Номер 202, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

202 Даны множества:

$A$ — множество чётных целых чисел;

$B$ — множество нечётных целых чисел;

$C$ — множество всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 2;

$D$ — множество всех натуральных чисел, которые при делении на 6 дают остаток 2.

Для каких из этих множеств множество $P$ является подмножеством, если:

a) $P = \{14, 26, 122\};$

б) $P = \{27, 37, 107\}?$

Чтобы множество $P$ являлось подмножеством некоторого множества $X$ (обозначается как $P \subset X$), необходимо, чтобы каждый элемент множества $P$ также принадлежал множеству $X$. Проверим это для каждого случая.

а) P = {14, 26, 122}

1. Проверка для множества A (множество чётных целых чисел):
Все элементы множества $P$ — числа 14, 26 и 122 — являются чётными, так как делятся на 2 без остатка. Следовательно, $P \subset A$.

2. Проверка для множества B (множество нечётных целых чисел):
Ни один из элементов множества $P$ не является нечётным числом. Следовательно, $P \not\subset B$.

3. Проверка для множества C (множество натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 2):
Проверим каждый элемент:

• $14 \div 5 = 2$ (остаток 4). Число 14 не принадлежит множеству $C$.

Так как хотя бы один элемент из $P$ не принадлежит $C$, то $P$ не является подмножеством $C$. Следовательно, $P \not\subset C$.

4. Проверка для множества D (множество натуральных чисел, которые при делении на 6 дают остаток 2):
Проверим каждый элемент:

• $14 = 6 \cdot 2 + 2$. Остаток равен 2. Число 14 принадлежит множеству $D$.
• $26 = 6 \cdot 4 + 2$. Остаток равен 2. Число 26 принадлежит множеству $D$.
• $122 = 6 \cdot 20 + 2$. Остаток равен 2. Число 122 принадлежит множеству $D$.

Все элементы множества $P$ принадлежат множеству $D$. Следовательно, $P \subset D$.

Ответ: $P$ является подмножеством множеств A и D.

б) P = {27, 37, 107}

1. Проверка для множества A (множество чётных целых чисел):
Все элементы множества $P$ — числа 27, 37 и 107 — являются нечётными. Следовательно, $P \not\subset A$.

2. Проверка для множества B (множество нечётных целых чисел):
Все элементы множества $P$ являются нечётными. Следовательно, $P \subset B$.

3. Проверка для множества C (множество натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 2):
Проверим каждый элемент:

• $27 = 5 \cdot 5 + 2$. Остаток равен 2. Число 27 принадлежит множеству $C$.
• $37 = 5 \cdot 7 + 2$. Остаток равен 2. Число 37 принадлежит множеству $C$.
• $107 = 5 \cdot 21 + 2$. Остаток равен 2. Число 107 принадлежит множеству $C$.

Все элементы множества $P$ принадлежат множеству $C$. Следовательно, $P \subset C$.

4. Проверка для множества D (множество натуральных чисел, которые при делении на 6 дают остаток 2):
Проверим каждый элемент:

• $27 \div 6 = 4$ (остаток 3). Число 27 не принадлежит множеству $D$.

Так как хотя бы один элемент из $P$ не принадлежит $D$, то $P$ не является подмножеством $D$. Следовательно, $P \not\subset D$.

Ответ: $P$ является подмножеством множеств B и C.