Номер 200, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

200 Докажите, что если $B \subset A$ и $C \subset B$, то $C \subset A$.

Чтобы доказать, что множество $C$ является подмножеством множества $A$ (что записывается как $C \subset A$), нам нужно показать, что любой элемент, принадлежащий множеству $C$, также принадлежит и множеству $A$.

Возьмем произвольный элемент $x$ из множества $C$. Формально это можно записать как: пусть $x \in C$.

Из условия задачи мы знаем, что $C \subset B$. Согласно определению подмножества, это означает, что если некий элемент принадлежит множеству $C$, то он обязательно принадлежит и множеству $B$. Поскольку мы взяли $x \in C$, из этого следует, что $x \in B$.

Также, по условию задачи, мы знаем, что $B \subset A$. По тому же определению подмножества, если элемент принадлежит множеству $B$, то он принадлежит и множеству $A$. Мы уже установили, что $x \in B$, значит, из этого следует, что $x \in A$.

Таким образом, мы построили логическую цепочку: из того, что $x \in C$, следует, что $x \in B$, а из того, что $x \in B$, следует, что $x \in A$. Объединив эти утверждения, мы получаем, что для любого элемента $x$ верно: если $x \in C$, то $x \in A$.

Так как мы выбрали $x$ в качестве произвольного элемента множества $C$ и показали, что он всегда принадлежит и множеству $A$, мы доказали, что каждый элемент множества $C$ является элементом множества $A$. Это и есть определение того, что $C$ является подмножеством $A$, то есть $C \subset A$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.