Номер 284, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

284 В некотором опыте возможно три элементарных события: $a$, $b$ и $c$. Вероятность того, что наступит либо событие $a$, либо событие $b$, равна $0.4$; вероятность того, что наступит либо событие $a$, либо событие $c$, равна $0.7$. Найдите вероятность каждого из элементарных событий.

Обозначим вероятности элементарных событий $a$, $b$ и $c$ как $P(a)$, $P(b)$ и $P(c)$ соответственно.

Поскольку $a$, $b$ и $c$ являются единственно возможными элементарными событиями в данном опыте, они образуют полную группу событий. Это означает, что сумма их вероятностей равна 1:
$P(a) + P(b) + P(c) = 1$

Из условия задачи известно, что вероятность того, что наступит либо событие $a$, либо событие $b$, равна 0,4. Так как элементарные события несовместны (не могут произойти одновременно), вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:
$P(a) + P(b) = 0,4$

Аналогично, вероятность того, что наступит либо событие $a$, либо событие $c$, равна 0,7:
$P(a) + P(c) = 0,7$

Мы получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} P(a) + P(b) + P(c) = 1 \\ P(a) + P(b) = 0,4 \\ P(a) + P(c) = 0,7 \end{cases}$

Для решения системы подставим второе уравнение $(P(a) + P(b) = 0,4)$ в первое уравнение:
$(P(a) + P(b)) + P(c) = 1$
$0,4 + P(c) = 1$
Отсюда находим вероятность события $c$:
$P(c) = 1 - 0,4 = 0,6$

Теперь, зная $P(c)$, можем найти $P(a)$ из третьего уравнения системы:
$P(a) + P(c) = 0,7$
$P(a) + 0,6 = 0,7$
$P(a) = 0,7 - 0,6 = 0,1$

И, наконец, найдем $P(b)$, подставив найденное значение $P(a)$ во второе уравнение:
$P(a) + P(b) = 0,4$
$0,1 + P(b) = 0,4$
$P(b) = 0,4 - 0,1 = 0,3$

Ответ: Вероятность события $a$ равна 0,1; вероятность события $b$ равна 0,3; вероятность события $c$ равна 0,6.