Страница 148, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

271 В случайном опыте четыре элементарных события $a, b, c$ и $d$, вероятности которых соответственно равны $0,1$, $0,3$, $0,4$ и $0,2$. Найдите вероятность события, которому благоприятствуют элементарные события:

а) $a$ и $c$;

б) $a, b$ и $d$;

в) $b, d$ и $c$;

г) $a$ и $d$.

По условию задачи, даны вероятности четырех несовместных элементарных событий: $P(a) = 0,1$, $P(b) = 0,3$, $P(c) = 0,4$ и $P(d) = 0,2$. Вероятность события, которому благоприятствуют несколько элементарных событий, равна сумме вероятностей этих событий.

а) а и с;
Искомая вероятность равна сумме вероятностей благоприятствующих элементарных событий $a$ и $c$:
$P = P(a) + P(c) = 0,1 + 0,4 = 0,5$.
Ответ: 0,5.

б) a, b и d;
Искомая вероятность равна сумме вероятностей благоприятствующих элементарных событий $a$, $b$ и $d$:
$P = P(a) + P(b) + P(d) = 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,6$.
Ответ: 0,6.

в) b, d и c;
Искомая вероятность равна сумме вероятностей благоприятствующих элементарных событий $b$, $d$ и $c$:
$P = P(b) + P(d) + P(c) = 0,3 + 0,2 + 0,4 = 0,9$.
Ответ: 0,9.

г) а и d.
Искомая вероятность равна сумме вероятностей благоприятствующих элементарных событий $a$ и $d$:
$P = P(a) + P(d) = 0,1 + 0,2 = 0,3$.
Ответ: 0,3.

272 В шахматной партии Андрей играет с Борисом. Вероятность выигрыша Андрея равна 0,3, вероятность ничьей равна 0,2, вероятность того, что партия не будет закончена, равна 0,1. Найдите вероятность того, что:

а) Андрей не проиграет;

б) Борис не проиграет;

в) никто не выиграет.

Для решения задачи введем обозначения для возможных исходов шахматной партии:

$A$ – событие, состоящее в том, что Андрей выиграл;
$B$ – событие, состоящее в том, что Борис выиграл;
$N$ – событие, состоящее в том, что партия закончилась вничью;
$U$ – событие, состоящее в том, что партия не будет закончена.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:

$P(A) = 0,3$

$P(N) = 0,2$

$P(U) = 0,1$

Эти четыре события являются несовместными (не могут произойти одновременно) и образуют полную группу событий, так как их объединение представляет собой все возможные исходы. Это означает, что сумма их вероятностей равна 1:

$P(A) + P(B) + P(N) + P(U) = 1$

Используя это свойство, мы можем найти вероятность того, что Борис выиграет ($P(B)$):

$P(B) = 1 - P(A) - P(N) - P(U) = 1 - 0,3 - 0,2 - 0,1 = 0,4$

Теперь мы можем ответить на поставленные вопросы.

а) Андрей не проиграет

Событие «Андрей не проиграет» происходит, если Андрей выигрывает, или партия заканчивается вничью, или партия не завершается. Это событие, противоположное событию «Андрей проиграет». Андрей проигрывает только в том случае, если выигрывает Борис.

Вероятность того, что Андрей проиграет, равна вероятности выигрыша Бориса: $P(\text{Андрей проиграет}) = P(B) = 0,4$.

Тогда вероятность события «Андрей не проиграет» можно найти через вероятность противоположного события:

$P(\text{Андрей не проиграет}) = 1 - P(\text{Андрей проиграет}) = 1 - 0,4 = 0,6$.

Второй способ — это сложить вероятности благоприятных исходов, так как они несовместны:

$P(\text{Андрей не проиграет}) = P(A) + P(N) + P(U) = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6$.

Ответ: 0,6.

б) Борис не проиграет

Аналогично пункту а), событие «Борис не проиграет» противоположно событию «Борис проиграет». Борис проигрывает только тогда, когда выигрывает Андрей.

Вероятность того, что Борис проиграет, равна вероятности выигрыша Андрея: $P(\text{Борис проиграет}) = P(A) = 0,3$.

Следовательно, вероятность искомого события равна:

$P(\text{Борис не проиграет}) = 1 - P(\text{Борис проиграет}) = 1 - 0,3 = 0,7$.

Проверим вторым способом, сложив вероятности благоприятных исходов:

$P(\text{Борис не проиграет}) = P(B) + P(N) + P(U) = 0,4 + 0,2 + 0,1 = 0,7$.

Ответ: 0,7.

в) никто не выиграет

Событие «никто не выиграет» означает, что партия закончилась вничью ($N$) или не была закончена ($U$). Эти два события несовместны.

Вероятность этого составного события равна сумме вероятностей этих исходов:

$P(\text{никто не выиграет}) = P(N) + P(U) = 0,2 + 0,1 = 0,3$.

Ответ: 0,3.

273 На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число всех равновозможных исходов.

Сначала определим общее число исходов $n$. Это общее количество пирожков на тарелке. Сложим количество пирожков с разными начинками:
$n = 4 (\text{с мясом}) + 8 (\text{с капустой}) + 3 (\text{с вишней}) = 15$
Всего на тарелке 15 пирожков.

Далее определим число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это выбор пирожка с вишней. По условию, таких пирожков 3.
$m = 3$

Теперь можем вычислить вероятность того, что взятый пирожок окажется с вишней, подставив значения $m$ и $n$ в формулу:
$P = \frac{3}{15}$

Полученную дробь можно сократить на 3, а затем представить в виде десятичной дроби:
$\frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0,2$

Ответ: 0,2

274 В таксомоторной компании в данный момент свободно 25 машин: 3 чёрных, 12 жёлтых и 10 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет зелёное такси.

Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов.

1. Найдём общее число всех возможных исходов. Это общее количество свободных машин в таксомоторной компании. По условию, в компании свободно 25 машин. $n = 3 \text{ (чёрных)} + 12 \text{ (жёлтых)} + 10 \text{ (зелёных)} = 25$

2. Найдём число благоприятных исходов. Благоприятным исходом является приезд зелёного такси. Количество зелёных машин равно 10. $m = 10$

3. Вычислим вероятность $P$ того, что приедет зелёное такси, по формуле $P = \frac{m}{n}$: $P = \frac{10}{25}$

4. Преобразуем полученную дробь в десятичную: $P = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0,4$

Ответ: 0,4

275 У бабушки десять чашек: шесть с красными цветами, остальные с синими.

Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

По условию задачи, общее количество чашек у бабушки равно 10. Это общее число равновероятных исходов при случайном выборе одной чашки. Обозначим его буквой $N$.

$N = 10$.

Известно, что 6 чашек имеют красные цветы. Остальные чашки — с синими цветами. Чтобы найти количество чашек с синими цветами, нужно из общего числа чашек вычесть число чашек с красными цветами:

$10 - 6 = 4$

Следовательно, у бабушки 4 чашки с синими цветами. Это число является количеством благоприятных исходов для нашего события (выбор чашки с синими цветами). Обозначим число благоприятных исходов буквой $m$.

$m = 4$.

Вероятность события вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{N}$

Подставим известные значения в формулу:

$P = \frac{4}{10} = 0,4$

Ответ: 0,4.

276 Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям на Новый год. Пазлы с разными рисунками: 12 с автомобилями и 13 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Коля. Найдите вероятность того, что Коле достанется пазл с автомобилем.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{n}$

где:

• $n$ — общее число всех равновозможных исходов;
• $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В нашем случае, общее число исходов $n$ — это общее количество пазлов, которые могут достаться Коле. По условию, всего было закуплено 25 пазлов. Так как подарки распределяются случайным образом, любой из 25 пазлов может достаться Коле.

$n = 25$

Число благоприятных исходов $m$ — это количество пазлов с автомобилем, так как мы ищем вероятность того, что Коле достанется именно такой пазл. По условию, пазлов с автомобилями 12.

$m = 12$

Теперь подставим значения $n$ и $m$ в формулу вероятности:

$P = \frac{12}{25}$

Чтобы представить ответ в виде десятичной дроби, умножим числитель и знаменатель на 4:

$P = \frac{12 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{48}{100} = 0,48$

Ответ: 0,48

277 В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу равновозможных исходов $n$.

$P = \frac{m}{n}$

Сначала найдем общее число равновозможных исходов $n$. Оно равно общему количеству спортсменов, участвующих в гонках, так как любой из них может стартовать первым.

Количество спортсменов из России: 13.
Количество спортсменов из Норвегии: 2.
Количество спортсменов из Швеции: 5.

Общее число спортсменов: $n = 13 + 2 + 5 = 20$.

Теперь найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятным исходом является событие, при котором первым стартует спортсмен из России. Количество спортсменов из России равно 13, следовательно, число благоприятных исходов $m = 13$.

Теперь можем вычислить вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{13}{20}$

Переведем полученную дробь в десятичный вид:

$\frac{13}{20} = \frac{13 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{65}{100} = 0,65$

Ответ: 0,65

278 В магазине канцтоваров в продаже 100 ручек: 23 красных, 12 зелёных, 17 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или чёрной.

По условию, общее количество ручек в магазине составляет 100. Это общее число возможных исходов, $n=100$.

Сначала найдем общее количество красных, зелёных и фиолетовых ручек:
$23 + 12 + 17 = 52$ ручки.

Теперь определим, сколько всего синих и чёрных ручек. для этого вычтем из общего количества ручек количество ручек известных цветов:
$100 - 52 = 48$ ручек.

В задаче сказано, что синих и чёрных ручек поровну. Следовательно, количество чёрных ручек равно:
$48 \div 2 = 24$.

Нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранная ручка будет красной или чёрной. Это благоприятные исходы. Найдем их общее количество, сложив количество красных и чёрных ручек:
$m = 23$ (красные) $+ 24$ (чёрные) $= 47$.

Вероятность события ($P$) равна отношению числа благоприятных исходов ($m$) к общему числу исходов ($n$):
$P = \frac{m}{n} = \frac{47}{100} = 0,47$.

Ответ: 0,47.

279 В девятом классе учатся 11 мальчиков и 9 девочек. По жребию они выбирают одного дежурного по классу. Какова вероятность того, что это будет мальчик?

Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов.

1. Сначала найдем общее число всех возможных исходов. Это общее количество учеников в классе, так как дежурным может быть выбран любой из них.

Всего учеников = (количество мальчиков) + (количество девочек)

$11 + 9 = 20$

Итак, общее число исходов $n = 20$.

2. Теперь определим число благоприятных исходов. Нам нужно найти вероятность того, что дежурным будет мальчик. Количество мальчиков в классе и есть число благоприятных исходов.

Число благоприятных исходов $m = 11$.

3. Рассчитаем вероятность $P$ по формуле:

$P = \frac{m}{n} = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}}$

$P = \frac{11}{20}$

Эту дробь можно представить в виде десятичного числа:

$\frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{55}{100} = 0,55$

Ответ: 0,55

280 Симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность события:

а) «решка выпадает хотя бы один раз»;

б) «в первый раз выпадает орёл».

При двукратном бросании симметричной монеты существует 4 равновероятных элементарных исхода. Обозначим «О» – выпадение орла, «Р» – выпадение решки. Тогда все возможные комбинации результатов двух бросков:

• Орёл, Орёл (ОО)
• Орёл, Решка (ОР)
• Решка, Орёл (РО)
• Решка, Решка (РР)

Общее число всех возможных исходов $N = 4$. Вероятность каждого из этих исходов равна $1/4$.

а) «решка выпадет хотя бы один раз»

Событие A consiste в том, что решка выпадет хотя бы один раз. Это означает, что решка может выпасть либо один раз, либо два раза. Этому условию удовлетворяют следующие исходы: ОР, РО, РР.
Количество благоприятствующих исходов для этого события $m = 3$.
Вероятность события A вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$.
Подставляя значения, получаем: $P(A) = \frac{3}{4} = 0,75$.

Ответ: $0,75$.

б) «в первый раз выпадет орёл»

Событие B consiste в том, что в первый раз выпадет орёл. Этому условию удовлетворяют все исходы, которые начинаются с «О»: ОО, ОР.
Количество благоприятствующих исходов для этого события $m = 2$.
Вероятность события B вычисляется по той же формуле: $P(B) = \frac{m}{N}$.
Подставляя значения, получаем: $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: $0,5$.

281 Игральную кость бросают дважды. С помощью таблицы этого эксперимента (см. с. 137, рис. 61) найдите количество благоприятствующих элементарных событий и вероятность события:

а) «сумма выпавших очков равна 6»;

б) «сумма выпавших очков больше чем 5»;

в) «при первом броске выпадает больше очков, чем при втором»;

г) «количество очков, выпавших в первый раз, и количество очков, выпавших во второй раз, различаются на 4».

При бросании игральной кости дважды общее число равновозможных элементарных исходов равно $N = 6 \times 6 = 36$. Вероятность события A вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ - число благоприятствующих событию исходов.

а) «сумма выпавших очков равна 6»

Найдем все пары чисел, которые могут выпасть на костях, чтобы их сумма была равна 6. Обозначим результат первого броска как $k_1$, а второго — $k_2$. Благоприятствующими исходами $(k_1, k_2)$ являются: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1). Всего таких исходов 5. Это и есть количество благоприятствующих элементарных событий, то есть $m_a = 5$. Вероятность этого события равна: $P(a) = \frac{m_a}{N} = \frac{5}{36}$.

Ответ: количество благоприятствующих событий — 5, вероятность — $\frac{5}{36}$.

б) «сумма выпавших очков больше чем 5»

Найдем количество исходов, при которых сумма очков больше 5. Проще найти количество исходов для противоположного события — «сумма выпавших очков меньше или равна 5», а затем вычесть его из общего числа исходов. Исходы, где сумма $\le 5$: сумма 2 — (1, 1) (1 исход); сумма 3 — (1, 2), (2, 1) (2 исхода); сумма 4 — (1, 3), (2, 2), (3, 1) (3 исхода); сумма 5 — (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) (4 исхода). Всего исходов, где сумма не превышает 5, равно $1 + 2 + 3 + 4 = 10$. Следовательно, количество благоприятствующих исходов для события «сумма больше 5» равно: $m_б = 36 - 10 = 26$. Вероятность этого события: $P(б) = \frac{m_б}{N} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$.

Ответ: количество благоприятствующих событий — 26, вероятность — $\frac{13}{18}$.

в) «при первом броске выпадет больше очков, чем при втором»

Найдем все исходы $(k_1, k_2)$, где $k_1 > k_2$. Перечислим их: если на первой кости выпало 2, то на второй может быть 1: (2, 1) — 1 исход; если 3, то (3, 1), (3, 2) — 2 исхода; если 4, то (4, 1), (4, 2), (4, 3) — 3 исхода; если 5, то (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4) — 4 исхода; если 6, то (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) — 5 исходов. Общее количество благоприятствующих исходов: $m_в = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$. Вероятность этого события: $P(в) = \frac{m_в}{N} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

Ответ: количество благоприятствующих событий — 15, вероятность — $\frac{5}{12}$.

г) «количество очков, выпавших в первый раз, и количество очков, выпавших во второй раз, различаются на 4»

Это означает, что модуль разности между очками на первой и второй кости равен 4: $|k_1 - k_2| = 4$. Найдем все пары $(k_1, k_2)$, удовлетворяющие этому условию. Это пары (5, 1) и (6, 2), а также обратные им (1, 5) и (2, 6). Всего 4 благоприятствующих исхода. Таким образом, $m_г = 4$. Вероятность этого события: $P(г) = \frac{m_г}{N} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

Ответ: количество благоприятствующих событий — 4, вероятность — $\frac{1}{9}$.