Номер 293, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

293 На день рождения к Паше пришли две Маши и два Саши. Все пятеро расселись за круглым столом. Найдите вероятность того, что Паша сидит между двумя тёзками.

Всего за столом сидят 5 человек: Паша, две Маши и два Саши. Так как рассадка происходит за круглым столом, мы можем зафиксировать положение одного человека, например Паши, и рассматривать все возможные рассадки остальных относительно него.

Остаются 4 человека (Маша₁, Маша₂, Саша₁, Саша₂) и 4 свободных места. Нас интересует, кто займет два места, соседних с Пашей, — слева и справа от него.

Сначала найдем общее число возможных способов выбрать двух соседей для Паши из четырех оставшихся человек.На место слева от Паши может сесть любой из 4 человек.На место справа от Паши может сесть любой из оставшихся 3 человек.Следовательно, общее число способов выбрать двух соседей для Паши (с учетом их расположения слева/справа) равно:$N_{общ} = 4 \times 3 = 12$.

Теперь найдем число благоприятных исходов. Благоприятный исход — это когда Паша сидит между двумя тёзками. Это может произойти в двух случаях.

1. Паша сидит между двумя Машами.На место слева от Паши садится одна из двух Маш (2 варианта).На место справа от Паши садится оставшаяся Маша (1 вариант).Число благоприятных исходов для этого случая: $2 \times 1 = 2$.

2. Паша сидит между двумя Сашами.Аналогично, на место слева от Паши садится один из двух Саш (2 варианта).На место справа от Паши садится оставшийся Саша (1 вариант).Число благоприятных исходов для этого случая: $2 \times 1 = 2$.

Так как эти два случая взаимоисключающие, общее число благоприятных исходов равно их сумме:$N_{бл} = 2 + 2 = 4$.

Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P = \frac{N_{бл}}{N_{общ}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$