Страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Сформулируйте правило вычисления вероятности случайного события в опыте с равновозможными элементарными событиями.

1

Правило вычисления вероятности случайного события в опыте с конечным числом равновозможных элементарных исходов известно как классическое определение вероятности.

Согласно этому правилу, вероятность события A равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных элементарных исходов данного опыта.

Формула для вычисления вероятности выглядит следующим образом:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где:

• $P(A)$ – вероятность наступления события A;
• $m$ – число элементарных исходов, благоприятствующих событию A;
• $n$ – общее число всех равновозможных элементарных исходов опыта.

Ответ: Вероятность случайного события в опыте с равновозможными элементарными исходами равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных исходов.

2 Запишите это, правило формулой.

Так как в вопросе не уточнено, какое именно правило нужно записать, ниже приведены формулы для нескольких наиболее распространенных математических правил. Выберите то, которое соответствует вашему заданию.

Переместительное свойство сложения

Правило гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Если обозначить слагаемые буквами $a$ и $b$, то это правило можно записать в виде следующей формулы.

Ответ: $a + b = b + a$

Сочетательное свойство сложения

Правило гласит, что для того чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел. Обозначив числа как $a$, $b$ и $c$, запишем правило в виде формулы.

Ответ: $(a + b) + c = a + (b + c)$

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Правило гласит, что для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные произведения. Обозначив слагаемые как $a$ и $b$, а множитель как $c$, запишем это правило в виде формулы.

Ответ: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

Формула нахождения расстояния (пути)

Правило гласит, что для того чтобы найти расстояние (путь), нужно скорость умножить на время. Обозначив расстояние буквой $s$, скорость буквой $v$ и время буквой $t$, запишем формулу.

Ответ: $s = v \cdot t$

Формула периметра прямоугольника

Правило гласит, что периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины. Обозначив периметр буквой $P$, длину буквой $a$ и ширину буквой $b$, запишем формулу.

Ответ: $P = 2 \cdot (a + b)$

Формула площади прямоугольника

Правило гласит, что площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Обозначив площадь буквой $S$, длину буквой $a$ и ширину буквой $b$, запишем формулу.

Ответ: $S = a \cdot b$

285 Бросают одну игральную кость. Найдите вероятность события:

а) «выпадает чётное число очков»;

б) «выпадает число очков, кратное 3»;

в) «выпадает больше 3 очков»;

г) «выпадает число очков, кратное 7».

При броске одной стандартной игральной кости (кубика) существует 6 возможных равновероятных исходов: может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Следовательно, общее число элементарных исходов $n = 6$.
Вероятность любого события $A$ вычисляется по классической формуле вероятности:
$P(A) = \frac{m}{n}$,
где $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$, а $n$ — общее число всех равновозможных исходов.

а) «выпадет чётное число очков»

Событию «выпадет чётное число очков» благоприятствуют исходы, при которых выпадают числа 2, 4 или 6.
Таких исходов 3, поэтому число благоприятных исходов $m = 3$.
Вероятность этого события равна:
$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) «выпадет число очков, кратное 3»

Событию «выпадет число очков, кратное 3» благоприятствуют исходы, при которых выпадают числа, делящиеся на 3 без остатка. Из возможных чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6} это числа 3 и 6.
Таких исходов 2, поэтому число благоприятных исходов $m = 2$.
Вероятность этого события равна:
$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) «выпадет больше 3 очков»

Событию «выпадет больше 3 очков» благоприятствуют исходы, при которых выпадают числа 4, 5 или 6.
Таких исходов 3, поэтому число благоприятных исходов $m = 3$.
Вероятность этого события равна:
$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) «выпадет число очков, кратное 7»

Событию «выпадет число очков, кратное 7» благоприятствуют исходы, при которых выпадают числа, делящиеся на 7. Среди чисел от 1 до 6 таких чисел нет.
Следовательно, число благоприятных исходов $m = 0$. Такое событие называется невозможным.
Вероятность этого события равна:
$P = \frac{0}{6} = 0$
Ответ: $0$.

286 Бросают одну игральную кость. Вычислите вероятность события:

а) «выпавшее число очков является делителем числа 12»;

б) «выпавшее число очков кратно 5»;

в) «выпадает больше 2 очков»;

г) «выпадает больше 1, но меньше 6 очков».

При броске одной игральной кости существует 6 равновероятных исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Таким образом, общее число элементарных исходов $n = 6$.

Вероятность события $P$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов.

а) «выпавшее число очков является делителем числа 12»

Среди возможных исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6} найдем те, которые являются делителями числа 12.
Делители числа 12 из этого набора: 1 (12:1=12), 2 (12:2=6), 3 (12:3=4), 4 (12:4=3), 6 (12:6=2).
Число 5 не является делителем 12.
Количество благоприятных исходов $m = 5$.
Вероятность события: $P = \frac{m}{n} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

б) «выпавшее число очков кратно 5»

Среди возможных исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6} найдем те, которые кратны 5 (делятся на 5 без остатка).
Таким числом является только 5.
Количество благоприятных исходов $m = 1$.
Вероятность события: $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

в) «выпадет больше 2 очков»

Событию «выпадет больше 2 очков» благоприятствуют исходы, где число очков строго больше 2.
Такими исходами являются: 3, 4, 5, 6.
Количество благоприятных исходов $m = 4$.
Вероятность события: $P = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

г) «выпадет больше 1, но меньше 6 очков»

Событию «выпадет больше 1, но меньше 6 очков» благоприятствуют исходы, где число очков строго больше 1 и строго меньше 6.
Такими исходами являются: 2, 3, 4, 5.
Количество благоприятных исходов $m = 4$.
Вероятность события: $P = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

287 Бросают симметричную монету 2 раза. Равны ли вероятности событий А «два раза выпадет орёл» и В «один раз выпадет орёл, а другой раз — решка»? Найдите вероятности этих событий.

Для решения задачи определим все возможные исходы при двукратном бросании симметричной монеты. Обозначим выпадение орла буквой «О», а решки — буквой «Р».

Всего существует 4 равновероятных исхода:

• (О, О) — оба раза выпал орёл;
• (О, Р) — первый раз выпал орёл, второй — решка;
• (Р, О) — первый раз выпала решка, второй — орёл;
• (Р, Р) — оба раза выпала решка.

Общее число элементарных исходов $n = 4$. Вероятность каждого события находится по формуле классической вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов.

Вероятность события A «два раза выпадет орёл»

Событие А наступает только в одном случае — когда оба раза выпадает орёл (О, О). Таким образом, число благоприятствующих этому событию исходов $m_A = 1$. Вероятность события А равна: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $P(A) = \frac{1}{4}$.

Вероятность события B «один раз выпадет орёл, а другой раз — решка»

Событие В наступает в двух случаях: когда первый раз выпадает орёл, а второй — решка (О, Р), или когда первый раз выпадает решка, а второй — орёл (Р, О). Таким образом, число благоприятствующих этому событию исходов $m_B = 2$. Вероятность события В равна: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $P(B) = \frac{1}{2}$.

Равны ли вероятности событий А и В?

Сравним найденные вероятности: $P(A) = \frac{1}{4}$ и $P(B) = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{4} \neq \frac{1}{2}$, вероятности событий А и В не равны.
Ответ: Нет, вероятности событий не равны.