Номер 193, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

193 В тесте по биологии 16 задач с выбором ответа из четырёх предложенных вариантов. Верный вариант только один. Тройку ставят за 4 правильных ответа, четвёрку — за 12, а пятёрку — за 15 правильных ответов. Вася не готов к тесту и выбирает ответы наудачу. Разумно ли ожидать, что Вася получит:

а) отметку «3»;

б) отметку «4»;

в) отметку «5»?

Для решения этой задачи воспользуемся теорией вероятностей. В тесте всего 16 заданий, и к каждому есть 4 варианта ответа, из которых только один верный. Вася выбирает ответы наудачу.

Это классическая схема испытаний Бернулли, где:

• Число испытаний (вопросов) $n = 16$.
• Вероятность успеха (угадать правильный ответ) в одном испытании $p = \frac{1}{4}$.
• Вероятность неудачи (ответить неверно) в одном испытании $q = 1 - p = \frac{3}{4}$.

Чтобы понять, какой результат является «разумным», можно найти математическое ожидание (среднее ожидаемое число) правильных ответов. Оно вычисляется по формуле $M(X) = n \cdot p$.

$M(X) = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$.

Таким образом, наиболее вероятное число правильных ответов, которые даст Вася, равно 4. Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) отметку «3»

Отметка «3» ставится за 4 правильных ответа. Это число в точности совпадает с математическим ожиданием. Это означает, что 4 правильных ответа — это самый ожидаемый результат при случайном выборе. Для дополнительного подтверждения можно рассчитать вероятность этого события по формуле Бернулли $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $k$ — число правильных ответов.

Вероятность дать ровно 4 правильных ответа:

$P(X=4) = C_{16}^4 \cdot (\frac{1}{4})^4 \cdot (\frac{3}{4})^{16-4} = \frac{16!}{4!(16-4)!} \cdot (\frac{1}{4})^4 \cdot (\frac{3}{4})^{12} = 1820 \cdot \frac{1}{256} \cdot \frac{531441}{16777216} \approx 0.2252$

Вероятность составляет примерно 22.5%, что является достаточно существенной величиной. Это наиболее вероятный исход из всех возможных. Поэтому ожидать, что Вася получит отметку «3», разумно.

Ответ: Да, разумно.

б) отметку «4»

Отметка «4» ставится за 12 правильных ответов. Это значение (12) очень далеко от математического ожидания (4). Рассчитаем вероятность такого события:

$P(X=12) = C_{16}^{12} \cdot (\frac{1}{4})^{12} \cdot (\frac{3}{4})^{16-12} = \frac{16!}{12!4!} \cdot (\frac{1}{4})^{12} \cdot (\frac{3}{4})^4 = 1820 \cdot \frac{1}{16777216} \cdot \frac{81}{256} \approx 3.43 \cdot 10^{-5}$

Вероятность этого события крайне мала (около 0.0034%). Это означает, что такой исход практически невозможен. Следовательно, ожидать, что Вася получит отметку «4», неразумно.

Ответ: Нет, неразумно.

в) отметку «5»

Отметка «5» ставится за 15 правильных ответов. Это значение (15) ещё дальше от математического ожидания, чем предыдущее. Вероятность этого события будет ещё меньше.

$P(X=15) = C_{16}^{15} \cdot (\frac{1}{4})^{15} \cdot (\frac{3}{4})^{16-15} = \frac{16!}{15!1!} \cdot (\frac{1}{4})^{15} \cdot (\frac{3}{4})^1 = 16 \cdot \frac{3}{4^{16}} \approx 1.12 \cdot 10^{-8}$

Вероятность этого события ничтожно мала (около 0.00000112%). Ожидать получение отметки «5» при ответах наугад совершенно неразумно.

Ответ: Нет, неразумно.