Страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Школьник говорит: «Я написал изложение и не сделал ни одной ошибки». Что здесь является случайным опытом, а что — случайным событием?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно разобраться в определениях случайного опыта и случайного события в теории вероятностей.

Случайный опыт – это некоторое действие или испытание, результат которого нельзя предсказать со стопроцентной уверенностью, хотя можно перечислить множество всех возможных результатов. В данной ситуации таким действием является процесс написания изложения. Когда школьник пишет изложение, заранее неизвестно, сколько ошибок он допустит. Это может быть ноль ошибок, одна, две или больше.

Случайное событие – это один из возможных исходов (результатов) случайного опыта. Утверждение «не сделал ни одной ошибки» описывает один конкретный исход написания изложения. Это и есть случайное событие, которое могло произойти, а могло и не произойти (например, если бы школьник сделал хотя бы одну ошибку).

Ответ: Случайным опытом является написание изложения, а случайным событием — результат «не сделал ни одной ошибки».

2 В классе 25 учеников. Учитель во время урока вызывает к доске одного ученика. Сколько различных элементарных событий имеет этот случайный опыт?

В данной задаче случайным опытом является действие учителя, который вызывает к доске одного ученика.

Элементарным событием (или исходом) в теории вероятностей называется один из возможных взаимоисключающих результатов случайного опыта. В этом случае каждый отдельный ученик, которого могут вызвать к доске, представляет собой одно элементарное событие.

Например, если в классе есть ученики Иванов, Петров, Сидорова и так далее, то элементарными событиями будут:

• "К доске вызвали Иванова"
• "К доске вызвали Петрова"
• "К доске вызвали Сидорову"
• ... и так далее для каждого ученика.

Поскольку в классе всего 25 учеников, и учитель может вызвать любого из них, то существует ровно 25 различных и равновероятных исходов этого случайного опыта. Таким образом, количество различных элементарных событий равно количеству учеников в классе.

Число учеников в классе: $N = 25$.
Число элементарных событий равно $N$.

Ответ: $25$

3 Могут ли в результате опыта одновременно наступить два различных элементарных события?

Нет, в результате одного и того же случайного опыта два различных элементарных события наступить одновременно не могут.

Это следует из фундаментального определения элементарного события в теории вероятностей. Элементарное событие (или элементарный исход) — это простейший, неделимый и взаимоисключающий вариант, которым может завершиться случайный эксперимент. По определению, в каждом отдельном испытании реализуется ровно один элементарный исход из всего множества возможных исходов (пространства элементарных событий).

Таким образом, все элементарные события одного опыта являются несовместными. Это означает, что наступление одного из них автоматически исключает возможность наступления любого другого в том же испытании. Если $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $ — два различных элементарных события, то их одновременное наступление невозможно, что математически записывается как пересечение, равное пустому множеству: $ \omega_1 \cap \omega_2 = \emptyset $.

Приведем простые примеры:

• При подбрасывании монеты элементарные события — «орел» и «решка». Невозможно получить оба результата одновременно.
• При броске игрального кубика элементарные события — выпадение {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Невозможно, чтобы на верхней грани одновременно оказалось, например, число 3 и число 4.

Важно не путать элементарные события со сложными (составными) событиями, которые могут наступать одновременно. Например, при броске кубика события «выпало четное число» и «выпало число, кратное трем» наступят одновременно, если выпадет 6. Однако сам исход «выпало 6» — это одно-единственное элементарное событие.

Ответ: Нет, не могут.

4 Перечислите элементарные события опыта, где игральную кость бросают один раз.

Элементарное событие в теории вероятностей — это один из базовых, неделимых исходов случайного эксперимента. В данном случае эксперимент заключается в однократном броске игральной кости.

Стандартная игральная кость представляет собой куб с шестью гранями. На каждой грани нанесено число от 1 до 6. При броске кости на ее верхней грани оказывается одно из этих чисел. Любой из этих шести возможных результатов является элементарным событием, поскольку его нельзя разложить на более простые исходы.

Следовательно, все возможные элементарные события для этого опыта следующие:
1. Выпадение числа 1.
2. Выпадение числа 2.
3. Выпадение числа 3.
4. Выпадение числа 4.
5. Выпадение числа 5.
6. Выпадение числа 6.

Совокупность всех элементарных событий называется пространством элементарных событий и для данного опыта обозначается как $ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.

Ответ: элементарными событиями являются выпадение 1, выпадение 2, выпадение 3, выпадение 4, выпадение 5, выпадение 6.

5 Назовите элементарные события, которые возникают при бросании математической монеты.

В теории вероятностей под "математической монетой" понимают идеализированный объект, у которого есть две стороны, обычно называемые "орёл" и "решка". Основное допущение состоит в том, что монета не может упасть на ребро, то есть при броске обязательно выпадает одна из двух сторон.

Элементарное событие — это простейший, неделимый исход случайного эксперимента. При бросании математической монеты такими исходами являются выпадение "орла" и выпадение "решки". Эти два события являются взаимоисключающими (не могут произойти одновременно) и полностью описывают все возможные результаты эксперимента.

Совокупность всех элементарных событий называется пространством элементарных событий и для данного случая обозначается как $\Omega = \{О, Р\}$, где О — "орёл", а Р — "решка".

Ответ: Элементарными событиями при бросании математической монеты являются "выпадение орла" и "выпадение решки".

6 Что является элементарным событием в опыте, где игральную кость бросают 2 раза? Сколько элементарных событий в этом опыте?

Что является элементарным событием в опыте, где игральную кость бросают 2 раза?

В теории вероятностей элементарным событием (или исходом) называется простейший, неделимый далее результат случайного опыта. В данном случае опыт состоит из двух последовательных бросков игральной кости.
Результат первого броска — это число от 1 до 6. Результат второго броска — также число от 1 до 6. Элементарным событием всего опыта будет упорядоченная пара чисел $(k, m)$, где $k$ — результат первого броска, а $m$ — результат второго броска.
Например, (1, 3) — это элементарное событие, означающее, что при первом броске выпала 1, а при втором — 3. Событие (3, 1) является другим, отличным от предыдущего, элементарным событием.
Ответ: элементарным событием является упорядоченная пара чисел $(k, m)$, где $k$ и $m$ — целые числа от 1 до 6, представляющие собой результаты первого и второго бросков соответственно.

Сколько элементарных событий в этом опыте?

Чтобы найти общее количество элементарных событий, необходимо использовать правило умножения из комбинаторики.
Количество возможных исходов для первого броска равно 6 (могут выпасть числа 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Количество возможных исходов для второго броска также равно 6.
Поскольку каждый из 6 исходов первого броска может сочетаться с каждым из 6 исходов второго броска, общее число элементарных событий $N$ будет равно их произведению:
$N = 6 \times 6 = 36$.
Ответ: 36.

7 Почему при двукратном бросании монеты элементарное событие ОР (сначала выпал орёл, затем — решка) нельзя разделить на два более простых события: «выпал орёл» и «выпала решка»?

В теории вероятностей элементарным событием (или исходом) называется один из взаимоисключающих результатов случайного эксперимента, который в рамках данного эксперимента не может быть разложен на более простые события.

В рассматриваемой задаче эксперимент заключается в двукратном бросании монеты. Это единый эксперимент, состоящий из двух шагов. Чтобы полностью описать результат такого эксперимента, нужно указать, что выпало при первом броске и что выпало при втором.

Пространство элементарных событий (все возможные исходы) для этого эксперимента выглядит так (О — орёл, Р — решка):
$ \Omega = \{ ОО, ОР, РО, РР \} $

Каждый элемент этого множества — $ОО$, $ОР$, $РО$ и $РР$ — является элементарным событием. Событие $ОР$ («сначала выпал орёл, затем — решка») — это один из четырех возможных, неделимых в рамках этого эксперимента, исходов. Если произошел исход $ОР$, то не мог произойти ни $ОО$, ни $РО$, ни $РР$.

Теперь рассмотрим события «выпал орёл» и «выпала решка».

• Событие «выпал орёл» не является элементарным для эксперимента с двумя бросками, потому что оно не описывает исход полностью. Оно не уточняет, при каком именно из двух бросков выпал орёл. Это событие является составным (сложным), так как оно включает в себя несколько элементарных исходов: $ \{ОО, ОР, РО\} $ (выпал хотя бы один орёл).
• Аналогично, событие «выпала решка» также является составным и включает исходы $ \{ОР, РО, РР\} $.

Таким образом, элементарное событие $ОР$ — это конкретный, неделимый результат всего эксперимента. А события «выпал орёл» и «выпала решка» являются не элементарными исходами, а скорее свойствами, которыми могут обладать элементарные исходы. Событие $ОР$ является пересечением двух составных событий: «при первом броске выпал орёл» ($ \{ОО, ОР\} $) и «при втором броске выпала решка» ($ \{ОР, РР\} $). Но само по себе оно является единым и неделимым элементом пространства исходов.

Ответ: Элементарное событие $ОР$ нельзя разделить на два более простых события, потому что по определению элементарное событие — это один-единственный, неделимый результат всего случайного эксперимента. В эксперименте с двукратным бросанием монеты именно упорядоченная пара (например, «орёл, затем решка») является таким неделимым результатом. События же «выпал орёл» и «выпала решка» не являются элементарными для данного эксперимента, так как они не полностью описывают его исход и могут быть разложены на несколько элементарных событий.