Страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

187 Для правильной монеты мы полагаем, что вероятность выпадения орла равна 0,5. Разумно ли ожидать, что при 100 бросаниях монеты орёл выпадет:

а) 5 раз;

б) 49 раз;

в) 90 раз?

Чтобы оценить разумность ожидания того или иного исхода, необходимо найти его математическое ожидание. Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, которое мы ожидаем получить при большом количестве испытаний. Для серии из $n$ независимых испытаний с вероятностью успеха $p$ в каждом, математическое ожидание $E$ вычисляется по формуле $E = n \cdot p$.

В нашей задаче количество бросаний (испытаний) $n = 100$, а вероятность выпадения орла (успеха) для правильной монеты $p = 0,5$. Тогда математическое ожидание числа выпадений орла равно:

$E = 100 \cdot 0,5 = 50$

Это означает, что наиболее вероятное количество выпадений орла при 100 бросках — это 50. Исходы, близкие к 50, можно считать разумными, а исходы, значительно отличающиеся от 50, — неразумными (маловероятными).

а) 5 раз;

Значение 5 очень сильно отличается от математического ожидания, равного 50. Такое большое отклонение ($50 - 5 = 45$) является крайне маловероятным событием. Следовательно, ожидать, что орёл выпадет всего 5 раз, неразумно.

Ответ: неразумно.

б) 49 раз;

Значение 49 очень близко к математическому ожиданию 50. Из-за случайности процесса реальный результат редко в точности совпадает с ожидаемым, и небольшие отклонения от него являются нормой. Результат в 49 орлов — один из самых вероятных. Поэтому ожидать такого исхода вполне разумно.

Ответ: разумно.

в) 90 раз?

Значение 90, так же как и 5, очень сильно отличается от математического ожидания 50. Отклонение составляет $90 - 50 = 40$. Вероятность того, что орёл выпадет 90 раз из 100, чрезвычайно мала. Следовательно, ожидать такого результата неразумно.

Ответ: неразумно.

188 Подбросьте монету 10 раз. Удалось ли вам с первой попытки выбросить десять орлов? Как вы думаете, можно ли считать такое событие маловероятным?

Удалось ли вам с первой попытки выбросить десять орлов?

Эта часть задачи является практическим экспериментом. Провести его мысленно или реально, в подавляющем большинстве случаев ответ будет отрицательным. Получить десять орлов подряд с первой же попытки крайне маловероятно. Существует $2^{10} = 1024$ различных равновероятных комбинаций орлов и решек при 10 бросках, и "десять орлов" — это лишь одна из них.

Ответ: Нет, с первой попытки выбросить десять орлов не удалось.

Как вы думаете, можно ли считать такое событие маловероятным?

Да, это событие можно считать маловероятным. Чтобы это доказать, необходимо рассчитать его математическую вероятность.

При каждом подбрасывании идеальной ("честной") монеты существует два равновероятных исхода: выпадение орла (О) или решки (Р). Вероятность каждого из этих исходов равна $\frac{1}{2}$.

$P(О) = \frac{1}{2}$

Броски монеты являются независимыми событиями, то есть результат предыдущего броска никак не влияет на результат следующего. Вероятность наступления последовательности независимых событий равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Событие, которое нас интересует, — это выпадение орла 10 раз подряд. Вероятность этого (обозначим её как $P(A)$) вычисляется как произведение вероятностей выпадения орла в каждом из десяти бросков:

$P(A) = P(О) \times P(О) \times \dots \times P(О) \text{ (10 множителей)}$

$P(A) = (P(О))^{10} = (\frac{1}{2})^{10}$

Вычислим значение:

$P(A) = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$

Вероятность $\frac{1}{1024}$ очень мала. В десятичной форме это приблизительно $0.000977$, или около $0.098\%$. Это означает, что в среднем нужно совершить 1024 серии по 10 бросков, чтобы ожидать выпадения десяти орлов всего один раз. Так как вероятность этого события очень низкая, его справедливо считают маловероятным.

Ответ: Да, такое событие можно считать маловероятным, поскольку его теоретическая вероятность составляет $P = \frac{1}{1024}$.

189 Бросьте игральную кость 6 раз. Выпало ли шесть шестёрок? Можно ли считать такое событие маловероятным?

Выпало ли шесть шестёрок?

Этот вопрос предполагает проведение реального эксперимента. Теоретически, выпадение шести шестёрок подряд возможно, но на практике это крайне редкое событие. Его вероятность очень мала, как будет показано в следующем пункте. Поэтому, если совершить шесть бросков игральной кости, наиболее ожидаемым результатом будет то, что шесть шестёрок не выпадут.

Ответ: скорее всего, нет.

Можно ли считать такое событие маловероятным?

Да, это событие является маловероятным. Чтобы это показать, необходимо рассчитать его математическую вероятность.

Стандартная игральная кость имеет 6 граней. При каждом броске вероятность выпадения любой конкретной грани, в том числе и шестёрки, равна $ \frac{1}{6} $.

Броски кости являются независимыми событиями, то есть результат одного броска не оказывает никакого влияния на результаты последующих бросков. Вероятность того, что несколько независимых событий произойдут последовательно, равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Таким образом, вероятность выпадения шестёрки 6 раз подряд рассчитывается как:

$P(\text{шесть шестёрок}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = (\frac{1}{6})^6$

Вычислим это значение:

$ (\frac{1}{6})^6 = \frac{1}{6^6} = \frac{1}{46656} $

Полученная вероятность, $ \frac{1}{46656} $, чрезвычайно мала. В виде десятичной дроби это приблизительно $0.0000214$. Это означает, что в среднем такое событие можно ожидать лишь один раз за 46 656 попыток (каждая попытка — это серия из шести бросков).

Поскольку вероятность события очень близка к нулю, его принято считать маловероятным.

Ответ: да, такое событие является маловероятным.

190 Вероятность выпадения шестёрки на правильной кости равна $\frac{1}{6}$. Сколько раз, по вашему мнению, следует ожидать выпадение шестёрки при 600 бросаниях кости?

Для того чтобы найти, сколько раз ожидается выпадение шестёрки, нужно вычислить математическое ожидание этого события. Математическое ожидание — это произведение общего количества испытаний на вероятность наступления события в одном испытании.

Нам даны следующие значения:
- Общее количество бросков кости (испытаний): $n = 600$.
- Вероятность выпадения шестёрки при одном броске: $P(\text{шестёрка}) = \frac{1}{6}$.

Ожидаемое количество выпадений шестёрки (обозначим его $E$) находится по формуле:
$E = n \times P$

Подставим в эту формулу наши данные и выполним расчёт:
$E = 600 \times \frac{1}{6} = \frac{600}{6} = 100$

Таким образом, при 600 бросаниях кости следует ожидать, что шестёрка выпадет 100 раз.

Ответ: 100 раз.

191 Игральную кость бросают 6 раз. Является ли, по вашему мнению, маловероятным случайное событие:

а) шестёрка не выпадет ни разу;

б) какая-то грань выпала более одного раза?

а) шестёрка не выпадет ни разу;
Чтобы определить, является ли событие маловероятным, найдем его вероятность.
При каждом броске игральной кости есть 6 равновозможных исходов. Поскольку кость бросают 6 раз, общее число всех возможных последовательностей результатов равно $6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6^6$.
$N = 6^6 = 46656$ - общее число исходов.
Событие "шестёрка не выпадет ни разу" означает, что при каждом из 6 бросков выпадает любая из 5 других граней (1, 2, 3, 4 или 5).
Число благоприятных исходов для этого события равно $5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^6$.
$N(A) = 5^6 = 15625$.
Вероятность P(A) того, что шестёрка не выпадет ни разу, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{5^6}{6^6} = \left(\frac{5}{6}\right)^6 \approx 0.3349$
Вероятность этого события составляет примерно $33.5\%$. Событие, которое происходит примерно в одном из трех случаев, нельзя считать маловероятным.
Ответ: нет, это событие не является маловероятным.

б) какая-то грань выпала более одного раза?
Для оценки вероятности этого события рассмотрим противоположное ему событие, которое обозначим как B': "ни одна грань не выпала более одного раза". Это означает, что за 6 бросков выпали все 6 граней в какой-то последовательности.
Общее число исходов по-прежнему $N = 6^6 = 46656$.
Найдем число исходов, благоприятствующих событию B'.
При первом броске может выпасть любая из 6 граней.
При втором броске — любая из 5 оставшихся.
При третьем — любая из 4 оставшихся, и так далее.
Число таких исходов равно числу перестановок из 6 элементов: $N(B') = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 6! = 720$.
Вероятность P(B') того, что все выпавшие грани будут разными, равна:
$P(B') = \frac{N(B')}{N} = \frac{6!}{6^6} = \frac{720}{46656} \approx 0.0154$
Вероятность того, что все грани выпадут разными, составляет всего около $1.5\%$, то есть это событие как раз является маловероятным.
Искомое событие B ("какая-то грань выпала более одного раза") является противоположным событию B', поэтому его вероятность равна:
$P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{6!}{6^6} \approx 1 - 0.0154 = 0.9846$
Вероятность этого события составляет примерно $98.5\%$. Это очень высокая вероятность, близкая к достоверному событию.
Ответ: нет, это событие не является маловероятным, а наоборот, является очень вероятным.

192 Правильную игральную кость бросили 6 раз. Оказалось, что единица выпала дважды. Означает ли это, что какое-то число очков не выпало ни разу?

Да, это утверждение является верным. Рассуждаем следующим образом.

Всего на правильной игральной кости 6 граней с числами очков от 1 до 6. Бросков было совершено 6 раз.

По условию, единица выпала дважды. Это означает, что результаты двух из шести бросков известны — это "1".

Остаётся $6 - 2 = 4$ броска. В этих четырёх бросках должны были выпасть какие-то числа из множества $\{2, 3, 4, 5, 6\}$. Количество возможных чисел в этом множестве равно 5.

Таким образом, у нас есть 4 броска, в которые должны "поместиться" 5 различных вариантов чисел (2, 3, 4, 5, 6), чтобы каждое из них выпало хотя бы раз.

Согласно принципу Дирихле, если число объектов (в нашем случае, 5 чисел: 2, 3, 4, 5, 6) больше, чем число ячеек, в которые их раскладывают (в нашем случае, 4 оставшихся броска), то по крайней мере в одной ячейке будет более одного объекта. В нашей интерпретации это означает, что невозможно за 4 броска получить 5 разных результатов. Максимальное количество различных результатов за 4 броска равно 4 (например, если выпали 2, 3, 4, 5).

Поскольку у нас всего 4 оставшихся броска, а кандидатов на выпадение (помимо единицы) — 5, то как минимум $5 - 4 = 1$ число из множества $\{2, 3, 4, 5, 6\}$ не могло выпасть.

Значит, если единица выпала дважды за 6 бросков, гарантированно есть хотя бы одно число от 2 до 6, которое не выпало ни разу.

Ответ: Да, означает.

193 В тесте по биологии 16 задач с выбором ответа из четырёх предложенных вариантов. Верный вариант только один. Тройку ставят за 4 правильных ответа, четвёрку — за 12, а пятёрку — за 15 правильных ответов. Вася не готов к тесту и выбирает ответы наудачу. Разумно ли ожидать, что Вася получит:

а) отметку «3»;

б) отметку «4»;

в) отметку «5»?

Для решения этой задачи воспользуемся теорией вероятностей. В тесте всего 16 заданий, и к каждому есть 4 варианта ответа, из которых только один верный. Вася выбирает ответы наудачу.

Это классическая схема испытаний Бернулли, где:

• Число испытаний (вопросов) $n = 16$.
• Вероятность успеха (угадать правильный ответ) в одном испытании $p = \frac{1}{4}$.
• Вероятность неудачи (ответить неверно) в одном испытании $q = 1 - p = \frac{3}{4}$.

Чтобы понять, какой результат является «разумным», можно найти математическое ожидание (среднее ожидаемое число) правильных ответов. Оно вычисляется по формуле $M(X) = n \cdot p$.

$M(X) = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$.

Таким образом, наиболее вероятное число правильных ответов, которые даст Вася, равно 4. Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) отметку «3»

Отметка «3» ставится за 4 правильных ответа. Это число в точности совпадает с математическим ожиданием. Это означает, что 4 правильных ответа — это самый ожидаемый результат при случайном выборе. Для дополнительного подтверждения можно рассчитать вероятность этого события по формуле Бернулли $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $k$ — число правильных ответов.

Вероятность дать ровно 4 правильных ответа:

$P(X=4) = C_{16}^4 \cdot (\frac{1}{4})^4 \cdot (\frac{3}{4})^{16-4} = \frac{16!}{4!(16-4)!} \cdot (\frac{1}{4})^4 \cdot (\frac{3}{4})^{12} = 1820 \cdot \frac{1}{256} \cdot \frac{531441}{16777216} \approx 0.2252$

Вероятность составляет примерно 22.5%, что является достаточно существенной величиной. Это наиболее вероятный исход из всех возможных. Поэтому ожидать, что Вася получит отметку «3», разумно.

Ответ: Да, разумно.

б) отметку «4»

Отметка «4» ставится за 12 правильных ответов. Это значение (12) очень далеко от математического ожидания (4). Рассчитаем вероятность такого события:

$P(X=12) = C_{16}^{12} \cdot (\frac{1}{4})^{12} \cdot (\frac{3}{4})^{16-12} = \frac{16!}{12!4!} \cdot (\frac{1}{4})^{12} \cdot (\frac{3}{4})^4 = 1820 \cdot \frac{1}{16777216} \cdot \frac{81}{256} \approx 3.43 \cdot 10^{-5}$

Вероятность этого события крайне мала (около 0.0034%). Это означает, что такой исход практически невозможен. Следовательно, ожидать, что Вася получит отметку «4», неразумно.

Ответ: Нет, неразумно.

в) отметку «5»

Отметка «5» ставится за 15 правильных ответов. Это значение (15) ещё дальше от математического ожидания, чем предыдущее. Вероятность этого события будет ещё меньше.

$P(X=15) = C_{16}^{15} \cdot (\frac{1}{4})^{15} \cdot (\frac{3}{4})^{16-15} = \frac{16!}{15!1!} \cdot (\frac{1}{4})^{15} \cdot (\frac{3}{4})^1 = 16 \cdot \frac{3}{4^{16}} \approx 1.12 \cdot 10^{-8}$

Вероятность этого события ничтожно мала (около 0.00000112%). Ожидать получение отметки «5» при ответах наугад совершенно неразумно.

Ответ: Нет, неразумно.