Страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

254 При подбрасывании монеты обозначим буквой О выпадение орла и буквой Р выпадение решки. Подбросим симметричную монету 2 раза. Равновозможны ли элементарные события ОО, РО, ОР и РР? Найдите их вероятности.

Для решения задачи сначала определим вероятности выпадения орла (О) и решки (Р) при одном броске. Так как монета симметричная, то шансы выпадения орла и решки равны.

$P(О) = \frac{1}{2}$

$P(Р) = \frac{1}{2}$

Эксперимент состоит из двух независимых бросков монеты. Всего существует 4 элементарных события (исхода): ОО, РО, ОР и РР. Вероятность каждого сложного события, состоящего из независимых исходов, равна произведению вероятностей этих исходов.

Рассчитаем вероятности для каждого из четырех элементарных событий:

1. Вероятность выпадения двух орлов (ОО):
$P(ОО) = P(О) \cdot P(О) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

2. Вероятность выпадения сначала решки, потом орла (РО):
$P(РО) = P(Р) \cdot P(О) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

3. Вероятность выпадения сначала орла, потом решки (ОР):
$P(ОР) = P(О) \cdot P(Р) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

4. Вероятность выпадения двух решек (РР):
$P(РР) = P(Р) \cdot P(Р) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Поскольку вероятности всех четырех элементарных событий равны между собой ($P(ОО) = P(РО) = P(ОР) = P(РР) = \frac{1}{4}$), то эти события являются равновозможными.

Ответ: Да, элементарные события ОО, РО, ОР и РР равновозможны. Вероятность каждого из этих событий равна $\frac{1}{4}$.

255 Симметричную монету подбрасывают несколько раз. Найдите вероятности элементарных событий при:

а) 3 бросаниях;

б) 4 бросаниях;

в)* 10 бросаниях.

Общая постановка задачи: симметричная монета означает, что вероятность выпадения орла (О) и решки (Р) одинакова и равна $1/2$. Броски монеты являются независимыми событиями. Элементарное событие — это одна конкретная последовательность результатов бросков (например, О-Р-О). Вероятность такой последовательности равна произведению вероятностей каждого отдельного результата в ней.

Таким образом, для $n$ бросков вероятность любого конкретного элементарного события (одной последовательности из $n$ результатов) вычисляется по формуле:

$P = (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{2^n}$

При 3 бросаниях монеты $n=3$. Элементарным событием является конкретная последовательность из трех исходов, например, ОРР.

Вероятность любого такого элементарного события равна:

$P = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{8}$

Общее количество всех возможных исходов (элементарных событий) равно $2^3 = 8$. Все они равновероятны.

Ответ: $\frac{1}{8}$

При 4 бросаниях монеты $n=4$. Элементарным событием является конкретная последовательность из четырех исходов, например, ОРОР.

Вероятность любого такого элементарного события равна:

$P = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{2 \times 2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{16}$

Общее количество всех возможных исходов (элементарных событий) равно $2^4 = 16$.

Ответ: $\frac{1}{16}$

При 10 бросаниях монеты $n=10$. Элементарным событием является конкретная последовательность из десяти исходов.

Вероятность любого такого элементарного события равна:

$P = (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{2^{10}}$

Вычисляем значение $2^{10}$: $2^{10} = 1024$.

Следовательно, вероятность равна $\frac{1}{1024}$.

Ответ: $\frac{1}{1024}$

256 Три богатыря — Илья Муромец, Алёша Попович и Добрыня Никитич — ехали по дороге и увидели развилку, а на ней — придорожный камень с предупреждением:

Направо поедешь — коня потеряешь,

Налево поедешь — копьё потеряешь,

Прямо поедешь — головы не снесёшь.

Богатыри бросили жребий, разделились, и каждый поехал своей дорогой. Придумайте систему обозначений для элементарных событий этого опыта, запишите все элементарные события. Считая их равновозможными, найдите вероятность каждого из них.

Придумайте систему обозначений для элементарных событий этого опыта, запишите все элементарные события.

В данном опыте участвуют три богатыря и три дороги. Поскольку каждый богатырь поехал своей дорогой, происходит распределение трех богатырей по трем уникальным путям.

Введем следующие обозначения:
Богатыри:
И — Илья Муромец
А — Алёша Попович
Д — Добрыня Никитич

Дороги:
П — направо
Л — налево
С — прямо

Элементарным событием (исходом) этого опыта является конкретное распределение богатырей по дорогам. Мы можем представить каждый исход в виде упорядоченной тройки (X, Y, Z), где на первом месте стоит богатырь, поехавший направо (П), на втором — налево (Л), и на третьем — прямо (С).

Поскольку богатыри разные, и дороги они выбирают разные, количество всех возможных элементарных событий равно числу перестановок из трех элементов (богатырей): $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Перечислим все 6 элементарных событий:
1. (И, А, Д) — Илья поехал направо, Алёша — налево, Добрыня — прямо.
2. (И, Д, А) — Илья поехал направо, Добрыня — налево, Алёша — прямо.
3. (А, И, Д) — Алёша поехал направо, Илья — налево, Добрыня — прямо.
4. (А, Д, И) — Алёша поехал направо, Добрыня — налево, Илья — прямо.
5. (Д, И, А) — Добрыня поехал направо, Илья — налево, Алёша — прямо.
6. (Д, А, И) — Добрыня поехал направо, Алёша — налево, Илья — прямо.

Ответ: Система обозначений: тройка (X, Y, Z), где X, Y, Z — инициалы богатырей {И, А, Д}, обозначающие, кто поехал направо, налево и прямо соответственно. Элементарные события: (И, А, Д), (И, Д, А), (А, И, Д), (А, Д, И), (Д, И, А), (Д, А, И).

Считая их равновозможными, найдите вероятность каждого из них.

Согласно условию, все элементарные события равновозможны. Это означает, что вероятность наступления любого из них одинакова.

Общее число всех возможных элементарных событий (исходов) опыта равно $N=6$.

Вероятность $P$ любого события вычисляется по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятствующих этому событию исходов, а $N$ — общее число всех равновозможных исходов.

Для каждого отдельного элементарного события (например, для исхода, когда Илья едет направо, Алёша — налево, а Добрыня — прямо) число благоприятствующих исходов равно $m=1$.

Таким образом, вероятность каждого из шести элементарных событий одинакова и равна:
$P = \frac{1}{6}$

Ответ: Вероятность каждого элементарного события равна $\frac{1}{6}$.

257 Три первоклассника по очереди выбирают воздушные шарики. Каждый из них выбирает шарик одного из двух цветов: зелёного (З) или синего (С). Выпишите элементарные события этого эксперимента. Считая, что все они равновозможны, найдите вероятность каждого из них.

Выпишите элементарные события этого эксперимента.

Эксперимент заключается в том, что три первоклассника по очереди выбирают шарик одного из двух цветов: зелёного (З) или синего (С). Элементарное событие — это конкретная последовательность выборов всех трёх первоклассников.

Поскольку каждый из трёх учеников делает выбор из двух вариантов, общее число элементарных событий $N$ можно найти по правилу произведения:

$N = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$

Перечислим все возможные элементарные события, где первая буква обозначает выбор первого первоклассника, вторая — второго, а третья — третьего:

• ЗЗЗ — все трое выбрали зелёные шарики.
• ЗЗС — первые двое выбрали зелёные, третий — синий.
• ЗСЗ — первый и третий выбрали зелёные, второй — синий.
• ЗСС — первый выбрал зелёный, второй и третий — синие.
• СЗЗ — первый выбрал синий, второй и третий — зелёные.
• СЗС — первый и третий выбрали синие, второй — зелёный.
• ССЗ — первые двое выбрали синие, третий — зелёный.
• ССС — все трое выбрали синие шарики.

Ответ: Множество элементарных событий: {ЗЗЗ, ЗЗС, ЗСЗ, ЗСС, СЗЗ, СЗС, ССЗ, ССС}.

Считая, что все они равновозможны, найдите вероятность каждого из них.

Согласно условию, все элементарные события равновозможны. Общее число таких событий, как мы выяснили, равно $N=8$.

Вероятность $P$ наступления любого события вычисляется по классической формуле вероятности:

$P = \frac{m}{N}$

где $N$ — общее число равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию.

Для каждого отдельного элементарного события (например, для исхода ЗЗС) число благоприятствующих исходов $m=1$, так как мы рассматриваем один конкретный исход из восьми возможных.

Следовательно, вероятность каждого из восьми элементарных событий одинакова и равна:

$P = \frac{1}{8}$

Ответ: Вероятность каждого элементарного события равна $\frac{1}{8}$.

258 Три первоклассника по очереди выбирают фломастеры. Каждый из них выбирает фломастер одного из трёх цветов: зелёного (З), синего (С) или красного (К). Сколько у этого опыта элементарных событий? Считая, что все элементарные события равновозможны, найдите вероятность каждого из них.

Сколько у этого опыта элементарных событий?

Данный опыт заключается в том, что три первоклассника по очереди выбирают фломастеры. Для каждого из них есть выбор из трёх цветов: зелёный (З), синий (С) или красный (К). Элементарным событием в данном случае является конкретная последовательность цветов, выбранных тремя первоклассниками.

Рассчитаем общее количество таких последовательностей:

Первый первоклассник может сделать свой выбор 3 способами (З, С или К).

Второй первоклассник также имеет 3 варианта выбора, и его выбор не зависит от выбора первого.

Третий первоклассник, аналогично, имеет 3 варианта выбора.

Согласно правилу умножения в комбинаторике, общее число всех возможных исходов (элементарных событий) равно произведению числа вариантов для каждого из первоклассников.

Общее число элементарных событий $N$ равно:

$N = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$

Следовательно, у этого опыта 27 элементарных событий.

Ответ: 27.

Найдите вероятность каждого из них

В условии задачи указано, что все элементарные события равновозможны. Это значит, что каждый из 27 возможных исходов имеет одинаковую вероятность.

Вероятность события $P$ вычисляется по классической формуле:

$P = \frac{m}{n}$

где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Мы ищем вероятность одного конкретного элементарного события (например, исход ЗСК, где первый выбрал зелёный, второй — синий, а третий — красный). Для любого одного такого события число благоприятствующих исходов $m=1$.

Общее число всех элементарных исходов, как мы выяснили ранее, $n = 27$.

Таким образом, вероятность каждого элементарного события равна:

$P = \frac{1}{27}$

Ответ: $\frac{1}{27}$.

259 Игральную кость подбрасывают несколько раз. Равновозможны ли элементарные события такого опыта? Найдите вероятность каждого элементарного события при:

а) трёх бросаниях;

б) четырёх бросаниях.

Да, элементарные события такого опыта равновозможны. Элементарное событие в данном случае — это конкретная последовательность выпавших очков. Например, при трёх бросках событие "выпала последовательность (1, 2, 3)" является элементарным.

Поскольку игральная кость считается правильной, вероятность выпадения любой из шести граней при одном броске одинакова и равна $\frac{1}{6}$. Броски являются независимыми событиями, поэтому вероятность любой конкретной последовательности из $n$ бросков будет равна произведению вероятностей каждого исхода в этой последовательности, то есть $(\frac{1}{6})^n$. Так как эта вероятность одинакова для любой возможной последовательности, все элементарные события равновозможны.

а) трёх бросаниях
При трёх бросаниях общее количество элементарных событий (различных последовательностей из трёх чисел) равно $N = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$.
Так как все события равновозможны, вероятность каждого из них равна $P = \frac{1}{N}$.
Следовательно, вероятность каждого элементарного события равна $\frac{1}{216}$.
Ответ: $\frac{1}{216}$

б) четырёх бросаниях
При четырёх бросаниях общее количество элементарных событий равно $N = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6^4 = 1296$.
Вероятность каждого элементарного события в этом случае будет равна $P = \frac{1}{N}$.
Следовательно, вероятность каждого элементарного события равна $\frac{1}{1296}$.
Ответ: $\frac{1}{1296}$