Страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

296 По правилам игры «Морской бой» на поле $10 \times 10$ клеток размещаются четыре однопалубных корабля (по одной клетке), три двухпалубных, два трёхпалубных и один четырёхпалубный (рис. 68). Игрок делает первый случайный выстрел. Найдите вероятность того, что он:

а) попадёт в однопалубный корабль противника;

б) попадёт в трёхпалубный корабль;

в) попадёт в какой-нибудь из кораблей противника;

г) не попадёт ни в какой корабль.

а б в г д е ж з и к

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Рисунок 68

Для решения задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов: $P = \frac{m}{n}$.

Игровое поле для «Морского боя» представляет собой сетку $10 \times 10$ клеток, поэтому общее число клеток равно $N = 10 \times 10 = 100$. Так как выстрел делается случайным образом в любую из клеток, общее число равновозможных исходов $n = 100$.

а) попадёт в однопалубный корабль противника;

На поле находятся 4 однопалубных корабля. Каждый из них занимает 1 клетку. Следовательно, общее число клеток, занятых однопалубными кораблями, составляет $m_а = 4 \times 1 = 4$. Это и есть число благоприятствующих исходов.

Вероятность попасть в однопалубный корабль равна:

$P(а) = \frac{m_а}{n} = \frac{4}{100} = 0,04$

Ответ: 0,04.

б) попадёт в трёхпалубный корабль;

На поле находятся 2 трёхпалубных корабля. Каждый из них занимает 3 клетки. Общее число клеток, занятых трёхпалубными кораблями, составляет $m_б = 2 \times 3 = 6$.

Вероятность попасть в трёхпалубный корабль равна:

$P(б) = \frac{m_б}{n} = \frac{6}{100} = 0,06$

Ответ: 0,06.

в) попадёт в какой-нибудь из кораблей противника;

Для нахождения этой вероятности необходимо вычислить общее количество клеток, занимаемых всеми кораблями. Это число складывается из клеток, занимаемых:

- четырьмя однопалубными кораблями: $4 \times 1 = 4$ клетки;
- тремя двухпалубными кораблями: $3 \times 2 = 6$ клеток;
- двумя трёхпалубными кораблями: $2 \times 3 = 6$ клеток;
- одним четырёхпалубным кораблём: $1 \times 4 = 4$ клетки.

Общее число занятых клеток (благоприятствующих исходов) равно $m_в = 4 + 6 + 6 + 4 = 20$.

Вероятность попасть в какой-либо из кораблей равна:

$P(в) = \frac{m_в}{n} = \frac{20}{100} = 0,2$

Ответ: 0,2.

г) не попадёт ни в какой корабль.

Событие «не попасть ни в какой корабль» означает сделать выстрел по пустой клетке. Общее число клеток на поле равно 100. Как мы выяснили в предыдущем пункте, 20 из них заняты кораблями. Следовательно, число пустых клеток равно $m_г = 100 - 20 = 80$.

Вероятность попасть в пустую клетку (то есть не попасть ни в один корабль) равна:

$P(г) = \frac{m_г}{n} = \frac{80}{100} = 0,8$

Эту же вероятность можно было найти как вероятность события, противоположного событию из пункта (в): $P(г) = 1 - P(в) = 1 - 0,2 = 0,8$.

Ответ: 0,8.

297 При игре в «Морской бой» после первого вашего выстрела противник сообщил, что вы подбили какой-то корабль (но не потопили его). Какова вероятность того, что вы попали:

а) в четырёхпалубный корабль;

б) в трёхпалубный корабль;

в) в двухпалубный корабль?

Для решения задачи необходимо знать стандартный состав кораблей в игре «Морской бой» и применить основы теории вероятностей. Стандартный флот одного игрока состоит из:

• 1 четырёхпалубного корабля (линкора), занимающего 4 клетки;
• 2 трёхпалубных кораблей (крейсеров), занимающих по 3 клетки каждый;
• 3 двухпалубных кораблей (эсминцев), занимающих по 2 клетки каждый;
• 4 однопалубных кораблей (катеров), занимающих по 1 клетке каждый.

По условию, после выстрела противник сообщил «подбил» (или «ранил»), но не «потопил» (или «убил»). Это означает, что попадание пришлось в корабль, состоящий более чем из одной клетки (палубы). Если бы попадание было в однопалубный корабль, он был бы сразу потоплен.

Следовательно, наш выстрел попал в одну из клеток, принадлежащих четырёх-, трёх- или двухпалубным кораблям. Найдём общее количество таких клеток. Это будет общее число возможных исходов нашего события.

Общее число клеток, занимаемых многопалубными кораблями:

• Четырёхпалубный: $1 \text{ корабль} \times 4 \text{ клетки} = 4 \text{ клетки}$
• Трёхпалубные: $2 \text{ корабля} \times 3 \text{ клетки} = 6 \text{ клеток}$
• Двухпалубные: $3 \text{ корабля} \times 2 \text{ клетки} = 6 \text{ клеток}$

Суммарное количество клеток, попадание в которые удовлетворяет условию задачи, составляет $N = 4 + 6 + 6 = 16$. Это и есть общее число равновероятных исходов.

а) в четырёхпалубный корабль;

Число благоприятных исходов для этого случая равно количеству клеток на четырёхпалубном корабле, то есть 4.

Вероятность того, что попадание пришлось в четырёхпалубный корабль, равна отношению числа его клеток к общему числу клеток всех многопалубных кораблей:

$P_{\text{а}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) в трёхпалубный корабль;

Число благоприятных исходов равно общему количеству клеток на всех трёхпалубных кораблях. Поскольку таких кораблей два, число благоприятных исходов составляет $2 \times 3 = 6$.

Вероятность попадания в один из трёхпалубных кораблей:

$P_{\text{б}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$

в) в двухпалубный корабль?

Число благоприятных исходов равно общему количеству клеток на всех двухпалубных кораблях. Таких кораблей три, поэтому число благоприятных исходов равно $3 \times 2 = 6$.

Вероятность попадания в один из двухпалубных кораблей:

$P_{\text{в}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$

298 На рисунке 69 показано положение в игре «Морской бой». Красным цветом показаны потопленные корабли противника. У противника остался только один двухпалубный корабль, положение которого неизвестно. Клетки, в которых нарисованы точки, — это клетки, по которым мы уже стреляли. В них не может быть корабля. Считая равновозможными любые допустимые положения последнего корабля, найдите вероятность того, что мы попадём в него, выстрелив в поле:

а) к4;

б) з1;

в) к1;

г) е7;

д) е8.

В какое поле нужно выстрелить, чтобы вероятность подбить последний корабль была наибольшей?

Рисунок 69

Для решения задачи сначала определим все возможные положения (допустимые размещения) оставшегося двухпалубного корабля. Корабль занимает две соседние клетки по горизонтали или по вертикали. Согласно правилам игры «Морской бой», корабли не могут касаться друг друга ни сторонами, ни углами. Это означает, что клетки, соседние с уже потопленными кораблями (отмечены розовым цветом), а также клетки, по которым уже стреляли (отмечены точками), не могут содержать новый корабль.

Проанализируем игровое поле и найдем все свободные клетки (белые, без точек), в которые теоретически можно поставить корабль. Это клетки: и1, к1, и2, к2, к8, к9, и10.

Теперь найдем все возможные пары соседних свободных клеток, где может располагаться двухпалубный корабль.
Возможные горизонтальные расположения:
1. Пара клеток (и1, к1)
2. Пара клеток (и2, к2)
Возможные вертикальные расположения:
3. Пара клеток (и1, и2)
4. Пара клеток (к1, к2)
5. Пара клеток (к8, к9)

Клетка и10 не имеет свободных соседних клеток, поэтому двухпалубный корабль не может ее занимать. Таким образом, существует всего $N = 5$ равновозможных допустимых положений для последнего корабля.

Вероятность попадания в корабль при выстреле в клетку $C$ вычисляется по формуле: $P(C) = \frac{m}{N}$, где $m$ — это количество допустимых положений корабля, которые включают в себя клетку $C$, а $N$ — общее число допустимых положений. В нашем случае $N=5$.

а) к4

Клетка к4, согласно схеме, является недоступной для размещения корабля (в ней стоит точка, так как она соседствует с потопленными кораблями). Следовательно, количество положений корабля, включающих клетку к4, равно $m=0$. Вероятность попадания: $P(к4) = \frac{0}{5} = 0$.

Ответ: 0.

б) з1

В клетке з1 на схеме стоит точка, что означает, что по ней уже был произведен выстрел и корабля там быть не может. Количество положений корабля, включающих клетку з1, равно $m=0$. Вероятность попадания: $P(з1) = \frac{0}{5} = 0$.

Ответ: 0.

в) к1

Найдем, сколько из 5 возможных положений корабля включают в себя клетку к1. Это положения (и1, к1) и (к1, к2). Таких положений 2. Следовательно, $m=2$. Вероятность попадания: $P(к1) = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.

г) е7

В клетке е7 на схеме стоит точка. Корабля там быть не может. Количество положений корабля, включающих клетку е7, равно $m=0$. Вероятность попадания: $P(е7) = \frac{0}{5} = 0$.

Ответ: 0.

д) е8

В клетке е8 на схеме стоит точка. Корабля там быть не может. Количество положений корабля, включающих клетку е8, равно $m=0$. Вероятность попадания: $P(е8) = \frac{0}{5} = 0$.

Ответ: 0.

В

Чтобы найти поле, выстрел в которое даст наибольшую вероятность попадания, нужно найти клетку $C$, для которой значение $m$ (количество положений корабля, проходящих через эту клетку) максимально.

Рассчитаем значение $m$ для каждой свободной клетки, которая может быть частью корабля:
- Для и1: участвует в положениях (и1, к1) и (и1, и2). $m=2$.
- Для к1: участвует в положениях (и1, к1) и (к1, к2). $m=2$.
- Для и2: участвует в положениях (и2, к2) и (и1, и2). $m=2$.
- Для к2: участвует в положениях (и2, к2) и (к1, к2). $m=2$.
- Для к8: участвует в положении (к8, к9). $m=1$.
- Для к9: участвует в положении (к8, к9). $m=1$.
- Для и10: не имеет свободных соседей. $m=0$.

Максимальное значение $m=2$ достигается для четырех клеток: и1, к1, и2, к2. Вероятность попадания для каждой из этих клеток равна $\frac{2}{5}$. Для всех остальных свободных клеток вероятность ниже или равна нулю. Следовательно, для наибольшей вероятности подбить корабль, нужно выстрелить в любую из клеток: и1, к1, и2 или к2.

Ответ: и1, к1, и2 или к2.

299 У Андрея в правом кармане брюк шесть монет — две из них по 10 р., а четыре монеты по 2 р. На ощупь монеты неразличимы. Андрей достаёт из правого кармана три случайно выбранные монеты и перекладывает их в левый карман. Найдите вероятность того, что обе 10-рублёвые монеты окажутся:

а) в одном кармане;

б) в левом кармане.

В правом кармане находятся 6 монет: 2 монеты по 10 рублей (10р) и 4 монеты по 2 рубля (2р). Андрей случайным образом достает 3 монеты и перекладывает их в левый карман.

Общее число способов выбрать 3 монеты из 6 имеющихся равно числу сочетаний из 6 по 3. Для расчета используем формулу числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Общее число исходов: $n = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.

а) в одном кармане
Событие, при котором обе 10-рублевые монеты оказываются в одном кармане, может произойти в двух взаимоисключающих случаях:

1. Обе 10-рублевые монеты остались в правом кармане. Это означает, что все три извлеченные монеты были 2-рублевыми. Число способов выбрать 3 монеты по 2 рубля из 4 имеющихся: $m_1 = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4$.

2. Обе 10-рублевые монеты оказались в левом кармане. Это означает, что Андрей достал обе 10-рублевые монеты и одну 2-рублевую монету. Число способов выбрать 2 монеты по 10 рублей из двух ($C_2^2=1$) и 1 монету по 2 рубля из четырех ($C_4^1=4$): $m_2 = C_2^2 \times C_4^1 = 1 \times 4 = 4$.

Общее число благоприятных исходов равно сумме исходов этих двух случаев: $m = m_1 + m_2 = 4 + 4 = 8$. Вероятность того, что обе монеты окажутся в одном кармане, равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0.4$.

Ответ: $0.4$

б) в левом кармане
Событие, при котором обе 10-рублевые монеты окажутся в левом кармане, соответствует второму случаю из пункта "а)".

Для этого необходимо, чтобы Андрей вытащил из правого кармана обе 10-рублевые монеты и одну 2-рублевую монету. Число благоприятных исходов для этого события: $m = C_2^2 \times C_4^1 = 1 \times 4 = 4$.

Общее число исходов по-прежнему 20. Вероятность того, что обе монеты окажутся в левом кармане, равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0.2$.

Ответ: $0.2$