Страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Вспомните, какие виды числовых промежутков вам известны.

Числовой промежуток — это подмножество множества всех действительных чисел. Существуют следующие основные виды числовых промежутков:

• Интервал (открытый промежуток)

  Множество всех чисел, заключённых между числами a и b, не включая сами концы a и b. На числовой прямой концы такого промежутка изображаются выколотыми (пустыми) точками.

  Задаётся строгим двойным неравенством: $a < x < b$.

  Обозначается: $(a; b)$.

• Отрезок (замкнутый промежуток)

  Множество всех чисел, заключённых между числами a и b, включая сами концы a и b. На числовой прямой концы такого промежутка изображаются закрашенными (сплошными) точками.

  Задаётся нестрогим двойным неравенством: $a \le x \le b$.

  Обозначается: $[a; b]$.

• Полуинтервал (полуоткрытый промежуток)

  Множество всех чисел, заключённых между числами a и b, включая один из концов и не включая другой. Существует два вида:

  • Промежуток, включающий левый конец: задаётся неравенством $a \le x < b$ и обозначается $[a; b)$.

  • Промежуток, включающий правый конец: задаётся неравенством $a < x \le b$ и обозначается $(a; b]$.

• Числовой луч (бесконечный промежуток)

  Множество всех чисел, которое ограничено числом только с одной стороны. Бывают четырёх видов:

  • Открытый луч: множество всех чисел, больших a. Задаётся неравенством $x > a$ и обозначается $(a; +\infty)$.

  • Луч (или замкнутый луч): множество всех чисел, больших или равных a. Задаётся неравенством $x \ge a$ и обозначается $[a; +\infty)$.

  • Открытый луч: множество всех чисел, меньших b. Задаётся неравенством $x < b$ и обозначается $(-\infty; b)$.

  • Луч (или замкнутый луч): множество всех чисел, меньших или равных b. Задаётся неравенством $x \le b$ и обозначается $(-\infty; b]$.

• Числовая прямая

  Множество всех действительных чисел.

  Обозначается: $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Известны следующие виды числовых промежутков: интервал (открытый промежуток), отрезок (замкнутый промежуток), полуинтервал (полуоткрытый промежуток), числовой луч (бесконечный промежуток) и числовая прямая.

2 Каким множеством может быть пересечение двух числовых отрезков?

Рассмотрим два произвольных числовых отрезка: $[a, b]$ и $[c, d]$, где $a \le b$ и $c \le d$. Пересечением этих отрезков, обозначаемым как $[a, b] \cap [c, d]$, является множество всех чисел $x$, которые принадлежат обоим отрезкам одновременно. Это означает, что для любого элемента $x$ из пересечения должны выполняться неравенства $a \le x \le b$ и $c \le x \le d$. Эта система неравенств равносильна одному двойному неравенству: $\max(a, c) \le x \le \min(b, d)$.

Из этой формулы видно, что пересечение само является отрезком с концами $\max(a, c)$ и $\min(b, d)$. Однако, этот отрезок является непустым множеством только в том случае, если его левый конец не превышает правый, то есть при выполнении условия $\max(a, c) \le \min(b, d)$. В зависимости от взаимного расположения отрезков $[a, b]$ и $[c, d]$ на числовой оси, возможны три различных случая для их пересечения.

1. Пустое множество
Если отрезки не имеют общих точек, их пересечение является пустым множеством ($\emptyset$). Это происходит, когда один отрезок заканчивается строго раньше, чем начинается другой, то есть при выполнении условий $b < c$ или $d < a$. В этом случае $\max(a, c) > \min(b, d)$, и не существует числа $x$, удовлетворяющего соответствующему неравенству.
Пример: для отрезков $[1, 4]$ и $[6, 9]$, условие $4 < 6$ выполняется, поэтому $[1, 4] \cap [6, 9] = \emptyset$.

2. Точка (вырожденный отрезок)
Если отрезки имеют ровно одну общую точку, то их пересечение — это множество, состоящее из единственного числа. Такая ситуация возникает, когда конец одного отрезка совпадает с началом другого, то есть при $b = c$ или $d = a$. В этом случае $\max(a, c) = \min(b, d)$, и пересечением является вырожденный отрезок, то есть точка.
Пример: для отрезков $[0, 5]$ и $[5, 10]$, единственной общей точкой является число 5, поэтому $[0, 5] \cap [5, 10] = \{5\}$.

3. Отрезок (невырожденный)
Если отрезки имеют общие точки, образующие интервал ненулевой длины, то их пересечением является отрезок. Это происходит, когда отрезки частично или полностью накладываются друг на друга, что соответствует условию $\max(a, c) < \min(b, d)$. Длина полученного отрезка $[\max(a, c), \min(b, d)]$ будет положительной.
Пример 1 (частичное наложение): для отрезков $[-2, 3]$ и $[1, 7]$, пересечением является отрезок $[1, 3]$, так как $[-2, 3] \cap [1, 7] = [\max(-2, 1), \min(3, 7)] = [1, 3]$.
Пример 2 (один отрезок содержится в другом): для отрезков $[-5, 5]$ и $[-1, 2]$, второй отрезок полностью содержится в первом, поэтому $[-5, 5] \cap [-1, 2] = [\max(-5, -1), \min(5, 2)] = [-1, 2]$.

Ответ: Пересечением двух числовых отрезков может быть пустое множество, точка (вырожденный отрезок) или отрезок.

3 Каким множеством является объединение двух числовых отрезков, которые имеют общую точку?

Пусть даны два числовых отрезка, которые мы обозначим как $A = [a, b]$ и $B = [c, d]$. Условие, что отрезки имеют общую точку, математически означает, что их пересечение непусто, то есть $A \cap B \neq \emptyset$. Нам необходимо определить, каким множеством является их объединение $A \cup B$.

Для анализа рассмотрим все возможные варианты взаимного расположения двух отрезков на числовой прямой, при которых они имеют хотя бы одну общую точку. Без ограничения общности, предположим, что левая граница первого отрезка не правее левой границы второго, то есть $a \le c$.

Рассмотрим следующие случаи:

Случай 1: Один отрезок содержится в другом.
Это происходит, когда выполняется условие $a \le c \le d \le b$. В этом случае отрезок $B$ является подмножеством отрезка $A$. Их объединение будет равно большему отрезку $A$.
$A \cup B = [a, b] \cup [c, d] = [a, b]$.
Например, объединение отрезков $[1, 10]$ и $[3, 7]$ есть отрезок $[1, 10]$. Результат — числовой отрезок.

Случай 2: Отрезки частично пересекаются.
Это происходит, когда выполняется условие $a \le c \le b \le d$. Отрезки имеют общую часть $[c, b]$. Их объединение будет включать все точки от наименьшей левой границы ($a$) до наибольшей правой границы ($d$).
$A \cup B = [a, b] \cup [c, d] = [a, d]$.
Например, объединение отрезков $[2, 5]$ и $[4, 7]$ есть отрезок $[2, 7]$. Результат — числовой отрезок.

Случай 3: Отрезки соприкасаются в одной точке.
Это предельный случай пересечения, когда правая граница одного отрезка совпадает с левой границей другого. При нашем предположении $a \le c$, это соответствует случаю $b = c$.
$A \cup B = [a, b] \cup [b, d] = [a, d]$.
Например, объединение отрезков $[1, 3]$ и $[3, 5]$ есть отрезок $[1, 5]$. Результат — числовой отрезок.

Случаи, когда $c < a$, рассматриваются абсолютно аналогично и приводят к тем же выводам. Таким образом, во всех возможных вариантах, когда два числовых отрезка имеют хотя бы одну общую точку, их объединение также является числовым отрезком.

В общем виде, если пересечение отрезков $[a, b]$ и $[c, d]$ непусто, то их объединение есть отрезок $[\min(a, c), \max(b, d)]$.

Ответ: числовым отрезком.

4 Каким множеством может быть пересечение двух числовых лучей?

Пересечением двух числовых лучей является множество всех чисел, которые принадлежат обоим лучам одновременно. Чтобы найти все возможные варианты для такого множества, рассмотрим различные случаи взаимного расположения лучей на числовой прямой. В зависимости от их направления и расположения начальных точек, возможны следующие варианты:

Числовой луч

Если оба луча направлены в одну сторону (сонаправлены), их пересечением всегда будет числовой луч. Этот результирующий луч будет начинаться в той из двух начальных точек, которая "ограничивает" множество сильнее.
Например: пересечение лучей $[2, +\infty)$ и $[5, +\infty)$ — это луч $[5, +\infty)$, так как все числа, большие или равные 5, также больше или равны 2.
Математически, для лучей $L_1$, идущего вправо от $a$, и $L_2$, идущего вправо от $b$, их пересечение есть луч, идущий вправо от $\max(a, b)$. Для лучей, идущих влево от $a$ и $b$, пересечение — луч, идущий влево от $\min(a, b)$.

Отрезок, интервал или полуинтервал

Если лучи направлены в противоположные стороны и имеют общую часть (перекрываются), их пересечением будет числовой промежуток конечной длины. Это происходит, когда начальная точка "правого" луча (например, $[a, +\infty)$) лежит левее начальной точки "левого" луча (например, $(-\infty, b]$), то есть $a < b$.
В зависимости от того, включены ли концы в лучи, результат может быть:
• Отрезок: $[a, +\infty) \cap (-\infty, b] = [a, b]$.
• Интервал: $(a, +\infty) \cap (-\infty, b) = (a, b)$.
• Полуинтервал: $[a, +\infty) \cap (-\infty, b) = [a, b)$.

Точка

Пересечение может состоять из одного-единственного числа (точки). Это случается, когда лучи направлены в противоположные стороны, их начальные точки совпадают, и обе эти точки принадлежат своим лучам (то есть оба луча замкнутые).
Например: пересечение лучей $[3, +\infty)$ и $(-\infty, 3]$ есть множество $\{3\}$, состоящее из одной точки $x=3$, так как это единственное число, удовлетворяющее обоим условиям $x \ge 3$ и $x \le 3$.

Пустое множество

Если у лучей нет ни одной общей точки, их пересечение является пустым множеством ($\emptyset$). Такая ситуация возникает в двух основных случаях:
1. Лучи направлены в противоположные стороны и не перекрываются. Это происходит, когда начальная точка "правого" луча лежит правее начальной точки "левого" луча (например, $[10, +\infty)$ и $(-\infty, 1]$, здесь $10>1$).
2. Лучи направлены в противоположные стороны, их начальные точки совпадают, но хотя бы один из лучей является открытым (не включает свою начальную точку). Например, пересечение $(3, +\infty)$ и $(-\infty, 3]$ пусто, так как не существует числа $x$, для которого одновременно выполнялось бы $x > 3$ и $x \le 3$.

Ответ: Пересечением двух числовых лучей может быть: числовой луч; отрезок, интервал или полуинтервал; точка; пустое множество.

210 Найдите пересечение двух числовых промежутков и изобразите промежутки и их пересечение на числовой прямой.

а) $1 \le x \le 3$ и $2 < x \le 8$;

б) $x > 8$ и $x > 5$;

в) $x \le 1,5$ и $-3 \le x \le 6$.

г) $2 < x < 9$ и $x \ge 5,7$.

а) Даны два числовых промежутка $1 \le x \le 3$ и $2 < x \le 8$. Первый промежуток — это отрезок $[1; 3]$, второй — полуинтервал $(2; 8]$. Изобразим их на числовой прямой, используя штриховку. Включенные концы (при знаках $\le$ или $\ge$) обозначаются закрашенными точками, а исключенные (при знаках $<$ или $>$) — выколотыми (пустыми).

Пересечением является общая заштрихованная область, где штриховки накладываются. Эта область соответствует числам, которые больше 2, но не больше 3, то есть $2 < x \le 3$.
Ответ: $(2; 3]$

б) Даны два числовых промежутка $x > 8$ и $x > 5$. В виде интервалов это $(8; +\infty)$ и $(5; +\infty)$. Оба неравенства строгие, поэтому точки 5 и 8 на числовой прямой будут выколотыми.

Пересечением является область, где оба промежутка существуют одновременно. Если число больше 8, оно очевидно и больше 5. Таким образом, общая часть — это все числа, которые строго больше 8, то есть $x > 8$.
Ответ: $(8; +\infty)$

в) Даны два числовых промежутка $x \le 1,5$ и $-3 \le x \le 6$. В виде интервалов это $(-\infty; 1,5]$ и $[-3; 6]$. Все неравенства нестрогие, поэтому точки -3, 1.5 и 6 на числовой прямой будут закрашенными.

Общая заштрихованная область начинается в точке -3 (включительно) и заканчивается в точке 1.5 (включительно). Следовательно, пересечение промежутков есть отрезок $-3 \le x \le 1,5$.
Ответ: $[-3; 1,5]$

г) Даны два числовых промежутка $2 < x < 9$ и $x \ge 5,7$. В виде интервалов это $(2; 9)$ и $[5,7; +\infty)$. Точки 2 и 9 выколотые, а точка 5,7 — закрашенная.

Общая заштрихованная область начинается в точке 5,7 (включительно) и заканчивается перед точкой 9 (не включая ее). Следовательно, пересечение промежутков есть полуинтервал $5,7 \le x < 9$.
Ответ: $[5,7; 9)$