Номер 1, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

1 Сравните два способа изображать множества — числовую прямую и диаграмму Эйлера. Как вы думаете, в каких случаях удобнее использовать числовую прямую? В каких случаях удобнее диаграмма Эйлера?

Сравнение числовой прямой и диаграммы Эйлера

Числовая прямая и диаграмма Эйлера — это два разных способа визуализации множеств, каждый из которых имеет свои сильные стороны и области применения.

Числовая прямая — это геометрическая модель, которая используется исключительно для изображения множеств, состоящих из чисел. Каждая точка на прямой соответствует определенному числу. Этот способ наглядно показывает порядок элементов множества (какое число больше или меньше другого), расстояние между ними, а также позволяет изображать непрерывные множества, такие как числовые промежутки (интервалы, отрезки). Например, множество всех чисел от -1 до 2 включительно, то есть отрезок $[-1, 2]$.

Диаграмма Эйлера (часто называемая кругами Эйлера) — это схематическое изображение, которое используется для показа логических отношений между множествами. Множества представляются в виде замкнутых фигур (обычно кругов или овалов). Главное преимущество диаграмм Эйлера в их универсальности: они могут изображать множества, состоящие из любых элементов, а не только чисел (например, множество животных, множество студентов, множество геометрических фигур). Основное внимание уделяется отношениям между множествами: пересекаются ли они, является ли одно множество подмножеством другого или они не имеют общих элементов. Например, можно показать, что множество квадратов является подмножеством множества прямоугольников.

Основное различие заключается в том, что числовая прямая показывает количественные отношения внутри числовых множеств (порядок, величину), а диаграмма Эйлера — логические отношения между любыми множествами (включение, пересечение, объединение).

Ответ: Числовая прямая предназначена для наглядного представления упорядоченных числовых множеств, показывая величину и порядок чисел. Диаграмма Эйлера — это универсальный инструмент для изображения логических связей (пересечение, вложенность) между множествами, элементы которых могут иметь любую природу.

В каких случаях удобнее использовать числовую прямую?

Числовую прямую удобно использовать в следующих случаях:
1. Когда необходимо изобразить числовые промежутки: отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи. Например, для визуализации множества $x \ge 5$ или множества $\{x | -2 < x \le 3\}$.
2. При решении и иллюстрации числовых неравенств и их систем. На прямой легко отметить решения, найти их пересечение или объединение.
3. Когда важно показать порядок и взаимное расположение чисел, например, сравнить $\sqrt{2}$ и $1.5$.
4. Для изображения множеств, элементы которых являются действительными числами и их порядок имеет значение (например, множество целых чисел $\mathbb{Z}$ или натуральных чисел $\mathbb{N}$).

Ответ: Числовую прямую удобнее использовать для работы с множествами, состоящими из чисел, когда важны их порядок, величина, а также для визуализации решений неравенств и числовых промежутков.

В каких случаях удобнее диаграмма Эйлера?

Диаграмму Эйлера удобнее использовать в следующих случаях:
1. Когда нужно наглядно показать логические отношения между множествами: пересечение ($A \cap B$), объединение ($A \cup B$), разность ($A \setminus B$) или вложенность (одно множество является подмножеством другого, $A \subset B$).
2. Когда элементы множеств не являются числами. Например, множество "млекопитающие" и множество "хищники". Диаграмма покажет, что есть млекопитающие, которые являются хищниками (область пересечения), есть хищники-не-млекопитающие, и есть млекопитающие-не-хищники.
3. При решении задач по логике и теории множеств, где требуется классифицировать объекты по разным признакам и определить их принадлежность к различным группам.
4. Для иллюстрации свойств операций над множествами, например, распределительного закона: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.

Ответ: Диаграмму Эйлера удобнее использовать для визуализации логических связей между множествами, особенно если их элементы не являются числами или когда основной задачей является анализ их взаимного расположения (пересечение, объединение, вложенность).