Номер 2, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 А и В — два множества. Является ли утверждение $(A \cap B) \subset (A \cup B)$ истинным или ложным высказыванием?

Для того чтобы определить, является ли утверждение $(A \cap B) \subset (A \cup B)$ истинным или ложным, необходимо проанализировать определения операций над множествами.

1. Определение пересечения множеств ($A \cap B$)
Пересечение множеств $A$ и $B$ — это множество, содержащее все те и только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Формально: $x \in (A \cap B) \Leftrightarrow (x \in A) \land (x \in B)$.

2. Определение объединения множеств ($A \cup B$)
Объединение множеств $A$ и $B$ — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (либо $A$, либо $B$, либо обоим сразу). Формально: $x \in (A \cup B) \Leftrightarrow (x \in A) \lor (x \in B)$.

3. Определение подмножества ($\subset$)
Множество $X$ является подмножеством множества $Y$ ($X \subset Y$), если каждый элемент множества $X$ также является элементом множества $Y$.

Доказательство:
Чтобы доказать, что $(A \cap B) \subset (A \cup B)$, нам нужно показать, что любой произвольный элемент из множества $(A \cap B)$ также содержится в множестве $(A \cup B)$.

1. Возьмем произвольный элемент $x$ такой, что $x \in (A \cap B)$.
2. По определению пересечения, если $x \in (A \cap B)$, то это означает, что $x \in A$ и одновременно $x \in B$.
3. Теперь рассмотрим условие принадлежности множеству $(A \cup B)$. Элемент принадлежит этому множеству, если он принадлежит $A$ или принадлежит $B$.
4. Поскольку мы установили в пункте 2, что наш элемент $x$ принадлежит $A$ (а также и $B$), он автоматически удовлетворяет условию "принадлежит $A$ или принадлежит $B$".
5. Следовательно, если $x \in (A \cap B)$, то из этого следует, что $x \in (A \cup B)$.

Так как мы показали, что любой элемент из пересечения множеств $A$ и $B$ обязательно является элементом их объединения, то по определению подмножества, $(A \cap B)$ является подмножеством $(A \cup B)$.

Это утверждение верно для любых множеств $A$ и $B$, включая случаи, когда одно из множеств пустое, или когда они не пересекаются (в этом случае их пересечение — пустое множество, которое является подмножеством любого множества).

Ответ: Утверждение является истинным.