Номер 299, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

299 У Андрея в правом кармане брюк шесть монет — две из них по 10 р., а четыре монеты по 2 р. На ощупь монеты неразличимы. Андрей достаёт из правого кармана три случайно выбранные монеты и перекладывает их в левый карман. Найдите вероятность того, что обе 10-рублёвые монеты окажутся:

а) в одном кармане;

б) в левом кармане.

В правом кармане находятся 6 монет: 2 монеты по 10 рублей (10р) и 4 монеты по 2 рубля (2р). Андрей случайным образом достает 3 монеты и перекладывает их в левый карман.

Общее число способов выбрать 3 монеты из 6 имеющихся равно числу сочетаний из 6 по 3. Для расчета используем формулу числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Общее число исходов: $n = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.

а) в одном кармане
Событие, при котором обе 10-рублевые монеты оказываются в одном кармане, может произойти в двух взаимоисключающих случаях:

1. Обе 10-рублевые монеты остались в правом кармане. Это означает, что все три извлеченные монеты были 2-рублевыми. Число способов выбрать 3 монеты по 2 рубля из 4 имеющихся: $m_1 = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4$.

2. Обе 10-рублевые монеты оказались в левом кармане. Это означает, что Андрей достал обе 10-рублевые монеты и одну 2-рублевую монету. Число способов выбрать 2 монеты по 10 рублей из двух ($C_2^2=1$) и 1 монету по 2 рубля из четырех ($C_4^1=4$): $m_2 = C_2^2 \times C_4^1 = 1 \times 4 = 4$.

Общее число благоприятных исходов равно сумме исходов этих двух случаев: $m = m_1 + m_2 = 4 + 4 = 8$. Вероятность того, что обе монеты окажутся в одном кармане, равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0.4$.

Ответ: $0.4$

б) в левом кармане
Событие, при котором обе 10-рублевые монеты окажутся в левом кармане, соответствует второму случаю из пункта "а)".

Для этого необходимо, чтобы Андрей вытащил из правого кармана обе 10-рублевые монеты и одну 2-рублевую монету. Число благоприятных исходов для этого события: $m = C_2^2 \times C_4^1 = 1 \times 4 = 4$.

Общее число исходов по-прежнему 20. Вероятность того, что обе монеты окажутся в левом кармане, равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0.2$.

Ответ: $0.2$