Страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Какие элементарные события называют равновозможными?

В теории вероятностей равновозможными называют такие элементарные события (исходы) некоторого случайного эксперимента, которые имеют одинаковые шансы на наступление. Это означает, что нет никаких объективных причин или оснований предполагать, что одно из этих событий будет происходить чаще или реже других.

Концепция равновозможности является фундаментальной для классического определения вероятности и чаще всего применяется в ситуациях, где условия эксперимента симметричны.

Основные характеристики и примеры:

• Симметрия эксперимента: При подбрасывании идеальной, симметричной монеты элементарные события «выпал орёл» и «выпала решка» являются равновозможными. Аналогично, при броске правильного игрального кубика (с однородной плотностью и идеальной формой) все шесть исходов — выпадение чисел от 1 до 6 — равновозможны.

• Случайный выбор: При извлечении одной карты из хорошо перемешанной колоды из 52 карт, появление любой конкретной карты (например, «дама червей») является равновозможным событием для всех 52 карт.

Математическое выражение:

Если в результате эксперимента может произойти $N$ равновозможных элементарных событий, то вероятность наступления любого из этих событий $E_i$ одинакова и равна:

$P(E_i) = \frac{1}{N}$

Например, для шестигранного кубика $N=6$, и вероятность выпадения любой грани, скажем, тройки, составляет $P(\text{выпала тройка}) = \frac{1}{6}$.

Сумма вероятностей всех элементарных событий в пространстве исходов всегда равна 1:

$\sum_{i=1}^{N} P(E_i) = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{N} = N \cdot \frac{1}{N} = 1$

Именно на предположении о равновозможности элементарных исходов строится классическая формула вероятности: вероятность события $A$ равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию $A$ ($m$), к общему числу равновозможных исходов ($N$): $P(A) = \frac{m}{N}$.

Ответ: Равновозможные элементарные события — это такие простейшие исходы случайного эксперимента, которые имеют одинаковые шансы (вероятности) на наступление.

2 Приведите примеры опытов, в которых элементарные события равновозможны.

Опыты, в которых все элементарные события (исходы) имеют одинаковую вероятность, называются опытами с равновозможными исходами. Это означает, что нет никаких объективных причин считать один исход более вероятным, чем другой. Вероятность любого элементарного события в таком опыте вычисляется по формуле $P = \frac{1}{N}$, где $N$ — общее число элементарных событий.

Вот несколько примеров таких опытов:

1. Подбрасывание симметричной монеты

Опыт заключается в однократном подбрасывании идеальной, симметричной монеты.

• Элементарные события: «выпал орёл» и «выпала решка».
• Общее число элементарных событий: $N=2$.
• Поскольку монета считается идеальной (симметричной, без дефектов), шансы выпадения орла и решки одинаковы.

Вероятность каждого исхода составляет $P(\text{орёл}) = P(\text{решка}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: В опыте по подбрасыванию симметричной монеты элементарные события «выпал орёл» и «выпала решка» равновозможны.

2. Бросок игрального кубика

Опыт заключается в однократном броске стандартного шестигранного игрального кубика, который является однородным и имеет правильную кубическую форму.

• Элементарные события: выпадение грани с числом очков 1, 2, 3, 4, 5 или 6.
• Общее число элементарных событий: $N=6$.
• Из-за симметрии и однородности кубика, нет оснований полагать, что какая-либо грань будет выпадать чаще других.

Вероятность выпадения любой конкретной грани одинакова и равна $P(k) = \frac{1}{6}$, где $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Ответ: В опыте по броску идеального игрального кубика элементарные события, соответствующие выпадению чисел от 1 до 6, равновозможны.

3. Извлечение карты из колоды

Опыт заключается в случайном извлечении одной карты из хорошо перемешанной стандартной колоды (например, из 36 или 52 карт).

• Элементарные события: извлечение любой конкретной карты (например, «туз пик», «десятка бубен» и т.д.).
• Общее число элементарных событий равно числу карт в колоде, $N=36$ или $N=52$.
• Поскольку колода хорошо перемешана, а карта вытягивается случайным образом, каждая карта имеет одинаковый шанс быть выбранной.

Вероятность вытянуть любую определённую карту для колоды из 52 карт равна $P = \frac{1}{52}$.
Ответ: В опыте по извлечению одной карты из хорошо перемешанной колоды элементарные события, соответствующие выбору каждой конкретной карты, равновозможны.

4. Выбор шара из урны

В урне находятся $N$ шаров, одинаковых по размеру, весу и на ощупь, но различающихся, например, по цвету. Опыт заключается в случайном извлечении одного шара из урны.

• Элементарные события: извлечение каждого конкретного, индивидуального шара.
• Общее число элементарных событий: $N$ (общее количество шаров).
• Так как все шары физически неотличимы (кроме цвета, который мы не можем определить на ощупь) и выбор происходит случайным образом, вероятность извлечь любой из шаров одинакова.

Вероятность извлечь любой конкретный шар равна $P = \frac{1}{N}$.
Ответ: В опыте по случайному выбору одного шара из урны, содержащей физически идентичные шары, элементарные события, соответствующие извлечению каждого отдельного шара, являются равновозможными.

3 Сформулируйте свойство суммы вероятностей всех элементарных событий случайного опыта.

Для формулировки этого свойства необходимо ввести основные понятия. Случайный опыт (или эксперимент) — это действие, результат которого нельзя предсказать со стопроцентной уверенностью. Каждый возможный, неделимый исход такого опыта называется элементарным событием. Совокупность всех элементарных событий образует пространство элементарных событий.

Свойство суммы вероятностей заключается в следующем: сумма вероятностей всех элементарных событий, составляющих пространство элементарных событий для данного случайного опыта, всегда равна единице.

Это свойство является фундаментальным в теории вероятностей. Оно означает, что в результате проведения опыта одно из элементарных событий обязательно произойдет. Событие, которое обязательно происходит в результате опыта, называется достоверным, и его вероятность равна 1.

Математически это свойство можно записать так. Пусть пространство элементарных событий состоит из n событий: $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$. Пусть $P(\omega_i)$ — вероятность i-го элементарного события. Тогда:

$P(\omega_1) + P(\omega_2) + \ldots + P(\omega_n) = 1$

Или, используя знак суммы:

$\sum_{i=1}^{n} P(\omega_i) = 1$

Пример:

Рассмотрим случайный опыт — однократное подбрасывание симметричного игрального кубика.

• Пространство элементарных событий: {выпадение 1, выпадение 2, выпадение 3, выпадение 4, выпадение 5, выпадение 6}. Всего 6 элементарных событий.
• Поскольку кубик симметричный (честный), все исходы равновероятны. Вероятность каждого элементарного события составляет $\frac{1}{6}$.
• $P(1) = \frac{1}{6}$; $P(2) = \frac{1}{6}$; $P(3) = \frac{1}{6}$; $P(4) = \frac{1}{6}$; $P(5) = \frac{1}{6}$; $P(6) = \frac{1}{6}$.

Найдем сумму вероятностей всех элементарных событий:

$P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Сумма вероятностей равна 1, что и подтверждает данное свойство.

Ответ: Сумма вероятностей всех элементарных событий случайного опыта равна единице.

4 Могут ли вероятности элементарных событий в случайном опыте быть не равны друг другу?

Да, могут.

Случайный опыт, в котором все элементарные события равновероятны, является лишь частным, хотя и очень распространенным в задачах, случаем. В общем случае вероятности элементарных событий могут быть различными.

Элементарное событие — это один из взаимоисключающих исходов случайного опыта. Множество всех элементарных событий образует пространство элементарных событий. Основное требование теории вероятностей (аксиома нормировки) заключается в том, чтобы сумма вероятностей всех элементарных событий в данном опыте была равна 1. Если пространство состоит из $n$ элементарных событий $\omega_1, \omega_2, ..., \omega_n$, то должно выполняться условие:

$P(\omega_1) + P(\omega_2) + ... + P(\omega_n) = \sum_{i=1}^{n} P(\omega_i) = 1$

Это условие никак не требует, чтобы все $P(\omega_i)$ были равны между собой.

Рассмотрим несколько примеров, где вероятности элементарных событий не равны:

• Несимметричная (нечестная) монета

  При подбрасывании идеальной, симметричной монеты вероятности выпадения орла (О) и решки (Р) равны: $P(О) = P(Р) = 0.5$. Однако если монета имеет смещенный центр тяжести, она будет чаще падать на одну из сторон. Элементарные события здесь — 'выпал орёл' и 'выпала решка'. Их вероятности могут быть, например, такими:

  $P(О) = 0.6$ и $P(Р) = 0.4$

  Сумма вероятностей равна 1 ($0.6 + 0.4 = 1$), но сами вероятности не равны друг другу.

• Игральный кубик со смещенным центром тяжести

  Для стандартного игрального кубика вероятность выпадения любой из граней (элементарные события: 1, 2, 3, 4, 5, 6) равна $1/6$. Если же кубик "неправильный", то вероятности выпадения разных граней будут отличаться. Например, пусть вероятность выпадения шестерки в два раза больше вероятности выпадения любой другой грани. Обозначим вероятность выпадения '1', '2', '3', '4' или '5' за $x$. Тогда $P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=x$, а $P(6)=2x$. Так как сумма всех вероятностей должна быть равна 1, получаем:

  $x + x + x + x + x + 2x = 1 \implies 7x = 1 \implies x = 1/7$

  Тогда вероятности элементарных событий таковы:

  $P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=1/7$, а $P(6)=2/7$.

  Вероятности не равны между собой, но их сумма равна $5 \cdot (1/7) + 2/7 = 7/7 = 1$.

• Стрельба по мишени

  Опытный стрелок стреляет по мишени. В этом опыте есть два элементарных события: 'попадание' и 'промах'. Очевидно, что для хорошего стрелка вероятность попадания будет значительно выше вероятности промаха.

  $P(\text{попадание}) = 0.9$

  $P(\text{промах}) = 0.1$

  Вероятности различны, а их сумма равна 1.

Таким образом, равенство вероятностей элементарных событий — это свойство конкретной модели случайного опыта (например, идеальной монеты или кубика), а не общее правило для всех случайных опытов. В большинстве реальных ситуаций вероятности элементарных исходов не равны.

Ответ: Да, вероятности элементарных событий в случайном опыте могут быть не равны друг другу. Это является общей ситуацией, в то время как равновероятность исходов — это частный случай.

5 На какой ответ мог рассчитывать преподаватель из шутки про динозавра?

Этот вопрос отсылает к известному анекдоту о преподавателе и студенте, который обычно рассказывают в контексте изучения теории вероятностей. В классической версии шутки на вопрос «Какова вероятность встретить динозавра на улице?» студент отвечает «$50\%$» (или $1/2$), объясняя это тем, что «либо встречу, либо нет».

Этот ответ студента является юмористическим, так как он демонстрирует распространенное логическое заблуждение — ошибочное допущение о том, что любые два исхода являются равновероятными. С точки зрения математики, это в корне неверно.

Преподаватель, задавая такой вопрос, рассчитывал на совершенно другой ответ, основанный на научном знании и корректном применении основ теории вероятностей. Ключевым фактом для решения этой задачи является то, что динозавры (нептичьи) вымерли примерно 65 миллионов лет назад. Следовательно, событие «встретить динозавра на улице» в наше время является невозможным.

В теории вероятностей невозможному событию присваивается вероятность, равная нулю. Таким образом, преподаватель ожидал, что студент использует свои знания об окружающем мире, поймет, что данное событие произойти не может, и даст математически грамотный ответ.

Ответ: Преподаватель рассчитывал на ответ, что вероятность встретить динозавра на улице равна $0$, так как это невозможное событие.

246 Равновозможны ли элементарные события «выпал орёл» и «выпала решка» при бросании правильной монеты?

В теории вероятностей понятие «правильная монета» (также называемая симметричной или идеальной) означает, что монета изготовлена из однородного материала, имеет идеальную геометрическую форму, и её центр масс совпадает с геометрическим центром. Эти условия гарантируют отсутствие каких-либо физических причин, по которым одна сторона монеты выпадала бы чаще другой.

При бросании монеты возможны два элементарных исхода (события): «выпал орёл» и «выпала решка».

События называются равновозможными, если в результате испытания у них равные шансы на наступление. Поскольку монета является правильной, условия для выпадения «орла» и «решки» абсолютно симметричны. Следовательно, шансы на наступление этих двух событий одинаковы.

Вероятность каждого из этих событий равна $ \frac{1}{2} $:

$ P(\text{«выпал орёл»}) = \frac{1}{2} $

$ P(\text{«выпала решка»}) = \frac{1}{2} $

Так как вероятности этих событий равны, они являются равновозможными.

Ответ: Да, при бросании правильной монеты элементарные события «выпал орёл» и «выпала решка» являются равновозможными.