Страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

282 Стрелок один раз стреляет в круглую мишень (рис. 65). Вероятности попадания в зоны мишени показаны в таблице 51. Число очков, которое получает стрелок, равно номеру зоны.

Таблица 51. Вероятности попадания в зоны мишени

Зона: 1, 2, 3, 4, 5

Вероятность: 0,001, 0,002, 0,004, 0,006, 0,021

Зона: 6, 7, 8, 9, 10

Вероятность: 0,065, 0,138, 0,243, 0,334, 0,186

Найдите вероятность события:

а) «стрелок получит меньше 5 очков»;

б) «стрелок получит больше 7 очков»;

в) «стрелок попадёт в жёлтую зону»;

г) «стрелок не попадёт в голубую зону».

Рисунок 65

а) «стрелок получит меньше 5 очков»

Событие «стрелок получит меньше 5 очков» наступает, если стрелок попадает в зону 1, 2, 3 или 4. Так как попадания в разные зоны — это несовместные события, вероятность данного события равна сумме вероятностей попадания в каждую из этих зон. Обозначим $P(k)$ как вероятность попадания в зону с номером $k$.

Вероятность события $A$ (получить меньше 5 очков) вычисляется как:

$P(A) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4)$

Подставляем значения из таблицы:

$P(A) = 0,001 + 0,002 + 0,004 + 0,006 = 0,013$

Ответ: 0,013

б) «стрелок получит больше 7 очков»

Событие «стрелок получит больше 7 очков» наступает, если стрелок попадает в зону 8, 9 или 10. Эти события также несовместны, поэтому для нахождения итоговой вероятности мы складываем их вероятности.

Вероятность события $B$ (получить больше 7 очков) вычисляется как:

$P(B) = P(8) + P(9) + P(10)$

Подставляем значения из таблицы:

$P(B) = 0,243 + 0,334 + 0,186 = 0,763$

Ответ: 0,763

в) «стрелок попадёт в жёлтую зону»

Из рисунка 65 видно, что жёлтым цветом окрашены зоны 4 и 8. Событие «попасть в жёлтую зону» означает попадание либо в зону 4, либо в зону 8. Вероятность этого события равна сумме вероятностей попадания в эти две зоны.

Вероятность события $C$ (попасть в жёлтую зону) вычисляется как:

$P(C) = P(4) + P(8)$

Подставляем значения из таблицы:

$P(C) = 0,006 + 0,243 = 0,249$

Ответ: 0,249

г) «стрелок не попадёт в голубую зону»

Это событие является противоположным событию «стрелок попадёт в голубую зону». Сначала найдём вероятность попадания в голубую зону. Из рисунка 65 видно, что голубым цветом окрашены зоны 1, 5 и 9.

Вероятность события $D$ (попасть в голубую зону) равна сумме вероятностей попадания в эти зоны:

$P(D) = P(1) + P(5) + P(9)$

Подставляем значения из таблицы:

$P(D) = 0,001 + 0,021 + 0,334 = 0,356$

Вероятность противоположного события (не попасть в голубую зону) равна $1$ минус вероятность попасть в голубую зону:

$P(\text{не } D) = 1 - P(D) = 1 - 0,356 = 0,644$

Ответ: 0,644

283 В некотором опыте возможно три элементарных события: $a$, $b$ и $c$. Вероятность того, что наступит либо событие $b$, либо событие $c$, равна 0,83. Найдите вероятность элементарного события $a$.

По условию задачи, в некотором опыте возможны только три элементарных события: $a$, $b$ и $c$. Это означает, что эти события образуют полную группу, и сумма их вероятностей равна 1. Обозначим вероятности этих событий как $P(a)$, $P(b)$ и $P(c)$. Тогда можно записать: $P(a) + P(b) + P(c) = 1$.

Также из условия известно, что вероятность наступления либо события $b$, либо события $c$ равна 0,83. Поскольку $b$ и $c$ являются элементарными событиями, они несовместны, то есть не могут произойти одновременно. Для несовместных событий вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: $P(b \text{ или } c) = P(b) + P(c) = 0,83$.

Теперь мы можем подставить значение суммы вероятностей $P(b) + P(c)$ в первое уравнение: $P(a) + 0,83 = 1$.

Чтобы найти вероятность элементарного события $a$, решим это уравнение относительно $P(a)$: $P(a) = 1 - 0,83$. $P(a) = 0,17$.

Ответ: 0,17.

284 В некотором опыте возможно три элементарных события: $a$, $b$ и $c$. Вероятность того, что наступит либо событие $a$, либо событие $b$, равна $0.4$; вероятность того, что наступит либо событие $a$, либо событие $c$, равна $0.7$. Найдите вероятность каждого из элементарных событий.

Обозначим вероятности элементарных событий $a$, $b$ и $c$ как $P(a)$, $P(b)$ и $P(c)$ соответственно.

Поскольку $a$, $b$ и $c$ являются единственно возможными элементарными событиями в данном опыте, они образуют полную группу событий. Это означает, что сумма их вероятностей равна 1:
$P(a) + P(b) + P(c) = 1$

Из условия задачи известно, что вероятность того, что наступит либо событие $a$, либо событие $b$, равна 0,4. Так как элементарные события несовместны (не могут произойти одновременно), вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:
$P(a) + P(b) = 0,4$

Аналогично, вероятность того, что наступит либо событие $a$, либо событие $c$, равна 0,7:
$P(a) + P(c) = 0,7$

Мы получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} P(a) + P(b) + P(c) = 1 \\ P(a) + P(b) = 0,4 \\ P(a) + P(c) = 0,7 \end{cases}$

Для решения системы подставим второе уравнение $(P(a) + P(b) = 0,4)$ в первое уравнение:
$(P(a) + P(b)) + P(c) = 1$
$0,4 + P(c) = 1$
Отсюда находим вероятность события $c$:
$P(c) = 1 - 0,4 = 0,6$

Теперь, зная $P(c)$, можем найти $P(a)$ из третьего уравнения системы:
$P(a) + P(c) = 0,7$
$P(a) + 0,6 = 0,7$
$P(a) = 0,7 - 0,6 = 0,1$

И, наконец, найдем $P(b)$, подставив найденное значение $P(a)$ во второе уравнение:
$P(a) + P(b) = 0,4$
$0,1 + P(b) = 0,4$
$P(b) = 0,4 - 0,1 = 0,3$

Ответ: Вероятность события $a$ равна 0,1; вероятность события $b$ равна 0,3; вероятность события $c$ равна 0,6.