Страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Какие способы задания множеств вам известны? Приведите примеры.

Множество можно задать несколькими способами. Наиболее распространены следующие:

1. Перечисление элементов (экстенсиональный способ)

Этот способ consiste в том, что мы просто перечисляем все элементы, которые принадлежат множеству. Список элементов заключается в фигурные скобки, а сами элементы разделяются запятыми. Порядок, в котором перечислены элементы, не имеет значения. Этот метод удобен для конечных множеств с небольшим числом элементов.

Пример 1: Множество $V$ гласных букв в русском языке.

Запись: $V = \{а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я\}$.

Пример 2: Множество $D$ натуральных делителей числа 12.

Запись: $D = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

Ответ: Способ задания множества путем явного перечисления всех его элементов в фигурных скобках. Примеры: $V = \{а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я\}$, $D = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

2. Указание характеристического свойства (интенсиональный способ)

Этот способ определяет множество через указание общего свойства, которым обладают все его элементы и только они. Используется запись вида $M = \{x \mid P(x)\}$, которая означает: "$M$ – это множество всех таких элементов $x$, для которых истинно утверждение (свойство) $P(x)$". Вертикальная черта (иногда двоеточие) читается как "таких что".

Пример 1: Множество $E$ всех четных натуральных чисел.

Запись: $E = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ является четным}\}$ или $E = \{x \mid x = 2k, k \in \mathbb{N}\}$. Это множество бесконечно, поэтому его невозможно задать полным перечислением.

Пример 2: Множество $S$, являющееся решением уравнения $x^2 - 9 = 0$.

Запись: $S = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 9 = 0\}$. Решив уравнение, мы получим, что это множество можно задать и перечислением: $S = \{-3, 3\}$.

Ответ: Способ задания множества путем описания свойства, которому удовлетворяют все его элементы. Примеры: $E = \{x \mid x = 2k, k \in \mathbb{N}\}$, $S = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 9 = 0\}$.

3. Графический способ (с помощью диаграмм Эйлера-Венна)

Этот способ является наглядным представлением множества. Множество изображается в виде некоторой замкнутой фигуры на плоскости (чаще всего круга или овала), а его элементы — точками внутри этой фигуры. Этот метод особенно полезен для иллюстрации отношений между несколькими множествами (например, пересечения, объединения).

Пример: Пусть есть множество $F = \{яблоко, груша, апельсин\}$. Его можно изобразить в виде круга с меткой $F$, внутри которого находятся три точки, подписанные как "яблоко", "груша" и "апельсин".

Ответ: Способ визуального задания множества с помощью замкнутой фигуры на плоскости, которая содержит все элементы данного множества. Пример: круг, представляющий множество фруктов $F$, с элементами "яблоко", "груша", "апельсин" внутри.

2 Пусть $O$ — множество нечётных, а $E$ — множество чётных натуральных чисел. Известно, что $X \subseteq O$ и $X \subseteq E$. Что можно сказать о множестве $X$?

По условию задачи, даны два множества: $O$ — множество нечётных натуральных чисел и $E$ — множество чётных натуральных чисел.

$O = \{1, 3, 5, 7, \dots\}$
$E = \{2, 4, 6, 8, \dots\}$

Нам известно, что множество $X$ является подмножеством как множества $O$, так и множества $E$. Это записывается в виде двух условий:
1. $X \subset O$
2. $X \subset E$

Условие $X \subset O$ означает, что каждый элемент, который принадлежит множеству $X$, также должен принадлежать и множеству $O$. То есть, все элементы множества $X$ должны быть нечётными числами.

Аналогично, условие $X \subset E$ означает, что каждый элемент множества $X$ должен принадлежать и множеству $E$. То есть, все элементы множества $X$ должны быть чётными числами.

Таким образом, любой элемент множества $X$ должен удовлетворять обоим условиям одновременно: быть и нечётным, и чётным натуральным числом. Однако не существует натурального числа, которое было бы одновременно и чётным, и нечётным.

С точки зрения теории множеств, если множество $X$ является подмножеством двух множеств ($O$ и $E$), то оно также является подмножеством их пересечения: $X \subset (O \cap E)$.

Пересечение множества нечётных натуральных чисел и множества чётных натуральных чисел является пустым множеством, так как у них нет общих элементов:
$O \cap E = \emptyset$

Следовательно, мы получаем, что $X \subset \emptyset$. Единственным подмножеством пустого множества является само пустое множество.

Ответ: Множество $X$ является пустым множеством, то есть $X = \emptyset$.

3 Известно, что $B \subseteq A$. Верно ли, что в множестве $B$ меньше элементов, чем в множестве $A$?

Нет, это утверждение не всегда верно.

Условие $B \subseteq A$ означает, что множество $B$ является подмножеством множества $A$. По определению, это значит, что каждый элемент, принадлежащий множеству $B$, также принадлежит и множеству $A$.

Из этого следует, что число элементов в множестве $B$ (его мощность, обозначаемая как $|B|$) не может превышать число элементов в множестве $A$ (мощность $|A|$). Это выражается неравенством: $|B| \le |A|$.

Вопрос заключается в том, всегда ли выполняется строгое неравенство $|B| < |A|$.

Это не так, потому что определение подмножества включает в себя случай, когда множества равны. Если $A = B$, то условие $B \subseteq A$ истинно. В этом случае множества состоят из одних и тех же элементов, и их мощности равны: $|B| = |A|$.

Например, если множество $A = \{1, 5, 10\}$ и множество $B = \{1, 5, 10\}$, то $B \subseteq A$, но количество элементов в них одинаково: $|B| = 3$ и $|A| = 3$.

Поскольку мы нашли случай, когда в множестве $B$ не меньше элементов, чем в $A$, исходное утверждение не является верным в общем случае. Утверждение "в множестве B меньше элементов, чем в множестве A" было бы верным, если бы речь шла о строгом подмножестве ($B \subset A$), которое по определению не равно множеству $A$.

Ответ: Нет, не верно. В множестве $B$ может быть столько же элементов, сколько и в множестве $A$ (в случае, когда $A = B$).

194 Перечислите все элементы множества:

а) различных остатков при делении на 5;

б) простых чисел, которые $10 < x < 20$;

в) названий месяцев, заканчивающихся на «ябрь».

а) различных остатков при делении на 5;

При делении любого целого числа на натуральное число $n$, остаток от деления $r$ всегда является целым неотрицательным числом, которое строго меньше делителя $n$. В данном случае деление производится на 5, следовательно, для остатка $r$ должно выполняться неравенство $0 \le r < 5$. Целыми числами, которые удовлетворяют этому условию, являются 0, 1, 2, 3 и 4. Таким образом, множество всех возможных различных остатков при делении на 5 состоит из этих пяти чисел.

Ответ: {0, 1, 2, 3, 4}.

б) простых чисел, которые больше 10 и меньше 20;

Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Нам необходимо найти все простые числа, находящиеся в интервале $(10, 20)$. Перечислим все целые числа в этом диапазоне: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Теперь проанализируем каждое из них: 11 — простое (делители 1, 11); 12 — составное (делится на 2); 13 — простое (делители 1, 13); 14 — составное (делится на 2); 15 — составное (делится на 3); 16 — составное (делится на 2); 17 — простое (делители 1, 17); 18 — составное (делится на 2); 19 — простое (делители 1, 19). Таким образом, искомые простые числа — это 11, 13, 17 и 19.

Ответ: {11, 13, 17, 19}.

в) названий месяцев, заканчивающихся на «ябрь».

Для решения этой задачи нужно перечислить все двенадцать месяцев года и выбрать те из них, названия которых оканчиваются на буквосочетание «ябрь». Полный список месяцев: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь. Проверив окончания названий, мы видим, что условию удовлетворяют четыре месяца: сентябрь, октябрь, ноябрь и декабрь.

Ответ: {Сентябрь, Октябрь, Ноябрь, Декабрь}.