Номер 3, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

3 Каким множеством является объединение двух числовых отрезков, которые имеют общую точку?

Пусть даны два числовых отрезка, которые мы обозначим как $A = [a, b]$ и $B = [c, d]$. Условие, что отрезки имеют общую точку, математически означает, что их пересечение непусто, то есть $A \cap B \neq \emptyset$. Нам необходимо определить, каким множеством является их объединение $A \cup B$.

Для анализа рассмотрим все возможные варианты взаимного расположения двух отрезков на числовой прямой, при которых они имеют хотя бы одну общую точку. Без ограничения общности, предположим, что левая граница первого отрезка не правее левой границы второго, то есть $a \le c$.

Рассмотрим следующие случаи:

Случай 1: Один отрезок содержится в другом.
Это происходит, когда выполняется условие $a \le c \le d \le b$. В этом случае отрезок $B$ является подмножеством отрезка $A$. Их объединение будет равно большему отрезку $A$.
$A \cup B = [a, b] \cup [c, d] = [a, b]$.
Например, объединение отрезков $[1, 10]$ и $[3, 7]$ есть отрезок $[1, 10]$. Результат — числовой отрезок.

Случай 2: Отрезки частично пересекаются.
Это происходит, когда выполняется условие $a \le c \le b \le d$. Отрезки имеют общую часть $[c, b]$. Их объединение будет включать все точки от наименьшей левой границы ($a$) до наибольшей правой границы ($d$).
$A \cup B = [a, b] \cup [c, d] = [a, d]$.
Например, объединение отрезков $[2, 5]$ и $[4, 7]$ есть отрезок $[2, 7]$. Результат — числовой отрезок.

Случай 3: Отрезки соприкасаются в одной точке.
Это предельный случай пересечения, когда правая граница одного отрезка совпадает с левой границей другого. При нашем предположении $a \le c$, это соответствует случаю $b = c$.
$A \cup B = [a, b] \cup [b, d] = [a, d]$.
Например, объединение отрезков $[1, 3]$ и $[3, 5]$ есть отрезок $[1, 5]$. Результат — числовой отрезок.

Случаи, когда $c < a$, рассматриваются абсолютно аналогично и приводят к тем же выводам. Таким образом, во всех возможных вариантах, когда два числовых отрезка имеют хотя бы одну общую точку, их объединение также является числовым отрезком.

В общем виде, если пересечение отрезков $[a, b]$ и $[c, d]$ непусто, то их объединение есть отрезок $[\min(a, c), \max(b, d)]$.

Ответ: числовым отрезком.