Страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Приведите примеры исследований, которые проводят с помощью случайных выборок.

Исследования с помощью случайных выборок проводятся в тех случаях, когда изучить каждый элемент интересующей нас группы (генеральной совокупности) физически невозможно, слишком долго или экономически нецелесообразно. Суть метода заключается в том, чтобы на основе изучения небольшой, но представительной части (выборки), сделать выводы обо всей группе в целом. Для того чтобы выводы были достоверными, выборка должна быть случайной, то есть каждый элемент генеральной совокупности должен иметь равные шансы в нее попасть.

Вот несколько примеров таких исследований из разных областей:

1. Социологические и политические опросы

   Для определения общественного мнения или предвыборных рейтингов невозможно опросить каждого жителя страны. Вместо этого социологические службы формируют случайную выборку из нескольких тысяч человек, которая отражает структуру всего общества по полу, возрасту, месту жительства и другим важным параметрам. Опрос этой группы позволяет с высокой точностью судить о настроениях в стране. Например, экзит-поллы (опросы на выходе с избирательных участков) — это классический пример использования случайной выборки для прогнозирования результатов выборов.

2. Контроль качества на производстве

   Заводу, выпускающему, например, электрические лампочки, нужно убедиться в качестве своей продукции. Проверять каждую из тысяч произведенных за день лампочек на срок службы нецелесообразно, так как тест является разрушающим. Поэтому из каждой партии случайным образом отбирается небольшое количество лампочек. Их подвергают тестам, и если процент брака в этой выборке находится в пределах допустимой нормы, то вся партия считается годной к продаже.

3. Медицинские исследования

   При разработке нового лекарства необходимо доказать его эффективность и безопасность. Для этого проводятся клинические испытания. Из всех пациентов, страдающих определенным заболеванием, формируется случайная выборка добровольцев. Затем их случайным образом делят на группы: одна получает новый препарат, а другая — плацебо (пустышку) или уже известное лекарство. Сравнение результатов в этих группах позволяет сделать вывод, который можно распространить на всю популяцию пациентов с данным заболеванием.

4. Экологический мониторинг

   Чтобы оценить численность популяции рыб в большом озере или средний уровень загрязнения тяжелыми металлами почвы в регионе, экологи не могут проверить каждый кубический метр воды или каждый квадратный метр земли. Они используют метод случайных проб: территория или водоем разбивается на участки, из которых случайным образом выбираются несколько для анализа. Данные, полученные с этих участков (например, количество рыбы в сети или концентрация свинца в пробе грунта), усредняются и экстраполируются на всю исследуемую площадь.

5. Маркетинговые исследования

   Перед запуском нового продукта (например, нового вкуса йогурта) компания хочет узнать, понравится ли он потребителям. Для этого проводится исследование рынка. Организуются дегустации или рассылаются анкеты не всем потенциальным покупателям, а случайно отобранной фокус-группе. На основе мнения этой группы принимается решение о целесообразности массового производства и запуска продукта.

Ответ: Примерами исследований, проводимых с помощью случайных выборок, являются: социологические опросы (включая предвыборные рейтинги и экзит-поллы), контроль качества промышленных товаров, клинические испытания новых лекарств, оценка численности популяций животных и уровня загрязнения окружающей среды, а также маркетинговые исследования потребительских предпочтений.

2 Бросают правильную игральную кость. Можно ли считать такой способ случайным выбором одной из её граней?

Да, такой способ можно считать случайным выбором одной из её граней.

Понятие "случайный выбор" подразумевает, что все возможные исходы эксперимента являются равновероятными. В данном случае исходами является выпадение одной из шести граней игральной кости.

Ключевым словом в условии является "правильная" игральная кость. Это означает, что кость имеет идеальную кубическую форму, изготовлена из однородного материала и не имеет смещенного центра тяжести. Вследствие этих физических свойств при броске каждая из шести граней имеет одинаковый шанс оказаться наверху. Вероятность выпадения любой конкретной грани равна $1/6$.

Поскольку все шесть исходов (выпадение граней с числами от 1 до 6) равновероятны, процесс броска правильной игральной кости полностью соответствует определению случайного выбора одного элемента из множества шести граней.

Ответ: Да, можно.

3 Бросают правильную монету. Можно ли считать такой способ случайным выбором одной из её сторон?

Да, такой способ можно считать случайным выбором одной из её сторон.

Понятие "случайный выбор" подразумевает, что у каждого из возможных исходов есть определённая вероятность появления, и результат заранее не предопределён. В данном случае у монеты есть две стороны (исхода): "орёл" и "решка".

Ключевым в условии является определение "правильная монета". В теории вероятностей это означает, что монета является идеальной с точки зрения геометрии и распределения массы. Вследствие этого, при её подбрасывании оба исхода – выпадение "орла" и выпадение "решки" – являются равновероятными. То есть, нет никаких физических оснований для того, чтобы одна сторона выпадала чаще другой.

Если мы обозначим вероятность выпадения "орла" как $P(О)$, а вероятность выпадения "решки" как $P(Р)$, то для правильной монеты будет справедливо равенство:$P(О) = P(Р)$

Так как выпадение "орла" или "решки" являются единственными двумя возможными исходами (мы пренебрегаем возможностью монеты встать на ребро), то сумма их вероятностей равна 1:$P(О) + P(Р) = 1$

Подставляя первое равенство во второе, получаем:$P(О) + P(О) = 1$$2 \cdot P(О) = 1$$P(О) = 1/2$

Соответственно, $P(Р) = 1/2$.

Таким образом, каждая из двух сторон монеты имеет равный шанс ($1/2$) быть выбранной. Это полностью соответствует определению случайного выбора из двух равновероятных вариантов.

Ответ: Да, можно, поскольку для правильной монеты вероятность выпадения каждой из двух сторон одинакова и равна $1/2$, что и является определением случайного выбора.

4 Является ли выбор самого высокого ученика в классе случайным?

Чтобы определить, является ли выбор случайным, нужно понять, что такое случайное событие. Случайное событие — это событие, исход которого невозможно точно предсказать. Например, при подбрасывании монеты мы не знаем заранее, выпадет орел или решка. Выбор является случайным, если каждый из возможных исходов имеет определенную вероятность и результат не предопределен.

Выбор самого высокого ученика в классе — это не случайный, а детерминированный (предопределенный) процесс. Он происходит не по воле случая, а на основе четкого критерия — роста. Для того чтобы сделать этот выбор, необходимо выполнить определенный алгоритм: измерить рост каждого ученика, сравнить полученные данные и найти максимальное значение. Результат этого процесса всегда будет одинаковым при одних и тех же исходных данных (росте учеников). В нем нет элемента непредсказуемости.

Случайным был бы выбор, если бы мы, например, написали имена всех учеников на листках бумаги, перемешали их в шляпе и вытащили один наугад. В таком случае у любого ученика, независимо от его роста, был бы шанс быть выбранным. Выбор же самого высокого — это целенаправленный отбор по заданному параметру.

Ответ: Нет, выбор самого высокого ученика в классе не является случайным, поскольку он основан на конкретном критерии (росте) и его результат полностью предопределен, а не зависит от случая.

5 Зачем для формирования выборки нужны специальные методы?

Специальные методы для формирования выборки необходимы для того, чтобы результаты, полученные при исследовании небольшой группы объектов (выборки), можно было с высокой долей уверенности распространить на всю совокупность объектов (генеральную совокупность), из которой эта группа была взята. Основная цель — обеспечить репрезентативность выборки.

Генеральная совокупность — это все множество объектов, которые являются предметом изучения (например, все жители города, все произведенные на заводе детали, все студенты университета). Часто исследовать всю генеральную совокупность невозможно или нецелесообразно из-за больших затрат времени, денег и других ресурсов.

Выборка — это часть генеральной совокупности, отобранная для непосредственного изучения. Чтобы выводы, сделанные на основе анализа выборки, были справедливы для всей совокупности, выборка должна быть репрезентативной, то есть правильно отражать структуру и ключевые характеристики генеральной совокупности.

Если формировать выборку без специальных методов (например, опрашивать только тех, до кого легко добраться, или тех, кто добровольно согласился), возникает высокий риск систематической ошибки (смещения). Такая выборка будет нерепрезентативной. Например, если для изучения среднего дохода жителей города опрашивать только посетителей дорогого ресторана, полученные данные будут сильно завышены и не будут отражать реальную картину.

Специальные методы формирования выборки (методы сэмплинга) — это научно обоснованные процедуры, которые позволяют избежать смещения и получить репрезентативную группу. Они основаны на принципах теории вероятностей. Основные методы включают:

• Простая случайная выборка: каждый элемент генеральной совокупности имеет равные шансы попасть в выборку. Это похоже на лотерею.
• Стратифицированная (районированная) выборка: генеральная совокупность делится на однородные подгруппы (страты) по какому-либо признаку (например, по возрасту, полу, региону проживания). Затем из каждой страты случайным образом отбирается необходимое количество элементов. Этот метод гарантирует, что все ключевые подгруппы будут представлены в выборке пропорционально их доле в генеральной совокупности.
• Кластерная (гнездовая) выборка: генеральная совокупность делится на группы (кластеры), например, по географическому признаку (кварталы города, школы). Затем случайным образом отбираются несколько кластеров, и исследование проводится либо среди всех элементов в этих кластерах, либо среди случайной выборки из них.
• Систематическая выборка: элементы отбираются из упорядоченного списка генеральной совокупности через определенный интервал (шаг). Например, из списка избирателей выбирается каждый 50-й человек.

Таким образом, использование специальных методов является критически важным для обеспечения объективности и научной достоверности исследования. Они позволяют минимизировать ошибки, сделать обоснованные выводы о большой популяции на основе изучения ее малой части и оценить точность этих выводов.

Ответ: Специальные методы нужны для того, чтобы сформировать репрезентативную выборку — такую, которая точно отражает характеристики генеральной совокупности. Это позволяет избежать систематических ошибок (смещения) и сделать достоверные выводы обо всей совокупности на основе анализа лишь ее небольшой части, экономя при этом время и ресурсы.