Номер 2, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Каким множеством может быть пересечение двух числовых отрезков?

Рассмотрим два произвольных числовых отрезка: $[a, b]$ и $[c, d]$, где $a \le b$ и $c \le d$. Пересечением этих отрезков, обозначаемым как $[a, b] \cap [c, d]$, является множество всех чисел $x$, которые принадлежат обоим отрезкам одновременно. Это означает, что для любого элемента $x$ из пересечения должны выполняться неравенства $a \le x \le b$ и $c \le x \le d$. Эта система неравенств равносильна одному двойному неравенству: $\max(a, c) \le x \le \min(b, d)$.

Из этой формулы видно, что пересечение само является отрезком с концами $\max(a, c)$ и $\min(b, d)$. Однако, этот отрезок является непустым множеством только в том случае, если его левый конец не превышает правый, то есть при выполнении условия $\max(a, c) \le \min(b, d)$. В зависимости от взаимного расположения отрезков $[a, b]$ и $[c, d]$ на числовой оси, возможны три различных случая для их пересечения.

1. Пустое множество
Если отрезки не имеют общих точек, их пересечение является пустым множеством ($\emptyset$). Это происходит, когда один отрезок заканчивается строго раньше, чем начинается другой, то есть при выполнении условий $b < c$ или $d < a$. В этом случае $\max(a, c) > \min(b, d)$, и не существует числа $x$, удовлетворяющего соответствующему неравенству.
Пример: для отрезков $[1, 4]$ и $[6, 9]$, условие $4 < 6$ выполняется, поэтому $[1, 4] \cap [6, 9] = \emptyset$.

2. Точка (вырожденный отрезок)
Если отрезки имеют ровно одну общую точку, то их пересечение — это множество, состоящее из единственного числа. Такая ситуация возникает, когда конец одного отрезка совпадает с началом другого, то есть при $b = c$ или $d = a$. В этом случае $\max(a, c) = \min(b, d)$, и пересечением является вырожденный отрезок, то есть точка.
Пример: для отрезков $[0, 5]$ и $[5, 10]$, единственной общей точкой является число 5, поэтому $[0, 5] \cap [5, 10] = \{5\}$.

3. Отрезок (невырожденный)
Если отрезки имеют общие точки, образующие интервал ненулевой длины, то их пересечением является отрезок. Это происходит, когда отрезки частично или полностью накладываются друг на друга, что соответствует условию $\max(a, c) < \min(b, d)$. Длина полученного отрезка $[\max(a, c), \min(b, d)]$ будет положительной.
Пример 1 (частичное наложение): для отрезков $[-2, 3]$ и $[1, 7]$, пересечением является отрезок $[1, 3]$, так как $[-2, 3] \cap [1, 7] = [\max(-2, 1), \min(3, 7)] = [1, 3]$.
Пример 2 (один отрезок содержится в другом): для отрезков $[-5, 5]$ и $[-1, 2]$, второй отрезок полностью содержится в первом, поэтому $[-5, 5] \cap [-1, 2] = [\max(-5, -1), \min(5, 2)] = [-1, 2]$.

Ответ: Пересечением двух числовых отрезков может быть пустое множество, точка (вырожденный отрезок) или отрезок.