Номер 204, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

204 Даны два числовых промежутка $(-3; 4]$ и $(-2; 7]$. Запишите промежуток, который является:

а) их объединением;

б) их пересечением.

а) их объединением;

Объединением двух числовых промежутков является множество, содержащее все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. Обозначим данные промежутки как $A = (-3; 4]$ и $B = (-2; 7]$.

Для нахождения объединения $A \cup B$ необходимо найти наименьшую и наибольшую границы для всего множества чисел. Наименьшей границей будет наименьшая из левых границ, то есть $\min(-3, -2) = -3$. Наибольшей границей будет наибольшая из правых границ, то есть $\max(4, 7) = 7$.

Так как число -3 не принадлежит промежутку $(-3; 4]$ (круглая скобка), оно не будет принадлежать и объединению. Число 7 принадлежит промежутку $(-2; 7]$ (квадратная скобка), поэтому оно будет принадлежать и объединению.

Следовательно, объединением промежутков $(-3; 4]$ и $(-2; 7]$ является промежуток от -3 (не включая) до 7 (включая).

Ответ: $(-3; 7]$.

б) их пересечением.

Пересечением двух числовых промежутков является множество, содержащее все числа, которые принадлежат одновременно обоим этим промежуткам. Обозначим данные промежутки как $A = (-3; 4]$ и $B = (-2; 7]$.

Чтобы найти пересечение $A \cap B$, нужно найти общую часть этих промежутков. Для этого необходимо найти все числа $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $-3 < x \le 4$ и $-2 < x \le 7$.

Это эквивалентно решению системы неравенств:

$ \begin{cases} x > -3 \\ x \le 4 \\ x > -2 \\ x \le 7 \end{cases} $

Из неравенств $x > -3$ и $x > -2$ следует более сильное условие $x > -2$. Из неравенств $x \le 4$ и $x \le 7$ следует более сильное условие $x \le 4$.

Таким образом, мы ищем числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству: $-2 < x \le 4$.

Следовательно, пересечением промежутков $(-3; 4]$ и $(-2; 7]$ является промежуток от -2 (не включая) до 4 (включая).

Ответ: $(-2; 4]$.