Страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Сформулируйте правило умножения для двух множеств.

1. Правило умножения, также известное как комбинаторное правило произведения, является фундаментальным принципом комбинаторики. Для двух множеств оно формулируется следующим образом:

Если элемент из первого множества, назовем его $A$, можно выбрать $m$ способами, а элемент из второго множества, назовем его $B$, можно выбрать $n$ способами, то количество способов составить упорядоченную пару $(a, b)$, где $a \in A$ и $b \in B$, равно произведению $m \cdot n$.

Это правило напрямую связано с понятием декартова произведения множеств. Декартовым произведением множеств $A$ и $B$ (обозначается $A \times B$) является множество всех возможных упорядоченных пар $(a, b)$, таких что $a$ принадлежит $A$, а $b$ принадлежит $B$. Мощность (то есть количество элементов) декартова произведения равна произведению мощностей исходных множеств. Формула выглядит так:

$|A \times B| = |A| \cdot |B|$

Для наглядности рассмотрим пример. Пусть у нас есть 3 футболки (множество $A = \{красная, синяя, зеленая\}$) и 2 пары джинсов (множество $B = \{синие, черные\}$).
Количество футболок: $|A| = 3$.
Количество джинсов: $|B| = 2$.
Чтобы найти общее количество возможных нарядов, нужно перемножить количество элементов в каждом множестве:
$|A| \cdot |B| = 3 \cdot 2 = 6$.
Таким образом, можно составить 6 различных комплектов одежды.

Ответ: Правило умножения для двух множеств $A$ и $B$ гласит, что число способов составить упорядоченную пару $(a,b)$, где $a \in A$ и $b \in B$, равно произведению мощностей (количества элементов) этих множеств: $|A| \cdot |B|$.

2 Сколько может быть различных результатов при бросании трёх монет?

Для определения количества различных результатов при бросании трёх монет, нужно учесть, что у каждой монеты есть два возможных исхода: орёл (О) или решка (Р).

Поскольку броски монет являются независимыми событиями (результат одного броска не влияет на другой), мы можем использовать основное правило комбинаторики — правило умножения.

• Для первой монеты существует 2 возможных исхода.
• Для второй монеты независимо от первой также существует 2 исхода.
• Для третьей монеты также 2 исхода.

Чтобы найти общее число всех возможных комбинаций, необходимо перемножить количество исходов для каждой монеты:

Общее количество результатов = $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Для наглядности можно перечислить все возможные варианты последовательностей выпадения орлов и решек:

1. Орёл, Орёл, Орёл (О,О,О)
2. Орёл, Орёл, Решка (О,О,Р)
3. Орёл, Решка, Орёл (О,Р,О)
4. Орёл, Решка, Решка (О,Р,Р)
5. Решка, Орёл, Орёл (Р,О,О)
6. Решка, Орёл, Решка (Р,О,Р)
7. Решка, Решка, Орёл (Р,Р,О)
8. Решка, Решка, Решка (Р,Р,Р)

Таким образом, подсчёт показывает, что всего существует 8 различных результатов.

Ответ: 8

220 В группе детского сада 11 мальчиков и 8 девочек. Сколько можно составить пар «мальчик — девочка»?

Для решения этой задачи используется комбинаторное правило умножения. Чтобы составить одну пару «мальчик — девочка», нам нужно сделать два выбора: выбрать одного мальчика и выбрать одну девочку.

1. Выбор мальчика: у нас есть 11 мальчиков, следовательно, существует 11 различных способов выбрать одного мальчика для пары.

2. Выбор девочки: у нас есть 8 девочек, следовательно, существует 8 различных способов выбрать одну девочку для пары.

Чтобы найти общее количество возможных пар, нужно перемножить количество вариантов выбора мальчика на количество вариантов выбора девочки.

Пусть $M$ — количество мальчиков, а $D$ — количество девочек. Тогда общее количество пар $N$ вычисляется по формуле:

$N = M \times D$

Подставим в формулу данные из условия задачи:

$N = 11 \times 8 = 88$

Следовательно, можно составить 88 различных пар.

Ответ: 88.

221 В множестве A восемь элементов, а в множестве B пять элементов. Сколько можно составить пар вида $(a; b)$, где $a \in A$ и $b \in B$?

По условию задачи, даны два множества: множество $A$, содержащее 8 элементов, и множество $B$, содержащее 5 элементов. Количество элементов в множестве (его мощность) обозначается как $|A|$ и $|B|$. Таким образом, нам дано, что $|A| = 8$ и $|B| = 5$.

Требуется найти количество всех возможных упорядоченных пар вида $(a; b)$, где первый элемент $a$ принадлежит множеству $A$ ($a \in A$), а второй элемент $b$ принадлежит множеству $B$ ($b \in B$).

Для решения этой задачи применяется правило произведения из комбинаторики. Чтобы составить одну пару $(a; b)$, необходимо последовательно выполнить два действия:
1. Выбрать первый элемент пары, $a$, из множества $A$. Поскольку в множестве $A$ находится 8 элементов, существует 8 различных способов сделать этот выбор.
2. Выбрать второй элемент пары, $b$, из множества $B$. Поскольку в множестве $B$ находится 5 элементов, существует 5 различных способов сделать этот выбор.

Выбор элемента из множества $A$ не зависит от выбора элемента из множества $B$. Поэтому общее количество возможных пар равно произведению числа способов выбора для каждого элемента.

Общее количество пар = (Число способов выбрать $a$) $\times$ (Число способов выбрать $b$) = $|A| \times |B|$.

Подставляем данные из условия:
Количество пар = $8 \times 5 = 40$.

Ответ: 40.

222 Игровая кость имеет форму правильного двенадцатигранника. Грани пронумерованы числами от 1 до 12. Эту кость бросают 2 раза. Сколько существует различных результатов? Считайте, что пары выпавших чисел упорядочены: например, сначала 8, а затем 12 и сначала 12, а затем 8 — это разные результаты.

По условию задачи, игральная кость представляет собой правильный двенадцатигранник, грани которого пронумерованы числами от 1 до 12. Кость бросают два раза. Результат каждого броска — это число, выпавшее на верхней грани. Нам необходимо найти общее количество различных упорядоченных пар результатов.

Рассмотрим первый бросок. Поскольку на гранях кости есть числа от 1 до 12, при первом броске может выпасть любое из этих 12 чисел. Таким образом, для первого броска существует 12 возможных исходов.

Теперь рассмотрим второй бросок. Условия для второго броска такие же, как и для первого. Результат второго броска не зависит от результата первого. Следовательно, для второго броска также существует 12 возможных исходов.

В задаче указано, что пары выпавших чисел упорядочены. Это означает, что порядок, в котором выпадают числа, имеет значение. Например, результат «сначала 8, а затем 12» (пара (8, 12)) отличается от результата «сначала 12, а затем 8» (пара (12, 8)).

Для нахождения общего количества таких упорядоченных пар мы можем использовать правило умножения из комбинаторики. Если первое действие можно выполнить $n_1$ способами, а второе действие можно выполнить $n_2$ способами, то оба действия в указанном порядке можно выполнить $N$ способами, где: $N = n_1 \times n_2$

В нашем случае:

• $n_1$ (количество исходов первого броска) = 12
• $n_2$ (количество исходов второго броска) = 12

Подставляем эти значения в формулу: $N = 12 \times 12 = 144$

Таким образом, существует 144 различных результата при двукратном бросании двенадцатигранной кости.

Ответ: 144

223 Сколько существует натуральных трёхзначных чисел, которые начинаются не цифрой 9 и при этом делятся на 5?

Для решения этой задачи необходимо определить количество возможных вариантов для каждой из трёх цифр числа, удовлетворяющих всем условиям, и затем перемножить эти количества.
Трёхзначное число состоит из цифры сотен, цифры десятков и цифры единиц.

1. Цифра сотен. Число является трёхзначным, поэтому первая цифра не может быть 0. По условию, она также не должна быть 9. Таким образом, для первой цифры остаются варианты: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Всего 8 возможных вариантов.

2. Цифра десятков. На вторую цифру нет никаких ограничений. Она может быть любой цифрой от 0 до 9. Следовательно, для неё существует 10 возможных вариантов.

3. Цифра единиц. Число должно делиться на 5. Согласно признаку делимости на 5, число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Значит, для последней цифры есть 2 возможных варианта.

Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:
$8 \times 10 \times 2 = 160$

Таким образом, существует 160 натуральных трёхзначных чисел, которые не начинаются на 9 и делятся на 5.

Ответ: 160

224 Сколько существует натуральных четырёхзначных чисел, которые составлены только из:

а) чётных цифр;

б) нечётных цифр?

а) чётных цифр;

Найдём количество натуральных четырёхзначных чисел, которые составлены только из чётных цифр. Множество всех чётных цифр: {0, 2, 4, 6, 8}. Всего 5 цифр.

Четырёхзначное число состоит из четырёх разрядов. Для того чтобы число было четырёхзначным, его первая цифра (в разряде тысяч) не может быть нулём.

• На место первой цифры можно выбрать любую из чётных цифр, кроме 0. Таких цифр 4: {2, 4, 6, 8}.
• На место второй цифры (сотни) можно выбрать любую из 5 чётных цифр: {0, 2, 4, 6, 8}.
• На место третьей цифры (десятки) можно выбрать любую из 5 чётных цифр.
• На место четвёртой цифры (единицы) также можно выбрать любую из 5 чётных цифр.

Согласно комбинаторному правилу произведения, общее количество возможных четырёхзначных чисел, составленных из чётных цифр, равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 4 \cdot 5^3 = 4 \cdot 125 = 500$.

Ответ: 500.

б) нечётных цифр?

Теперь найдём количество натуральных четырёхзначных чисел, которые составлены только из нечётных цифр. Множество всех нечётных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}. Всего 5 цифр.

Как и в предыдущем случае, число состоит из четырёх разрядов.

• На место первой цифры можно выбрать любую из 5 нечётных цифр. Ограничения на ноль здесь нет, так как ноль не является нечётной цифрой.
• На место второй цифры можно выбрать любую из 5 нечётных цифр.
• На место третьей цифры можно выбрать любую из 5 нечётных цифр.
• На место четвёртой цифры также можно выбрать любую из 5 нечётных цифр.

Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 = 625$.

Ответ: 625.

225 Сколько диагоналей:

а) у 15-угольника;

б) у 20-угольника?

Для нахождения количества диагоналей в выпуклом многоугольнике используется специальная формула. Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.

Общее количество диагоналей $D$ в многоугольнике с $n$ вершинами можно вычислить по формуле:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Эта формула получается следующим образом: из каждой из $n$ вершин можно провести диагональ ко всем остальным вершинам, кроме самой себя и двух соседних. То есть, из каждой вершины выходит $n-3$ диагонали. Если умножить количество вершин на количество выходящих из них диагоналей ($n \times (n-3)$), мы посчитаем каждую диагональ дважды (например, диагональ из вершины A в вершину C и из C в A — это одна и та же диагональ). Поэтому результат нужно разделить на 2.

Теперь применим эту формулу для решения задачи.

а) у 15-угольника;

Для 15-угольника количество вершин $n = 15$.

Подставим значение $n=15$ в формулу:

$D = \frac{15 \times (15 - 3)}{2} = \frac{15 \times 12}{2}$

$D = \frac{180}{2} = 90$

Таким образом, у 15-угольника 90 диагоналей.

Ответ: 90.

б) у 20-угольника?

Для 20-угольника количество вершин $n = 20$.

Подставим значение $n=20$ в формулу:

$D = \frac{20 \times (20 - 3)}{2} = \frac{20 \times 17}{2}$

$D = 10 \times 17 = 170$

Таким образом, у 20-угольника 170 диагоналей.

Ответ: 170.

226 Натуральное число называется палиндромом, если оно одинаково читается в обе стороны. Например, числа 343 и 89 398 – палиндромы.

Сколько существует:

а) трёхзначных чисел-палиндромов;

б) четырёхзначных чисел-палиндромов;

в) семизначных палиндромов;

г) восьмизначных палиндромов?

а) трёхзначных чисел-палиндромов;

Трёхзначное число-палиндром имеет вид $ABA$, где $A$ и $B$ – это цифры. Поскольку число является трёхзначным, его первая цифра $A$ не может быть нулём. Таким образом, для цифры $A$ существует 9 возможных вариантов (от 1 до 9). Средняя цифра $B$ может быть любой, от 0 до 9, что даёт 10 вариантов. Третья цифра должна быть такой же, как и первая, то есть $A$, поэтому её выбор однозначно определён. Общее количество таких чисел равно произведению числа вариантов для независимых цифр: $9 \times 10 = 90$. Ответ: 90

б) четырёхзначных чисел-палиндромов;

Четырёхзначное число-палиндром имеет вид $ABBA$. Первая цифра $A$ не может быть нулём, поэтому для неё есть 9 вариантов (цифры от 1 до 9). Вторая цифра $B$ может быть любой, от 0 до 9, что даёт 10 вариантов. Третья и четвёртая цифры определяются первыми двумя (третья равна $B$, а четвёртая – $A$). Следовательно, общее количество четырёхзначных палиндромов равно произведению числа вариантов для $A$ и $B$: $9 \times 10 = 90$. Ответ: 90

в) семизначных палиндромов;

Семизначное число-палиндром имеет вид $ABCDСBA$. Такое число полностью определяется первыми четырьмя цифрами ($A, B, C, D$), так как остальные три ($C, B, A$) являются их зеркальным отражением. Первая цифра $A$ не может быть нулём (9 вариантов). Каждая из следующих трёх цифр ($B, C, D$) может быть любой, от 0 до 9 (по 10 вариантов для каждой). Общее количество таких чисел равно: $9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^3 = 9000$. Ответ: 9000

г) восьмизначных палиндромов?

Восьмизначное число-палиндром имеет вид $ABCDDCBA$. Число полностью определяется выбором первых четырёх цифр ($A, B, C, D$). Для первой цифры $A$ есть 9 вариантов (от 1 до 9). Для каждой из цифр $B$, $C$ и $D$ есть по 10 вариантов (от 0 до 9). Таким образом, общее количество восьмизначных палиндромов составляет: $9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^3 = 9000$. Ответ: 9000