AC не имеет конца в точке B.
• Отрезок AD не имеет конца в точке B.
• Отрезок BC имеет конец в точке B.
• Отрезок BD имеет конец в точке B.
• Отрезок CD не имеет конца в точке B.

Таким образом, отрезки, имеющие конец в точке B, это AB, BC и BD.

Ответ: $\{AB, BC, BD\}$.

199 Дано множество $M = \{1, 2, 3, 4\}$. Какие из следующих утверждений истинны?

а) $2 \in M$;

б) $\{3, 5\} \subset M$;

в) $3 \in M$;

г) $M \subset \emptyset$;

д) $\{2, 4\} \subset M$;

е) $\emptyset \subset M$.

Для заданного множества $M = \{1, 2, 3, 4\}$ проанализируем каждое утверждение:

а) $2 \in M$

Этот символ $\in$ означает "принадлежит" или "является элементом". Утверждение гласит, что число 2 является элементом множества $M$. Смотрим на элементы множества $M$: это 1, 2, 3, 4. Число 2 действительно входит в это множество.

Ответ: Истинно.

б) $\{3, 5\} \subset M$

Этот символ $\subset$ означает "является подмножеством". Множество $A$ является подмножеством множества $B$, если каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$. В данном случае, множество $A = \{3, 5\}$. Его элементы - это 3 и 5. Проверяем, принадлежат ли они множеству $M = \{1, 2, 3, 4\}$. Элемент 3 принадлежит $M$, но элемент 5 не принадлежит $M$. Поскольку не все элементы множества $\{3, 5\}$ содержатся в $M$, данное утверждение не является истинным.

Ответ: Ложно.

в) $3 \in M$

Снова проверяем принадлежность элемента. Утверждается, что 3 является элементом множества $M$. Так как $M = \{1, 2, 3, 4\}$, и 3 есть среди его элементов, утверждение истинно.

Ответ: Истинно.

г) $M \subset \emptyset$

Утверждается, что множество $M$ является подмножеством пустого множества ($\emptyset$). Пустое множество не содержит никаких элементов. Чтобы множество $M$ было подмножеством пустого множества, каждый элемент из $M$ должен был бы содержаться в пустом множестве. Но в $M$ есть элементы (1, 2, 3, 4), а в пустом множестве их нет. Следовательно, утверждение ложно.

Ответ: Ложно.

д) $\{2, 4\} \subset M$

Проверяем, является ли множество $\{2, 4\}$ подмножеством $M$. Элементы множества $\{2, 4\}$ - это 2 и 4. Оба этих элемента содержатся в множестве $M = \{1, 2, 3, 4\}$. Значит, все элементы множества $\{2, 4\}$ являются элементами $M$.

Ответ: Истинно.

е) $\emptyset \subset M$

Утверждается, что пустое множество ($\emptyset$) является подмножеством множества $M$. По определению в теории множеств, пустое множество является подмножеством любого множества. Это верно, потому что в пустом множестве нет ни одного элемента, который бы не принадлежал множеству $M$.

Ответ: Истинно.

200 Докажите, что если $B \subset A$ и $C \subset B$, то $C \subset A$.

Чтобы доказать, что множество $C$ является подмножеством множества $A$ (что записывается как $C \subset A$), нам нужно показать, что любой элемент, принадлежащий множеству $C$, также принадлежит и множеству $A$.

Возьмем произвольный элемент $x$ из множества $C$. Формально это можно записать как: пусть $x \in C$.

Из условия задачи мы знаем, что $C \subset B$. Согласно определению подмножества, это означает, что если некий элемент принадлежит множеству $C$, то он обязательно принадлежит и множеству $B$. Поскольку мы взяли $x \in C$, из этого следует, что $x \in B$.

Также, по условию задачи, мы знаем, что $B \subset A$. По тому же определению подмножества, если элемент принадлежит множеству $B$, то он принадлежит и множеству $A$. Мы уже установили, что $x \in B$, значит, из этого следует, что $x \in A$.

Таким образом, мы построили логическую цепочку: из того, что $x \in C$, следует, что $x \in B$, а из того, что $x \in B$, следует, что $x \in A$. Объединив эти утверждения, мы получаем, что для любого элемента $x$ верно: если $x \in C$, то $x \in A$.

Так как мы выбрали $x$ в качестве произвольного элемента множества $C$ и показали, что он всегда принадлежит и множеству $A$, мы доказали, что каждый элемент множества $C$ является элементом множества $A$. Это и есть определение того, что $C$ является подмножеством $A$, то есть $C \subset A$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

201 Игральную кость бросают 2 раза. Пусть $A$ — множество всех пар $(a; b)$, где $a$ — число очков, выпавших при первом броске, $b$ — число очков, выпавших при втором броске. Запишите все элементы множества $A$, удовлетворяющие условию:

a) сумма выпавших очков равна 4;

б) наибольшее из выпавших очков равно 3.

а) сумма выпавших очков равна 4
Условие задачи можно представить в виде уравнения $a + b = 4$, где $a$ и $b$ — это результаты первого и второго бросков кости соответственно, и могут принимать целые значения от 1 до 6.
Переберем возможные значения для $a$:
- Если $a = 1$, то $b = 4 - 1 = 3$. Получаем пару $(1; 3)$.
- Если $a = 2$, то $b = 4 - 2 = 2$. Получаем пару $(2; 2)$.
- Если $a = 3$, то $b = 4 - 3 = 1$. Получаем пару $(3; 1)$.
Если $a$ будет 4 или больше, то значение $b$ будет 0 или отрицательным, что невозможно при броске игральной кости.
Таким образом, все элементы множества A, удовлетворяющие данному условию, это $(1; 3), (2; 2), (3; 1)$.
Ответ: $\{(1; 3), (2; 2), (3; 1)\}$.

б) наибольшее из выпавших очков равно 3
Это условие означает, что $\max(a, b) = 3$. Это выполняется в том случае, если одно из чисел ($a$ или $b$) равно 3, а другое меньше или равно 3.
Рассмотрим все возможные варианты:
- Случай 1: $a = 3$. Тогда $b$ должно быть меньше или равно 3, то есть $b \in \{1, 2, 3\}$. Это дает нам пары: $(3; 1), (3; 2), (3; 3)$.
- Случай 2: $b = 3$. Тогда $a$ должно быть меньше или равно 3, то есть $a \in \{1, 2, 3\}$. Это дает нам пары: $(1; 3), (2; 3), (3; 3)$.
Объединим все полученные уникальные пары. Пара $(3; 3)$ встречается в обоих случаях.
Таким образом, все элементы множества A, удовлетворяющие данному условию, это $(1; 3), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)$.
Ответ: $\{(1; 3), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)\}$.

202 Даны множества:

$A$ — множество чётных целых чисел;

$B$ — множество нечётных целых чисел;

$C$ — множество всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 2;

$D$ — множество всех натуральных чисел, которые при делении на 6 дают остаток 2.

Для каких из этих множеств множество $P$ является подмножеством, если:

a) $P = \{14, 26, 122\};$

б) $P = \{27, 37, 107\}?$

Чтобы множество $P$ являлось подмножеством некоторого множества $X$ (обозначается как $P \subset X$), необходимо, чтобы каждый элемент множества $P$ также принадлежал множеству $X$. Проверим это для каждого случая.

а) P = {14, 26, 122}

1. Проверка для множества A (множество чётных целых чисел):
Все элементы множества $P$ — числа 14, 26 и 122 — являются чётными, так как делятся на 2 без остатка. Следовательно, $P \subset A$.

2. Проверка для множества B (множество нечётных целых чисел):
Ни один из элементов множества $P$ не является нечётным числом. Следовательно, $P \not\subset B$.

3. Проверка для множества C (множество натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 2):
Проверим каждый элемент:

• $14 \div 5 = 2$ (остаток 4). Число 14 не принадлежит множеству $C$.

Так как хотя бы один элемент из $P$ не принадлежит $C$, то $P$ не является подмножеством $C$. Следовательно, $P \not\subset C$.

4. Проверка для множества D (множество натуральных чисел, которые при делении на 6 дают остаток 2):
Проверим каждый элемент:

• $14 = 6 \cdot 2 + 2$. Остаток равен 2. Число 14 принадлежит множеству $D$.
• $26 = 6 \cdot 4 + 2$. Остаток равен 2. Число 26 принадлежит множеству $D$.
• $122 = 6 \cdot 20 + 2$. Остаток равен 2. Число 122 принадлежит множеству $D$.

Все элементы множества $P$ принадлежат множеству $D$. Следовательно, $P \subset D$.

Ответ: $P$ является подмножеством множеств A и D.

б) P = {27, 37, 107}

1. Проверка для множества A (множество чётных целых чисел):
Все элементы множества $P$ — числа 27, 37 и 107 — являются нечётными. Следовательно, $P \not\subset A$.

2. Проверка для множества B (множество нечётных целых чисел):
Все элементы множества $P$ являются нечётными. Следовательно, $P \subset B$.

3. Проверка для множества C (множество натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 2):
Проверим каждый элемент:

• $27 = 5 \cdot 5 + 2$. Остаток равен 2. Число 27 принадлежит множеству $C$.
• $37 = 5 \cdot 7 + 2$. Остаток равен 2. Число 37 принадлежит множеству $C$.
• $107 = 5 \cdot 21 + 2$. Остаток равен 2. Число 107 принадлежит множеству $C$.

Все элементы множества $P$ принадлежат множеству $C$. Следовательно, $P \subset C$.

4. Проверка для множества D (множество натуральных чисел, которые при делении на 6 дают остаток 2):
Проверим каждый элемент:

• $27 \div 6 = 4$ (остаток 3). Число 27 не принадлежит множеству $D$.

Так как хотя бы один элемент из $P$ не принадлежит $D$, то $P$ не является подмножеством $D$. Следовательно, $P \not\subset D$.

Ответ: $P$ является подмножеством множеств B и C.