Страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Сравните два способа изображать множества — числовую прямую и диаграмму Эйлера. Как вы думаете, в каких случаях удобнее использовать числовую прямую? В каких случаях удобнее диаграмма Эйлера?

Сравнение числовой прямой и диаграммы Эйлера

Числовая прямая и диаграмма Эйлера — это два разных способа визуализации множеств, каждый из которых имеет свои сильные стороны и области применения.

Числовая прямая — это геометрическая модель, которая используется исключительно для изображения множеств, состоящих из чисел. Каждая точка на прямой соответствует определенному числу. Этот способ наглядно показывает порядок элементов множества (какое число больше или меньше другого), расстояние между ними, а также позволяет изображать непрерывные множества, такие как числовые промежутки (интервалы, отрезки). Например, множество всех чисел от -1 до 2 включительно, то есть отрезок $[-1, 2]$.

Диаграмма Эйлера (часто называемая кругами Эйлера) — это схематическое изображение, которое используется для показа логических отношений между множествами. Множества представляются в виде замкнутых фигур (обычно кругов или овалов). Главное преимущество диаграмм Эйлера в их универсальности: они могут изображать множества, состоящие из любых элементов, а не только чисел (например, множество животных, множество студентов, множество геометрических фигур). Основное внимание уделяется отношениям между множествами: пересекаются ли они, является ли одно множество подмножеством другого или они не имеют общих элементов. Например, можно показать, что множество квадратов является подмножеством множества прямоугольников.

Основное различие заключается в том, что числовая прямая показывает количественные отношения внутри числовых множеств (порядок, величину), а диаграмма Эйлера — логические отношения между любыми множествами (включение, пересечение, объединение).

Ответ: Числовая прямая предназначена для наглядного представления упорядоченных числовых множеств, показывая величину и порядок чисел. Диаграмма Эйлера — это универсальный инструмент для изображения логических связей (пересечение, вложенность) между множествами, элементы которых могут иметь любую природу.

В каких случаях удобнее использовать числовую прямую?

Числовую прямую удобно использовать в следующих случаях:
1. Когда необходимо изобразить числовые промежутки: отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи. Например, для визуализации множества $x \ge 5$ или множества $\{x | -2 < x \le 3\}$.
2. При решении и иллюстрации числовых неравенств и их систем. На прямой легко отметить решения, найти их пересечение или объединение.
3. Когда важно показать порядок и взаимное расположение чисел, например, сравнить $\sqrt{2}$ и $1.5$.
4. Для изображения множеств, элементы которых являются действительными числами и их порядок имеет значение (например, множество целых чисел $\mathbb{Z}$ или натуральных чисел $\mathbb{N}$).

Ответ: Числовую прямую удобнее использовать для работы с множествами, состоящими из чисел, когда важны их порядок, величина, а также для визуализации решений неравенств и числовых промежутков.

В каких случаях удобнее диаграмма Эйлера?

Диаграмму Эйлера удобнее использовать в следующих случаях:
1. Когда нужно наглядно показать логические отношения между множествами: пересечение ($A \cap B$), объединение ($A \cup B$), разность ($A \setminus B$) или вложенность (одно множество является подмножеством другого, $A \subset B$).
2. Когда элементы множеств не являются числами. Например, множество "млекопитающие" и множество "хищники". Диаграмма покажет, что есть млекопитающие, которые являются хищниками (область пересечения), есть хищники-не-млекопитающие, и есть млекопитающие-не-хищники.
3. При решении задач по логике и теории множеств, где требуется классифицировать объекты по разным признакам и определить их принадлежность к различным группам.
4. Для иллюстрации свойств операций над множествами, например, распределительного закона: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.

Ответ: Диаграмму Эйлера удобнее использовать для визуализации логических связей между множествами, особенно если их элементы не являются числами или когда основной задачей является анализ их взаимного расположения (пересечение, объединение, вложенность).

2 А и В — два множества. Является ли утверждение $(A \cap B) \subset (A \cup B)$ истинным или ложным высказыванием?

Для того чтобы определить, является ли утверждение $(A \cap B) \subset (A \cup B)$ истинным или ложным, необходимо проанализировать определения операций над множествами.

1. Определение пересечения множеств ($A \cap B$)
Пересечение множеств $A$ и $B$ — это множество, содержащее все те и только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Формально: $x \in (A \cap B) \Leftrightarrow (x \in A) \land (x \in B)$.

2. Определение объединения множеств ($A \cup B$)
Объединение множеств $A$ и $B$ — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (либо $A$, либо $B$, либо обоим сразу). Формально: $x \in (A \cup B) \Leftrightarrow (x \in A) \lor (x \in B)$.

3. Определение подмножества ($\subset$)
Множество $X$ является подмножеством множества $Y$ ($X \subset Y$), если каждый элемент множества $X$ также является элементом множества $Y$.

Доказательство:
Чтобы доказать, что $(A \cap B) \subset (A \cup B)$, нам нужно показать, что любой произвольный элемент из множества $(A \cap B)$ также содержится в множестве $(A \cup B)$.

1. Возьмем произвольный элемент $x$ такой, что $x \in (A \cap B)$.
2. По определению пересечения, если $x \in (A \cap B)$, то это означает, что $x \in A$ и одновременно $x \in B$.
3. Теперь рассмотрим условие принадлежности множеству $(A \cup B)$. Элемент принадлежит этому множеству, если он принадлежит $A$ или принадлежит $B$.
4. Поскольку мы установили в пункте 2, что наш элемент $x$ принадлежит $A$ (а также и $B$), он автоматически удовлетворяет условию "принадлежит $A$ или принадлежит $B$".
5. Следовательно, если $x \in (A \cap B)$, то из этого следует, что $x \in (A \cup B)$.

Так как мы показали, что любой элемент из пересечения множеств $A$ и $B$ обязательно является элементом их объединения, то по определению подмножества, $(A \cap B)$ является подмножеством $(A \cup B)$.

Это утверждение верно для любых множеств $A$ и $B$, включая случаи, когда одно из множеств пустое, или когда они не пересекаются (в этом случае их пересечение — пустое множество, которое является подмножеством любого множества).

Ответ: Утверждение является истинным.

3 Может ли утверждение $(A \cap B) \subseteq (A \cup B)$ быть истинным? Если да, то приведите пример таких множеств $A$ и $B$.

Да, данное утверждение может быть истинным. Более того, оно является тождественно истинным, то есть верным для любых двух множеств $A$ и $B$.

Обоснуем это утверждение. Вспомним определения операций пересечения и объединения множеств:

• Пересечение множеств $A \cap B$ содержит только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.
• Объединение множеств $A \cup B$ содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (либо $A$, либо $B$, либо обоим).

Утверждение $(A \cap B) \subset (A \cup B)$ означает, что пересечение является подмножеством объединения. Чтобы доказать это, нужно показать, что любой элемент, принадлежащий пересечению, также принадлежит и объединению.

Пусть $x$ — это произвольный элемент, принадлежащий пересечению множеств $A$ и $B$, то есть $x \in (A \cap B)$.Согласно определению пересечения, это означает, что элемент $x$ принадлежит как множеству $A$ ($x \in A$), так и множеству $B$ ($x \in B$).

Теперь рассмотрим объединение множеств $A \cup B$. По определению, в него входят все элементы, которые принадлежат $A$ или $B$. Поскольку мы уже знаем, что $x \in A$ (а также $x \in B$), этого достаточно, чтобы утверждать, что $x \in (A \cup B)$.

Таким образом, мы доказали, что любой элемент из $A \cap B$ обязательно содержится в $A \cup B$. Следовательно, утверждение $(A \cap B) \subset (A \cup B)$ всегда истинно.

В соответствии с заданием, приведем конкретный пример.

Пусть даны множества $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$.

1. Найдем их пересечение (общие для $A$ и $B$ элементы):
$A \cap B = \{3\}$

2. Найдем их объединение (все элементы из $A$ и $B$ без повторений):
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

3. Проверим истинность утверждения $(A \cap B) \subset (A \cup B)$ для этих множеств:
$\{3\} \subset \{1, 2, 3, 4, 5\}$

Это утверждение истинно, так как единственный элемент левого множества (число 3) также является элементом правого множества.

Ответ: Да, утверждение может быть истинным. Оно справедливо для любых множеств $A$ и $B$. Например, для $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$, пересечение $A \cap B = \{3\}$ является подмножеством объединения $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

203 Даны два множества $C = \{a, o, d, q\}$ и $D = \{p, o, t, q\}$.

а) Перечислите элементы множества $C \cap D$;

б) Перечислите элементы множества $C \cup D$.

Даны два множества: $C = \{a, o, d, q\}$ и $D = \{p, o, t, q\}$.

а) Перечислите элементы множества C∩D;

Пересечение множеств ($C \cap D$) — это множество, которое содержит все элементы, общие для обоих исходных множеств. Чтобы найти пересечение $C$ и $D$, нужно найти элементы, которые есть и в $C$, и в $D$.
Множество $C = \{a, o, d, q\}$.
Множество $D = \{p, o, t, q\}$.
Сравнивая элементы, мы видим, что общими являются 'o' и 'q'.
Таким образом, $C \cap D = \{o, q\}$.
Ответ: $\{o, q\}$

б) Перечислите элементы множества C∪D.

Объединение множеств ($C \cup D$) — это множество, которое содержит все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств. Чтобы найти объединение $C$ и $D$, нужно перечислить все элементы из обоих множеств, не допуская повторений.
Элементы множества $C$: a, o, d, q.
Элементы множества $D$: p, o, t, q.
Объединяем все уникальные элементы: a, o, d, q, p, t.
Таким образом, $C \cup D = \{a, o, d, p, q, t\}$.
Ответ: $\{a, o, d, p, q, t\}$

204 Даны два числовых промежутка $(-3; 4]$ и $(-2; 7]$. Запишите промежуток, который является:

а) их объединением;

б) их пересечением.

а) их объединением;

Объединением двух числовых промежутков является множество, содержащее все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. Обозначим данные промежутки как $A = (-3; 4]$ и $B = (-2; 7]$.

Для нахождения объединения $A \cup B$ необходимо найти наименьшую и наибольшую границы для всего множества чисел. Наименьшей границей будет наименьшая из левых границ, то есть $\min(-3, -2) = -3$. Наибольшей границей будет наибольшая из правых границ, то есть $\max(4, 7) = 7$.

Так как число -3 не принадлежит промежутку $(-3; 4]$ (круглая скобка), оно не будет принадлежать и объединению. Число 7 принадлежит промежутку $(-2; 7]$ (квадратная скобка), поэтому оно будет принадлежать и объединению.

Следовательно, объединением промежутков $(-3; 4]$ и $(-2; 7]$ является промежуток от -3 (не включая) до 7 (включая).

Ответ: $(-3; 7]$.

б) их пересечением.

Пересечением двух числовых промежутков является множество, содержащее все числа, которые принадлежат одновременно обоим этим промежуткам. Обозначим данные промежутки как $A = (-3; 4]$ и $B = (-2; 7]$.

Чтобы найти пересечение $A \cap B$, нужно найти общую часть этих промежутков. Для этого необходимо найти все числа $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $-3 < x \le 4$ и $-2 < x \le 7$.

Это эквивалентно решению системы неравенств:

$ \begin{cases} x > -3 \\ x \le 4 \\ x > -2 \\ x \le 7 \end{cases} $

Из неравенств $x > -3$ и $x > -2$ следует более сильное условие $x > -2$. Из неравенств $x \le 4$ и $x \le 7$ следует более сильное условие $x \le 4$.

Таким образом, мы ищем числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству: $-2 < x \le 4$.

Следовательно, пересечением промежутков $(-3; 4]$ и $(-2; 7]$ является промежуток от -2 (не включая) до 4 (включая).

Ответ: $(-2; 4]$.

205 Изобразите на диаграмме Эйлера множества X и Y, для которых выполняются соотношение:

а) $X \cap Y = X$;

б) $X \cup Y = X$;

в) $X \cup Y = \emptyset$.

а) Соотношение $X \cap Y = X$ означает, что пересечение множеств X и Y равно самому множеству X. Пересечение множеств ($X \cap Y$) содержит все элементы, которые принадлежат одновременно и множеству X, и множеству Y. Если это пересечение равно X, то это значит, что все элементы множества X также должны быть элементами множества Y. Таким образом, множество X является подмножеством множества Y. Это записывается как $X \subseteq Y$. На диаграмме Эйлера это изображается в виде круга, представляющего множество X, который полностью находится внутри круга, представляющего множество Y.

Ответ: Множество X является подмножеством множества Y ($X \subseteq Y$).

б) Соотношение $X \cup Y = X$ означает, что объединение множеств X и Y равно самому множеству X. Объединение множеств ($X \cup Y$) содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (X или Y). Если это объединение равно X, то это значит, что в множестве Y нет элементов, которые бы не принадлежали множеству X. Другими словами, все элементы множества Y также являются элементами множества X. Таким образом, множество Y является подмножеством множества X. Это записывается как $Y \subseteq X$. На диаграмме Эйлера это изображается в виде круга, представляющего множество Y, который полностью находится внутри круга, представляющего множество X.

Ответ: Множество Y является подмножеством множества X ($Y \subseteq X$).

в) Соотношение $X \cup Y = \emptyset$ означает, что объединение множеств X и Y равно пустому множеству. Пустое множество ($\emptyset$) не содержит ни одного элемента. Объединение двух множеств может быть пустым только в одном случае: если оба этих множества сами являются пустыми. То есть, и в множестве X, и в множестве Y нет ни одного элемента. Таким образом, $X = \emptyset$ и $Y = \emptyset$. На диаграмме Эйлера для таких множеств нет отдельных областей, так как они не содержат элементов. Диаграмма будет представлять собой универсальное множество (прямоугольник с меткой U), внутри которого ничего нет.

Ответ: Оба множества, X и Y, являются пустыми множествами ($X = \emptyset$ и $Y = \emptyset$).

206 Перерисуйте в тетрадь диаграмму Эйлера (рис. 54) и укажите на ней множество:

a) $A \cup (B \cap C);$

б) $A \cap (B \cup C).$

Рисунок 54

а) $A \cup (B \cap C)$

Для того чтобы указать на диаграмме Эйлера множество $A \cup (B \cap C)$, необходимо выполнить операции в соответствии с их приоритетом. Сначала выполняется операция в скобках (пересечение), а затем объединение.

1. Находим пересечение множеств B и C ($B \cap C$). Это область, которая принадлежит одновременно и множеству B, и множеству C. На диаграмме это общая часть кругов B и C.

2. Находим объединение множества A с результатом шага 1 ($A \cup (B \cap C)$). Объединение множеств — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Таким образом, искомое множество включает в себя все элементы множества A, а также все элементы множества ($B \cap C$).

На диаграмме нужно заштриховать весь круг A и к нему добавить ту часть пересечения B и C, которая еще не была заштрихована. В итоге заштрихованной окажется вся область, принадлежащая множеству A, и область, принадлежащая пересечению B и C.

Ответ:

б) $A \cap (B \cup C)$

Для того чтобы указать на диаграмме Эйлера множество $A \cap (B \cup C)$, необходимо сначала выполнить операцию в скобках (объединение), а затем пересечение.

1. Находим объединение множеств B и C ($B \cup C$). Это область, которая принадлежит множеству B, или множеству C, или им обоим. На диаграмме это вся область, покрываемая кругами B и C.

2. Находим пересечение множества A с результатом шага 1 ($A \cap (B \cup C)$). Пересечение множеств — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат одновременно обоим этим множествам. Таким образом, искомое множество включает в себя элементы, которые находятся одновременно и в множестве A, и в объединенном множестве ($B \cup C$).

На диаграмме это будет та часть круга A, которая пересекается с областью, покрываемой кругами B и C. Это можно также представить, используя распределительный закон: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$. То есть, это объединение пересечения A и B с пересечением A и C.

Ответ:

207 Пользуясь диаграммой Эйлера, проверьте, верно ли равенство:

а) $A \cup (B \cap A) = B$;

б) $A \cap (B \cup A) = A$.

а) $A \cup (B \cap A) = B$

Для проверки этого равенства воспользуемся диаграммой Эйлера. Изобразим два произвольных пересекающихся множества $A$ и $B$ в виде кругов.

1. Сначала определим область, соответствующую выражению в скобках: $B \cap A$. Это пересечение множеств $A$ и $B$, то есть общая часть кругов $A$ и $B$.

2. Далее рассмотрим левую часть равенства целиком: $A \cup (B \cap A)$. Это объединение множества $A$ (весь круг $A$) с областью пересечения $B \cap A$. Поскольку область пересечения $B \cap A$ уже является частью множества $A$ (то есть $(B \cap A) \subseteq A$), их объединение даст в результате само множество $A$. Это один из законов поглощения в теории множеств.

3. Таким образом, левая часть исходного равенства $A \cup (B \cap A)$ на самом деле равна $A$. Тогда проверяемое равенство можно переписать как $A = B$.

Однако в общем случае множества $A$ и $B$ не обязаны быть равными. На диаграмме Эйлера это видно по наличию частей у каждого круга, не входящих в пересечение. Чтобы доказать, что равенство неверно в общем случае, достаточно привести один контрпример.

Пусть $A = \{1, 2\}$ и $B = \{2, 3\}$.
Найдем пересечение: $B \cap A = \{2\}$.
Вычислим левую часть: $A \cup (B \cap A) = \{1, 2\} \cup \{2\} = \{1, 2\}$.
Правая часть равна $B = \{2, 3\}$.
Так как $\{1, 2\} \neq \{2, 3\}$, то равенство $A \cup (B \cap A) = B$ не является верным для произвольных множеств.

Ответ: равенство неверно.

б) $A \cap (B \cup A) = A$

Снова воспользуемся диаграммой Эйлера с двумя пересекающимися множествами $A$ и $B$.

1. Сначала определим область, соответствующую выражению в скобках: $B \cup A$. Это объединение множеств $A$ и $B$, то есть вся область, занимаемая обоими кругами вместе.

2. Теперь рассмотрим левую часть равенства: $A \cap (B \cup A)$. Это пересечение множества $A$ (круг $A$) с объединением $B \cup A$ (вся область двух кругов). Мы ищем общую для них область.

Поскольку множество $A$ целиком входит в состав объединения $B \cup A$ (то есть $A \subseteq (B \cup A)$), то их пересечение будет равно самому множеству $A$.

3. Таким образом, левая часть равенства $A \cap (B \cup A)$ всегда равна $A$.

4. Сравнивая левую и правую части, получаем тождество $A = A$. Это равенство, известное как второй закон поглощения, верно для любых множеств $A$ и $B$. На диаграмме Эйлера это означает, что пересечение круга $A$ с общей площадью обоих кругов есть сам круг $A$.

Ответ: равенство верно.

208 Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $M$ — это общее количество математиков, а $F$ — общее количество философов. Пусть $X$ — это количество людей, которые являются одновременно и математиками, и философами.

Согласно первому условию, «среди математиков каждый седьмой — философ». Это означает, что число людей, являющихся и математиками, и философами, составляет $\frac{1}{7}$ от общего числа математиков. Мы можем записать это в виде уравнения:
$X = \frac{1}{7}M$

Согласно второму условию, «среди философов каждый девятый — математик». Это означает, что то же самое число людей $X$ составляет $\frac{1}{9}$ от общего числа философов. Запишем второе уравнение:
$X = \frac{1}{9}F$

Так как обе формулы описывают одну и ту же группу людей $X$, мы можем приравнять правые части этих уравнений:
$\frac{1}{7}M = \frac{1}{9}F$

Чтобы сравнить количество математиков ($M$) и философов ($F$), выразим одну переменную через другую. Умножим обе части равенства на 7:
$M = 7 \cdot \frac{1}{9}F$
$M = \frac{7}{9}F$

Из полученного соотношения видно, что количество математиков ($M$) составляет $\frac{7}{9}$ от количества философов ($F$). Поскольку дробь $\frac{7}{9}$ меньше единицы, это означает, что число математиков меньше числа философов.
$M < F$

Ответ: философов больше, чем математиков.

209 Двенадцать малышей вышли во двор играть в песочнице. Каждый, кто принёс ведёрко, принёс и совочек. Забыли дома ведёрко девять малышей, совочек забыли двое. На сколько меньше тех, кто принёс ведёрко, чем тех, кто забыл дома ведёрко, но принёс совочек?

Для решения задачи разберем все условия по шагам и определим количество малышей в каждой из необходимых нам групп.

1. Сначала определим, сколько всего малышей принесли с собой ведёрко.
Общее количество малышей — 12. Из них 9 забыли ведёрко. Значит, число малышей, которые взяли ведёрко, составляет:
$12 - 9 = 3$ (малыша).

2. Далее определим, сколько малышей принесли с собой совочек.
Из 12 малышей двое забыли совочек. Следовательно, количество малышей, которые принесли совочек, равно:
$12 - 2 = 10$ (малышей).

3. Теперь найдём количество малышей, которые забыли дома ведёрко, но принесли совочек.
Мы знаем, что совочек принесли 10 малышей. В условии сказано, что каждый, кто принёс ведёрко, принёс и совочек. Так как ведёрко принесли 3 малыша, то все они входят в число тех 10, кто принёс совочек.
Чтобы найти, сколько малышей принесли только совочек (без ведёрка), нужно из общего числа детей с совочками вычесть тех, у кого есть и ведёрко:
$10 - 3 = 7$ (малышей).
Таким образом, 7 малышей забыли ведёрко, но принесли совочек.

4. Осталось ответить на главный вопрос задачи: на сколько меньше тех, кто принёс ведёрко, чем тех, кто забыл ведёрко, но принёс совочек.
Количество малышей, принёсших ведёрко, — 3.
Количество малышей, забывших ведёрко, но принёсших совочек, — 7.
Найдём разницу между этими двумя группами:
$7 - 3 = 4$.

Ответ: тех, кто принёс ведёрко, на 4 меньше.