Номер 198, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

198 Множество $M = \{A, B, C, D\}$ состоит из четырёх точек на плоскости. Никакие три из них не лежат на одной прямой. Можно составить множество $N = \{AB, AC, AD, BC, BD, CD\}$, элементами которого являются всевозможные отрезки с концами в этих точках.

a) Запишите множество $T$ всех треугольников с вершинами в точках $A, B, C$ и $D$.

б) Выпишите подмножество множества $N$, состоящее из всех отрезков с концом в точке $B$.

а)

По условию, дано множество из четырех точек $M = \{A, B, C, D\}$, и никакие три из них не лежат на одной прямой. Треугольник определяется тремя вершинами, которые не лежат на одной прямой. Поскольку это условие выполнено для любой тройки точек из множества $M$, то для нахождения всех возможных треугольников нам нужно найти все возможные сочетания трех точек из четырех данных.

Количество таких сочетаний можно найти по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n=4$ (общее количество точек), а $k=3$ (количество вершин в треугольнике).
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$.

Таким образом, можно составить 4 различных треугольника. Перечислим их, выбирая по три вершины из множества ${A, B, C, D}$:

• Треугольник с вершинами A, B, C (обозначим ABC).
• Треугольник с вершинами A, B, D (обозначим ABD).
• Треугольник с вершинами A, C, D (обозначим ACD).
• Треугольник с вершинами B, C, D (обозначим BCD).

Множество $T$ всех этих треугольников будет выглядеть так:

Ответ: $T = \{ABC, ABD, ACD, BCD\}$.

б)

Исходное множество $N$ состоит из всех возможных отрезков, соединяющих пары точек из множества $M$:
$N = \{AB, AC, AD, BC, BD, CD\}$.

Нам нужно найти подмножество множества $N$, которое включает только те отрезки, у которых одним из концов является точка B. Для этого мы должны выбрать из множества $N$ все отрезки, в обозначении которых есть буква "B".

Проанализируем элементы множества $N$:

• Отрезок AB имеет конец в точке B.
• Отрезок AC не имеет конца в точке B.
• Отрезок AD не имеет конца в точке B.
• Отрезок BC имеет конец в точке B.
• Отрезок BD имеет конец в точке B.
• Отрезок CD не имеет конца в точке B.

Таким образом, отрезки, имеющие конец в точке B, это AB, BC и BD.

Ответ: $\{AB, BC, BD\}$.