Страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

288 Бросают две игральные кости: жёлтую и зелёную. Вычислите вероятность события:

a) «сумма очков на обеих костях равна 7»;

б) «сумма очков на обеих костях равна 11»;

в) «на жёлтой кости выпало больше очков, чем на зелёной»;

г) «числа очков на костях различаются не больше чем на 2».

При броске двух игральных костей, жёлтой и зелёной, общее число равновозможных исходов равно $6 \times 6 = 36$. Каждый исход представляет собой упорядоченную пару чисел $(ж, з)$, где $ж$ — результат на жёлтой кости, а $з$ — на зелёной.

а) «сумма очков на обеих костях равна 7»

Благоприятными исходами являются пары чисел, сумма которых равна 7. Перечислим их: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Всего таких пар 6. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) «сумма очков на обеих костях равна 11»

Благоприятными исходами являются пары, сумма которых равна 11. Это пары: (5, 6) и (6, 5). Всего 2 благоприятных исхода. Вероятность события: $P(Б) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$. Ответ: $\frac{1}{18}$.

в) «на жёлтой кости выпало больше очков, чем на зелёной»

Найдём число исходов, где число очков на жёлтой кости больше, чем на зелёной ($ж > з$). Общее число исходов 36. Существует 6 исходов, где очки равны ($ж = з$): (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). В остальных $36 - 6 = 30$ исходах очки не равны. По симметрии, ровно в половине из этих 30 случаев очки на жёлтой кости будут больше, чем на зелёной. Таким образом, число благоприятных исходов равно $30 / 2 = 15$. Вероятность события: $P(В) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$. Ответ: $\frac{5}{12}$.

г) «числа очков на костях различаются не больше чем на 2»

Это условие означает, что абсолютная разница между очками на костях ($|ж - з|$) должна быть 0, 1 или 2. Посчитаем количество благоприятных исходов для каждого случая:
1. Разность равна 0 ($|ж-з|=0$): 6 исходов — (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).
2. Разность равна 1 ($|ж-з|=1$): 10 исходов — (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4), (5,6), (6,5).
3. Разность равна 2 ($|ж-з|=2$): 8 исходов — (1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4).
Суммарное число благоприятных исходов: $6 + 10 + 8 = 24$. Вероятность события: $P(Г) = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$. Ответ: $\frac{2}{3}$.

289 В магазине в коробке 24 одинаковые авторучки. Из них 13 авторучек красные, 5 — зелёные, остальные — синие. Продавец наудачу достаёт одну авторучку. Найдите вероятность того, что извлечённая ручка:

а) красная;

б) не зелёная;

в) либо синяя, либо зелёная;

г) либо красная, либо синяя.

Для решения задачи сперва определим количество ручек каждого цвета.
Всего в коробке $n = 24$ авторучки. Это общее число равновозможных исходов.
Из них:
- Красных: 13
- Зелёных: 5

Остальные ручки — синие. Найдем их количество, вычтя из общего числа сумму красных и зелёных ручек:
$24 - (13 + 5) = 24 - 18 = 6$ синих ручек.

Вероятность события вычисляется по формуле классической вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число всех возможных исходов.

а) красная;

Найдём вероятность того, что извлечённая ручка окажется красной.
Число благоприятных исходов $m$ равно количеству красных ручек: $m = 13$.
Вероятность этого события: $P = \frac{13}{24}$.
Ответ: $\frac{13}{24}$

б) не зелёная;

Найдём вероятность того, что извлечённая ручка окажется не зелёной.
Это означает, что ручка может быть либо красной, либо синей.
Число благоприятных исходов $m$ равно сумме красных и синих ручек: $m = 13 + 6 = 19$.
Вероятность этого события: $P = \frac{19}{24}$.
Ответ: $\frac{19}{24}$

в) либо синяя, либо зелёная;

Найдём вероятность того, что извлечённая ручка окажется либо синей, либо зелёной.
Число благоприятных исходов $m$ равно сумме синих и зелёных ручек: $m = 6 + 5 = 11$.
Вероятность этого события: $P = \frac{11}{24}$.
Ответ: $\frac{11}{24}$

г) либо красная, либо синяя.

Найдём вероятность того, что извлечённая ручка окажется либо красной, либо синей.
Число благоприятных исходов $m$ равно сумме красных и синих ручек: $m = 13 + 6 = 19$.
Вероятность этого события: $P = \frac{19}{24}$.
Ответ: $\frac{19}{24}$

290 В ящике 20 синих и 16 красных карандашей. Продавец не глядя вынимает один карандаш. Найдите вероятность того, что этот карандаш окажется:

a) синим;

б) красным.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{n}$

где $n$ – общее число всех равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдем общее число карандашей в ящике. В ящике 20 синих и 16 красных карандашей.

Общее число карандашей $n = 20 + 16 = 36$. Это общее число всех равновозможных исходов.

а) синим;

Найдем вероятность того, что вынутый карандаш окажется синим. Число исходов, благоприятствующих этому событию, равно количеству синих карандашей, то есть $m = 20$.

Вероятность вынуть синий карандаш равна:

$P(\text{синий}) = \frac{m}{n} = \frac{20}{36}$

Сократим полученную дробь на 4:

$P(\text{синий}) = \frac{20 \div 4}{36 \div 4} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

б) красным.

Найдем вероятность того, что вынутый карандаш окажется красным. Число исходов, благоприятствующих этому событию, равно количеству красных карандашей, то есть $m = 16$.

Вероятность вынуть красный карандаш равна:

$P(\text{красный}) = \frac{m}{n} = \frac{16}{36}$

Сократим полученную дробь на 4:

$P(\text{красный}) = \frac{16 \div 4}{36 \div 4} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

291 Миша покупает альбом (А), блокнот (Б) и тетрадь (Т). Продавец достаёт эти товары в произвольном порядке. Найдите вероятность того, что:

а) сначала продавец достанет блокнот;

б) продавец достанет альбом в последнюю очередь;

в) продавец сначала достанет тетрадь, а в последнюю очередь — блокнот;

г) альбом будет извлечён раньше, чем тетрадь.

Миша покупает три товара: альбом (А), блокнот (Б) и тетрадь (Т). Продавец достает их в произвольном порядке. Общее число всех возможных порядков (перестановок) равно числу перестановок из 3-х элементов:
$N = P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
Все возможные исходы (порядки извлечения товаров): АБТ, АТБ, БАТ, БТА, ТАБ, ТБА.
Поскольку порядок произвольный, все эти 6 исходов являются равновероятными.

а) сначала продавец достанет блокнот;

Это событие означает, что на первом месте должен быть блокнот (Б).
Благоприятными исходами являются те, которые начинаются с буквы Б:
БАТ, БТА.
Число благоприятных исходов $m = 2$.
Вероятность данного события вычисляется по формуле классической вероятности:
$P = \frac{m}{N} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) продавец достанет альбом в последнюю очередь;

Это событие означает, что на последнем (третьем) месте должен быть альбом (А).
Благоприятными исходами являются те, которые заканчиваются на букву А:
БТА, ТБА.
Число благоприятных исходов $m = 2$.
Вероятность данного события:
$P = \frac{m}{N} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) продавец сначала достанет тетрадь, а в последнюю очередь — блокнот;

Это событие означает, что на первом месте должна быть тетрадь (Т), а на последнем — блокнот (Б). Порядок должен быть вида Т _ Б.
Единственный оставшийся предмет — альбом (А) — должен быть на втором месте.
Таким образом, существует только один благоприятный исход: ТАБ.
Число благоприятных исходов $m = 1$.
Вероятность данного события:
$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

г) альбом будет извлечён раньше, чем тетрадь.

Это событие означает, что в последовательности буква А должна стоять раньше буквы Т.
Выпишем из общего списка исходов те, что удовлетворяют этому условию:
АБТ, АТБ, БАТ.
Остальные исходы (БТА, ТАБ, ТБА) не являются благоприятными, так как в них Т идет раньше А.
Число благоприятных исходов $m = 3$.
Вероятность данного события:
$P = \frac{m}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Альтернативное рассуждение: взаимное расположение альбома (А) и тетради (Т) не зависит от положения блокнота. Существует два равновероятных варианта их взаимного расположения: либо А появится раньше Т, либо Т появится раньше А. Следовательно, вероятность того, что А будет извлечен раньше Т, равна $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

292 На соревнования приехали гимнастки из трёх стран. Из России 7 гимнасток, из Германии — 8, из Чехии — 5. Порядок выступлений гимнасток определяется жребием. Найдите вероятность того, что:

а) первой будет выступать гимнастка из России;

б) третьим по счёту будет выступление какой-нибудь гимнастки из Германии;

в) второй по счёту будет выступать гимнастка из России или Чехии;

г) последней будет выступать спортсменка, приехавшая не из Чехии.

Сначала найдем общее количество гимнасток, участвующих в соревнованиях. Это будет общее число равновозможных исходов для любого места в жеребьевке, так как порядок выступлений определяется случайным образом.

Количество гимнасток из России: 7.

Количество гимнасток из Германии: 8.

Количество гимнасток из Чехии: 5.

Общее количество гимнасток ($N$): $N = 7 + 8 + 5 = 20$.

Вероятность любого события $A$ находится по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число равновозможных исходов.

а) первой будет выступать гимнастка из России;

Общее число исходов $N$ (любая из 20 гимнасток может выступать первой) равно 20. Число благоприятных исходов $m$ (выступление гимнастки из России) равно количеству гимнасток из России, то есть 7.

Вероятность этого события: $P(а) = \frac{7}{20}$.

Ответ: $\frac{7}{20}$

б) третьим по счёту будет выступление какой-нибудь гимнастки из Германии;

Поскольку порядок выступления определяется жребием, вероятность для любого места (первого, третьего, последнего и т.д.) одинакова. Общее число исходов $N$ для третьего места также равно 20. Число благоприятных исходов $m$ (на третьем месте гимнастка из Германии) равно количеству гимнасток из Германии, то есть 8.

Вероятность этого события: $P(б) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

в) второй по счёту будет выступать гимнастка из России или Чехии;

Общее число исходов $N$ для второго места равно 20. Благоприятным исходом является выступление гимнастки из России или Чехии. Найдем общее количество таких гимнасток: $7 (\text{Россия}) + 5 (\text{Чехия}) = 12$. Таким образом, число благоприятных исходов $m = 12$.

Вероятность этого события: $P(в) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

г) последней будет выступать спортсменка, приехавшая не из Чехии.

Общее число исходов $N$ для последнего места равно 20. Благоприятным исходом является выступление спортсменки не из Чехии. Это означает, что она может быть из России или Германии. Найдем количество таких спортсменок: $7 (\text{Россия}) + 8 (\text{Германия}) = 15$. Альтернативно, можно из общего числа гимнасток вычесть число гимнасток из Чехии: $20 - 5 = 15$. Число благоприятных исходов $m = 15$.

Вероятность этого события: $P(г) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

293 На день рождения к Паше пришли две Маши и два Саши. Все пятеро расселись за круглым столом. Найдите вероятность того, что Паша сидит между двумя тёзками.

Всего за столом сидят 5 человек: Паша, две Маши и два Саши. Так как рассадка происходит за круглым столом, мы можем зафиксировать положение одного человека, например Паши, и рассматривать все возможные рассадки остальных относительно него.

Остаются 4 человека (Маша₁, Маша₂, Саша₁, Саша₂) и 4 свободных места. Нас интересует, кто займет два места, соседних с Пашей, — слева и справа от него.

Сначала найдем общее число возможных способов выбрать двух соседей для Паши из четырех оставшихся человек.На место слева от Паши может сесть любой из 4 человек.На место справа от Паши может сесть любой из оставшихся 3 человек.Следовательно, общее число способов выбрать двух соседей для Паши (с учетом их расположения слева/справа) равно:$N_{общ} = 4 \times 3 = 12$.

Теперь найдем число благоприятных исходов. Благоприятный исход — это когда Паша сидит между двумя тёзками. Это может произойти в двух случаях.

1. Паша сидит между двумя Машами.На место слева от Паши садится одна из двух Маш (2 варианта).На место справа от Паши садится оставшаяся Маша (1 вариант).Число благоприятных исходов для этого случая: $2 \times 1 = 2$.

2. Паша сидит между двумя Сашами.Аналогично, на место слева от Паши садится один из двух Саш (2 варианта).На место справа от Паши садится оставшийся Саша (1 вариант).Число благоприятных исходов для этого случая: $2 \times 1 = 2$.

Так как эти два случая взаимоисключающие, общее число благоприятных исходов равно их сумме:$N_{бл} = 2 + 2 = 4$.

Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P = \frac{N_{бл}}{N_{общ}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

294 Шахматный слон может за один ход перейти на любое число полей, двигаясь только по диагонали (рис. 67). Шахматный слон случайным образом поставлен на доску. Найдите вероятность того, что он может за один ход перейти на поле:

а) h1;

в) c4;

д) d5;

б) а5;

г) d7;

е) g3.

Вероятность события вычисляется по формуле классической вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данной задаче шахматный слон случайным образом ставится на одну из клеток доски. Шахматная доска имеет размер 8x8, следовательно, всего 64 клетки. Таким образом, общее число равновозможных исходов $n = 64$.

Событие заключается в том, что с поставленной клетки слон может за один ход перейти на указанное поле. Это означает, что начальная позиция слона должна находиться на одной диагонали с целевой клеткой. Число благоприятствующих исходов $m$ — это количество клеток, с которых слон может атаковать (дойти за один ход) заданную клетку. Это все клетки, лежащие на тех же диагоналях, что и целевая клетка, за исключением самой целевой клетки.

Клетка h1 находится в углу доски. Через нее проходит одна диагональ (a8-h1), на которой расположено 8 клеток. Число клеток, с которых слон может перейти на h1, равно числу остальных клеток на этой диагонали: $m = 8 - 1 = 7$. Вероятность: $P = \frac{7}{64}$.

Ответ: $\frac{7}{64}$

Клетка a5 находится на краю доски. Через нее проходят две диагонали. Первая диагональ: a5-d8 (a5, b6, c7, d8). На ней 4 клетки. Вторая диагональ: a5-e1 (a5, b4, c3, d2, e1). На ней 5 клеток. Общее число клеток на этих диагоналях, не считая саму a5, равно: $m = (4 - 1) + (5 - 1) = 3 + 4 = 7$. Вероятность: $P = \frac{7}{64}$.

Ответ: $\frac{7}{64}$

Клетка c4 — внутренняя клетка доски. Через нее проходят две диагонали. Первая диагональ: a2-g8 (a2, b3, c4, d5, e6, f7, g8). На ней 7 клеток. Вторая диагональ: a6-f1 (a6, b5, c4, d3, e2, f1). На ней 6 клеток. Общее число клеток на этих диагоналях, не считая саму c4, равно: $m = (7 - 1) + (6 - 1) = 6 + 5 = 11$. Вероятность: $P = \frac{11}{64}$.

Ответ: $\frac{11}{64}$

Клетка d7 находится у края доски. Через нее проходят две диагонали. Первая диагональ: c8-h3 (c8, d7, e6, f5, g4, h3). На ней 6 клеток. Вторая диагональ: a4-e8 (a4, b5, c6, d7, e8). На ней 5 клеток. Общее число клеток на этих диагоналях, не считая саму d7, равно: $m = (6 - 1) + (5 - 1) = 5 + 4 = 9$. Вероятность: $P = \frac{9}{64}$.

Ответ: $\frac{9}{64}$

Клетка d5 — одна из центральных клеток. Через нее проходят две диагонали. Первая диагональ: a8-h1 (a8, b7, c6, d5, e4, f3, g2, h1). На ней 8 клеток. Вторая диагональ: a2-g8 (a2, b3, c4, d5, e6, f7, g8). На ней 7 клеток. Общее число клеток на этих диагоналях, не считая саму d5, равно: $m = (8 - 1) + (7 - 1) = 7 + 6 = 13$. Вероятность: $P = \frac{13}{64}$.

Ответ: $\frac{13}{64}$

Клетка g3 — внутренняя клетка доски. Через нее проходят две диагонали. Первая диагональ: b8-h2 (b8, c7, d6, e5, f4, g3, h2). На ней 7 клеток. Вторая диагональ: e1-h4 (e1, f2, g3, h4). На ней 4 клетки. Общее число клеток на этих диагоналях, не считая саму g3, равно: $m = (7 - 1) + (4 - 1) = 6 + 3 = 9$. Вероятность: $P = \frac{9}{64}$.

Ответ: $\frac{9}{64}$

295 Одно время на улицах и вокзалах профессиональные игроки предлагали прохожим испытать удачу в простой игре. Зажав в кулаке обычный носовой платок так, что наружу высовывались только четыре уголка, игрок предлагал прохожему взять два любых конца и потянуть за них. Если прохожий вытаскивал два соседних уголка, то он проигрывал. Если прохожий вытаскивал два противоположных уголка, то он выигрывал. Найдите вероятность выигрыша прохожего.

Рисунок 67

Для решения этой задачи необходимо определить общее количество возможных исходов и количество благоприятных исходов, а затем найти их отношение. Это соответствует классическому определению вероятности.

1. Найдем общее число исходов.

У носового платка 4 уголка. Прохожий выбирает 2 из них. Порядок, в котором он выбирает уголки, не важен. Следовательно, нам нужно найти число сочетаний из 4 элементов по 2. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (всего уголков) и $k=2$ (выбираемые уголки). Подставим значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Таким образом, существует 6 различных пар уголков, которые можно выбрать. Это общее число всех возможных исходов.

Перечислим все возможные пары, пронумеровав уголки по часовой стрелке от 1 до 4: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4).

2. Найдем число благоприятных исходов.

Выигрыш наступает, если прохожий вытаскивает два противоположных уголка. У квадратного платка есть две пары противоположных углов.

Используя нашу нумерацию, противоположными будут пары (1,3) и (2,4). Следовательно, число благоприятных (выигрышных) исходов равно 2.

3. Найдем вероятность выигрыша.

Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $n$:

$P = \frac{m}{n}$

В нашем случае $m=2$ и $n=6$.

$P(\text{выигрыш}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.