Номер 3, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

3 Известно, что $B \subseteq A$. Верно ли, что в множестве $B$ меньше элементов, чем в множестве $A$?

Нет, это утверждение не всегда верно.

Условие $B \subseteq A$ означает, что множество $B$ является подмножеством множества $A$. По определению, это значит, что каждый элемент, принадлежащий множеству $B$, также принадлежит и множеству $A$.

Из этого следует, что число элементов в множестве $B$ (его мощность, обозначаемая как $|B|$) не может превышать число элементов в множестве $A$ (мощность $|A|$). Это выражается неравенством: $|B| \le |A|$.

Вопрос заключается в том, всегда ли выполняется строгое неравенство $|B| < |A|$.

Это не так, потому что определение подмножества включает в себя случай, когда множества равны. Если $A = B$, то условие $B \subseteq A$ истинно. В этом случае множества состоят из одних и тех же элементов, и их мощности равны: $|B| = |A|$.

Например, если множество $A = \{1, 5, 10\}$ и множество $B = \{1, 5, 10\}$, то $B \subseteq A$, но количество элементов в них одинаково: $|B| = 3$ и $|A| = 3$.

Поскольку мы нашли случай, когда в множестве $B$ не меньше элементов, чем в $A$, исходное утверждение не является верным в общем случае. Утверждение "в множестве B меньше элементов, чем в множестве A" было бы верным, если бы речь шла о строгом подмножестве ($B \subset A$), которое по определению не равно множеству $A$.

Ответ: Нет, не верно. В множестве $B$ может быть столько же элементов, сколько и в множестве $A$ (в случае, когда $A = B$).