Номер 281, страница 148, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

281 Игральную кость бросают дважды. С помощью таблицы этого эксперимента (см. с. 137, рис. 61) найдите количество благоприятствующих элементарных событий и вероятность события:

а) «сумма выпавших очков равна 6»;

б) «сумма выпавших очков больше чем 5»;

в) «при первом броске выпадает больше очков, чем при втором»;

г) «количество очков, выпавших в первый раз, и количество очков, выпавших во второй раз, различаются на 4».

При бросании игральной кости дважды общее число равновозможных элементарных исходов равно $N = 6 \times 6 = 36$. Вероятность события A вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ - число благоприятствующих событию исходов.

а) «сумма выпавших очков равна 6»

Найдем все пары чисел, которые могут выпасть на костях, чтобы их сумма была равна 6. Обозначим результат первого броска как $k_1$, а второго — $k_2$. Благоприятствующими исходами $(k_1, k_2)$ являются: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1). Всего таких исходов 5. Это и есть количество благоприятствующих элементарных событий, то есть $m_a = 5$. Вероятность этого события равна: $P(a) = \frac{m_a}{N} = \frac{5}{36}$.

Ответ: количество благоприятствующих событий — 5, вероятность — $\frac{5}{36}$.

б) «сумма выпавших очков больше чем 5»

Найдем количество исходов, при которых сумма очков больше 5. Проще найти количество исходов для противоположного события — «сумма выпавших очков меньше или равна 5», а затем вычесть его из общего числа исходов. Исходы, где сумма $\le 5$: сумма 2 — (1, 1) (1 исход); сумма 3 — (1, 2), (2, 1) (2 исхода); сумма 4 — (1, 3), (2, 2), (3, 1) (3 исхода); сумма 5 — (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) (4 исхода). Всего исходов, где сумма не превышает 5, равно $1 + 2 + 3 + 4 = 10$. Следовательно, количество благоприятствующих исходов для события «сумма больше 5» равно: $m_б = 36 - 10 = 26$. Вероятность этого события: $P(б) = \frac{m_б}{N} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$.

Ответ: количество благоприятствующих событий — 26, вероятность — $\frac{13}{18}$.

в) «при первом броске выпадет больше очков, чем при втором»

Найдем все исходы $(k_1, k_2)$, где $k_1 > k_2$. Перечислим их: если на первой кости выпало 2, то на второй может быть 1: (2, 1) — 1 исход; если 3, то (3, 1), (3, 2) — 2 исхода; если 4, то (4, 1), (4, 2), (4, 3) — 3 исхода; если 5, то (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4) — 4 исхода; если 6, то (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) — 5 исходов. Общее количество благоприятствующих исходов: $m_в = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$. Вероятность этого события: $P(в) = \frac{m_в}{N} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

Ответ: количество благоприятствующих событий — 15, вероятность — $\frac{5}{12}$.

г) «количество очков, выпавших в первый раз, и количество очков, выпавших во второй раз, различаются на 4»

Это означает, что модуль разности между очками на первой и второй кости равен 4: $|k_1 - k_2| = 4$. Найдем все пары $(k_1, k_2)$, удовлетворяющие этому условию. Это пары (5, 1) и (6, 2), а также обратные им (1, 5) и (2, 6). Всего 4 благоприятствующих исхода. Таким образом, $m_г = 4$. Вероятность этого события: $P(г) = \frac{m_г}{N} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

Ответ: количество благоприятствующих событий — 4, вероятность — $\frac{1}{9}$.