Номер 4, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

4 Могут ли вероятности элементарных событий в случайном опыте быть не равны друг другу?

Да, могут.

Случайный опыт, в котором все элементарные события равновероятны, является лишь частным, хотя и очень распространенным в задачах, случаем. В общем случае вероятности элементарных событий могут быть различными.

Элементарное событие — это один из взаимоисключающих исходов случайного опыта. Множество всех элементарных событий образует пространство элементарных событий. Основное требование теории вероятностей (аксиома нормировки) заключается в том, чтобы сумма вероятностей всех элементарных событий в данном опыте была равна 1. Если пространство состоит из $n$ элементарных событий $\omega_1, \omega_2, ..., \omega_n$, то должно выполняться условие:

$P(\omega_1) + P(\omega_2) + ... + P(\omega_n) = \sum_{i=1}^{n} P(\omega_i) = 1$

Это условие никак не требует, чтобы все $P(\omega_i)$ были равны между собой.

Рассмотрим несколько примеров, где вероятности элементарных событий не равны:

• Несимметричная (нечестная) монета

  При подбрасывании идеальной, симметричной монеты вероятности выпадения орла (О) и решки (Р) равны: $P(О) = P(Р) = 0.5$. Однако если монета имеет смещенный центр тяжести, она будет чаще падать на одну из сторон. Элементарные события здесь — 'выпал орёл' и 'выпала решка'. Их вероятности могут быть, например, такими:

  $P(О) = 0.6$ и $P(Р) = 0.4$

  Сумма вероятностей равна 1 ($0.6 + 0.4 = 1$), но сами вероятности не равны друг другу.

• Игральный кубик со смещенным центром тяжести

  Для стандартного игрального кубика вероятность выпадения любой из граней (элементарные события: 1, 2, 3, 4, 5, 6) равна $1/6$. Если же кубик "неправильный", то вероятности выпадения разных граней будут отличаться. Например, пусть вероятность выпадения шестерки в два раза больше вероятности выпадения любой другой грани. Обозначим вероятность выпадения '1', '2', '3', '4' или '5' за $x$. Тогда $P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=x$, а $P(6)=2x$. Так как сумма всех вероятностей должна быть равна 1, получаем:

  $x + x + x + x + x + 2x = 1 \implies 7x = 1 \implies x = 1/7$

  Тогда вероятности элементарных событий таковы:

  $P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=1/7$, а $P(6)=2/7$.

  Вероятности не равны между собой, но их сумма равна $5 \cdot (1/7) + 2/7 = 7/7 = 1$.

• Стрельба по мишени

  Опытный стрелок стреляет по мишени. В этом опыте есть два элементарных события: 'попадание' и 'промах'. Очевидно, что для хорошего стрелка вероятность попадания будет значительно выше вероятности промаха.

  $P(\text{попадание}) = 0.9$

  $P(\text{промах}) = 0.1$

  Вероятности различны, а их сумма равна 1.

Таким образом, равенство вероятностей элементарных событий — это свойство конкретной модели случайного опыта (например, идеальной монеты или кубика), а не общее правило для всех случайных опытов. В большинстве реальных ситуаций вероятности элементарных исходов не равны.

Ответ: Да, вероятности элементарных событий в случайном опыте могут быть не равны друг другу. Это является общей ситуацией, в то время как равновероятность исходов — это частный случай.