Страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

266 Симметричную монету бросают дважды. Выпадение орла при каждом бросании обозначим через О, а выпадение решки — через Р. Запишите перечислением в фигурных скобках событие:

а) «выпадает один орёл и одна решка»;

б) «во второй раз выпадает решка»;

в) «решка выпадет хотя бы один раз»;

г) «в первый раз выпадает орёл».

Для решения задачи сначала определим все возможные исходы (элементарные события) при двукратном бросании монеты. Обозначим выпадение орла буквой «О», а решки — буквой «Р». Каждый исход представляет собой упорядоченную пару, где на первом месте стоит результат первого броска, а на втором — результат второго.

Пространство всех элементарных исходов $\Omega$ состоит из следующих четырёх элементов:

• (О, О) — оба раза выпал орёл;
• (О, Р) — в первый раз орёл, во второй — решка;
• (Р, О) — в первый раз решка, во второй — орёл;
• (Р, Р) — оба раза выпала решка.

Таким образом, множество всех возможных исходов: $\Omega = \{(О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р)\}$.

Теперь, основываясь на этом множестве, запишем исходы для каждого из указанных событий.

а) «выпадет один орёл и одна решка»
Данное событие происходит, когда в паре результатов один является орлом («О»), а другой — решкой («Р»). Из всего множества исходов $\Omega$ этому условию соответствуют пары (О, Р) и (Р, О).
Ответ: $\{(О, Р), (Р, О)\}$

б) «во второй раз выпадет решка»
Это событие происходит, если результат второго броска — решка («Р»). Ищем в множестве $\Omega$ все пары, у которых второй элемент равен «Р». Такими парами являются (О, Р) и (Р, Р).
Ответ: $\{(О, Р), (Р, Р)\}$

в) «решка выпадет хотя бы один раз»
Событие «решка выпадет хотя бы один раз» означает, что в результате двух бросков выпала одна или две решки. Этому условию соответствуют все исходы, содержащие хотя бы одну букву «Р». Это исходы (О, Р), (Р, О) и (Р, Р).
Ответ: $\{(О, Р), (Р, О), (Р, Р)\}$

г) «в первый раз выпадет орёл»
Это событие происходит, если результат первого броска — орёл («О»). Ищем в множестве $\Omega$ все пары, у которых первый элемент равен «О». Такими парами являются (О, О) и (О, Р).
Ответ: $\{(О, О), (О, Р)\}$

267 Симметричную монету бросают 3 раза. Пользуясь обозначениями О и Р, выпишите элементарные события, благоприятствующие событию:

а) «выпадет ровно один орёл»;

б) «выпадет ровно одна решка»;

в) «при втором бросании выпадает решка»;

г) «при третьем бросании выпадает орёл».

Для решения задачи сначала определим все возможные исходы трёх бросков монеты. Обозначим выпадение орла буквой «О», а решки — буквой «Р». Так как при каждом броске есть 2 возможных исхода, то при трёх бросках общее число элементарных событий составляет $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.
Полное пространство элементарных событий (все возможные исходы) выглядит так:
{ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР}.

а) «выпадет ровно один орёл»
Данному событию благоприятствуют те исходы из общего списка, в которых буква «О» встречается ровно один раз. Выберем эти исходы:
ОРР, РОР, РРО.
Ответ: {ОРР, РОР, РРО}.

б) «выпадет ровно одна решка»
Данному событию благоприятствуют те исходы, в которых буква «Р» встречается ровно один раз. Выберем эти исходы из общего списка:
ООР, ОРО, РОО.
Ответ: {ООР, ОРО, РОО}.

в) «при втором бросании выпадет решка»
Данному событию благоприятствуют те исходы, у которых на втором месте в последовательности стоит буква «Р». Выберем их из общего списка:
ОРО, ОРР, РРО, РРР.
Ответ: {ОРО, ОРР, РРО, РРР}.

г) «при третьем бросании выпадет орёл»
Данному событию благоприятствуют те исходы, у которых на третьем месте в последовательности стоит буква «О». Выберем их из общего списка:
ООО, ОРО, РОО, РРО.
Ответ: {ООО, ОРО, РОО, РРО}.

268 Константин, Леонид и Михаил купили по одной порции мороженого. Всего было куплено мороженое трёх сортов: абрикосовое, брусничное и вишнёвое. Введите подходящую систему обозначений для элементарных событий такого эксперимента. Запишите все элементарные события, благоприятствующие событию:

а) «Константин купил абрикосовое мороженое»;

б) «Леонид не купил брусничное мороженое»;

в) «Михаил купил либо абрикосовое, либо вишнёвое мороженое»;

г) «У Леонида ни брусничное, ни вишнёвое мороженое».

Введем систему обозначений для элементарных событий. Каждое элементарное событие — это конкретный выбор мороженого каждым из трёх человек. Будем представлять событие в виде упорядоченной тройки букв (К, Л, М), где:

• на первом месте — сорт мороженого, который купил Константин;
• на втором месте — сорт мороженого, который купил Леонид;
• на третьем месте — сорт мороженого, который купил Михаил.

Обозначим сорта мороженого первыми буквами их названий:

• А — абрикосовое;
• Б — брусничное;
• В — вишнёвое.

Например, событие (А, Б, В) означает, что Константин купил абрикосовое мороженое, Леонид — брусничное, а Михаил — вишнёвое.

Каждый из трёх человек может выбрать любой из трёх сортов мороженого. Общее число всех возможных элементарных событий равно $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$.

Полный список всех элементарных событий (пространство элементарных событий):
(А,А,А), (А,А,Б), (А,А,В), (А,Б,А), (А,Б,Б), (А,Б,В), (А,В,А), (А,В,Б), (А,В,В),
(Б,А,А), (Б,А,Б), (Б,А,В), (Б,Б,А), (Б,Б,Б), (Б,Б,В), (Б,В,А), (Б,В,Б), (Б,В,В),
(В,А,А), (В,А,Б), (В,А,В), (В,Б,А), (В,Б,Б), (В,Б,В), (В,В,А), (В,В,Б), (В,В,В).

Теперь найдём элементарные события, благоприятствующие каждому из указанных событий.

а) «Константин купил абрикосовое мороженое»
Это событие означает, что на первом месте в тройке должна стоять буква «А». Выбор Леонида и Михаила может быть любым. Таких событий $1 \times 3 \times 3 = 9$.
Список благоприятствующих событий:
(А,А,А), (А,А,Б), (А,А,В),
(А,Б,А), (А,Б,Б), (А,Б,В),
(А,В,А), (А,В,Б), (А,В,В).
Ответ: (А,А,А), (А,А,Б), (А,А,В), (А,Б,А), (А,Б,Б), (А,Б,В), (А,В,А), (А,В,Б), (А,В,В).

б) «Леонид не купил брусничное мороженое»
Это событие означает, что Леонид купил либо абрикосовое (А), либо вишнёвое (В) мороженое. То есть на втором месте в тройке может стоять либо «А», либо «В». Выбор Константина и Михаила может быть любым. Таких событий $3 \times 2 \times 3 = 18$.
Список благоприятствующих событий:
(А,А,А), (А,А,Б), (А,А,В), (А,В,А), (А,В,Б), (А,В,В),
(Б,А,А), (Б,А,Б), (Б,А,В), (Б,В,А), (Б,В,Б), (Б,В,В),
(В,А,А), (В,А,Б), (В,А,В), (В,В,А), (В,В,Б), (В,В,В).
Ответ: (А,А,А), (А,А,Б), (А,А,В), (А,В,А), (А,В,Б), (А,В,В), (Б,А,А), (Б,А,Б), (Б,А,В), (Б,В,А), (Б,В,Б), (Б,В,В), (В,А,А), (В,А,Б), (В,А,В), (В,В,А), (В,В,Б), (В,В,В).

в) «Михаил купил либо абрикосовое, либо вишнёвое мороженое»
Это событие означает, что на третьем месте в тройке может стоять либо «А», либо «В». Выбор Константина и Леонида может быть любым. Таких событий $3 \times 3 \times 2 = 18$.
Список благоприятствующих событий:
(А,А,А), (А,А,В), (А,Б,А), (А,Б,В), (А,В,А), (А,В,В),
(Б,А,А), (Б,А,В), (Б,Б,А), (Б,Б,В), (Б,В,А), (Б,В,В),
(В,А,А), (В,А,В), (В,Б,А), (В,Б,В), (В,В,А), (В,В,В).
Ответ: (А,А,А), (А,А,В), (А,Б,А), (А,Б,В), (А,В,А), (А,В,В), (Б,А,А), (Б,А,В), (Б,Б,А), (Б,Б,В), (Б,В,А), (Б,В,В), (В,А,А), (В,А,В), (В,Б,А), (В,Б,В), (В,В,А), (В,В,В).

г) «У Леонида ни брусничное, ни вишнёвое мороженое»
Это событие означает, что Леонид не купил брусничное (Б) и не купил вишнёвое (В). Следовательно, он купил абрикосовое мороженое (А). На втором месте в тройке должна стоять буква «А». Выбор Константина и Михаила может быть любым. Таких событий $3 \times 1 \times 3 = 9$.
Список благоприятствующих событий:
(А,А,А), (А,А,Б), (А,А,В),
(Б,А,А), (Б,А,Б), (Б,А,В),
(В,А,А), (В,А,Б), (В,А,В).
Ответ: (А,А,А), (А,А,Б), (А,А,В), (Б,А,А), (Б,А,Б), (Б,А,В), (В,А,А), (В,А,Б), (В,А,В).

269 Стрелок в тире стреляет по мишени, пока не собьёт её. Опишите словами следующие события:

а) $A = \{НУ, ННУ, НННУ\}$;

б) $B = \{У, НУ, ННУ, НННУ, ННННУ\}$;

в) $C = \{ННУ, НННУ, ННННУ, \dots\}$ (многоточие означает, что последовательность продолжается до бесконечности);

г) $D = \{У, ННУ, ННННУ, НННННУ, \dots\}$.

В данной задаче исходы стрельбы обозначаются последовательностями букв, где 'У' означает успешный выстрел (попадание), а 'Н' — неудачный (промах). Стрельба ведется до первого попадания, поэтому каждая последовательность заканчивается на 'У' и содержит эту букву только один раз.

а) Событие $A = \{НУ, ННУ, НННУ\}$ состоит из следующих элементарных исходов: `НУ` — промах первым выстрелом и попадание вторым; `ННУ` — два промаха и попадание третьим выстрелом; `НННУ` — три промаха и попадание четвертым выстрелом. Таким образом, это событие означает, что для поражения мишени стрелку потребовалось от двух до четырех выстрелов.
Ответ: Стрелку потребовалось от двух до четырех выстрелов, чтобы поразить мишень.

б) Событие $B = \{У, НУ, ННУ, НННУ\}$ означает, что стрелок поразил мишень с первой, второй, третьей или четвертой попытки. Таким образом, событие заключается в том, что мишень была поражена одним из первых четырех выстрелов.
Ответ: Стрелок поразил мишень, сделав не более четырех выстрелов.

в) Событие $C = \{ННУ, НННУ, ННННУ, ...\}$ означает, что стрелок поразил мишень с третьей, четвертой, пятой или любой последующей попытки. Общим для всех этих исходов является то, что первые два выстрела были промахами, а попадание произошло на третий или последующий выстрел.
Ответ: Стрелок промахнулся первыми двумя выстрелами.

г) Событие $D = \{У, ННУ, ННННУ, ННННННУ, ...\}$ включает исходы, где мишень поражена первым выстрелом (всего 1 выстрел), третьим (всего 3 выстрела), пятым (всего 5 выстрелов) и так далее. Во всех этих случаях общее количество сделанных выстрелов является нечетным числом.
Ответ: Стрелок поразил мишень выстрелом с нечетным номером.

270 В классе 25 учеников, среди которых учится Петя. Учитель в течение урока по очереди вызывает к доске двух человек. Сколько элементарных событий благоприятствует событию «Петю вызовут к доске»?

Поскольку учитель вызывает к доске двух учеников по очереди, порядок их вызова важен. Это означает, что пара (Петя, Вася) и пара (Вася, Петя) — это два разных элементарных события. Нам нужно найти общее число таких упорядоченных пар, в которых присутствует Петя.

Событие «Петю вызовут к доске» может произойти в двух случаях: Петя будет вызван первым, или Петя будет вызван вторым. Эти случаи являются взаимоисключающими, поэтому мы можем посчитать количество вариантов для каждого случая и сложить их.

Случай 1: Петя вызван первым.
Если первым к доске вызывают Петю, то на первое место в паре есть только один кандидат (сам Петя). На второе место можно выбрать любого из оставшихся $25 - 1 = 24$ учеников. Таким образом, количество событий в этом случае равно $1 \times 24 = 24$.

Случай 2: Петя вызван вторым.
Если вторым к доске вызывают Петю, то на второе место есть один кандидат. На первое место можно выбрать любого из учеников, кроме Пети, то есть любого из 24 оставшихся учеников. Таким образом, количество событий в этом случае равно $24 \times 1 = 24$.

Общее количество благоприятствующих событий.
Чтобы найти общее число элементарных событий, благоприятствующих тому, что Петю вызовут к доске, нужно сложить количества событий из обоих случаев:
$24 + 24 = 48$.

Ответ: 48.