Страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Что означает высказывание «элементарное событие благоприятствует событию А»?

Сформулируйте его иначе.

Высказывание «элементарное событие благоприятствует событию A» означает, что наступление этого элементарного события приводит к наступлению события A.

В теории вероятностей каждый случайный эксперимент имеет множество всех возможных взаимоисключающих исходов. Эти исходы называются элементарными событиями. Совокупность всех элементарных событий образует пространство элементарных событий (обозначается $\Omega$).

Любое событие (например, событие $A$) — это некоторое подмножество пространства элементарных событий, то есть $A \subseteq \Omega$. Событие $A$ считается наступившим, если в результате эксперимента произошел один из исходов (элементарных событий), принадлежащих этому подмножеству $A$.

Таким образом, если элементарное событие $\omega$ «благоприятствует» событию $A$, это формальный способ сказать, что исход $\omega$ является одним из тех исходов, которые составляют событие $A$. На языке теории множеств это записывается как $\omega \in A$.

Сформулировать это высказывание иначе можно так:

1. Наступление этого элементарного события означает, что событие A произошло.
2. Данный исход эксперимента входит в состав события A.
3. Элементарное событие является элементом множества, соответствующего событию A.

Пример:
Эксперимент: бросание игрального кубика. Пространство элементарных событий $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Событие A: «выпало четное число очков». Этому событию соответствует множество исходов $A = \{2, 4, 6\}$.
Элементарное событие «выпало 4 очка» (исход $\omega = 4$) благоприятствует событию A, так как $4 \in \{2, 4, 6\}$.
Элементарное событие «выпало 3 очка» (исход $\omega = 3$) не благоприятствует событию A, так как $3 \notin \{2, 4, 6\}$.

Ответ: Высказывание «элементарное событие благоприятствует событию А» означает, что данное элементарное событие является одним из исходов, при наступлении которого событие А считается произошедшим. Альтернативные формулировки: «наступление этого элементарного события влечет за собой наступление события А» или «этот исход входит в множество исходов, составляющих событие А».

2 Всякое ли элементарное событие опыта является случайным событием?

Для ответа на этот вопрос необходимо дать точные определения понятий «элементарное событие» и «случайное событие» в рамках теории вероятностей.

Элементарное событие (или исход) — это один из простейших, неделимых результатов случайного эксперимента. Совокупность всех возможных элементарных событий образует пространство элементарных событий, которое обычно обозначается как $\Omega$. Например, при однократном броске игрального кубика пространством элементарных событий будет множество $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, где каждое число — это элементарное событие.

Случайное событие — это любое подмножество пространства элементарных событий $\Omega$. Случайное событие $A$ может состоять из одного, нескольких или всех элементарных событий. Формально, $A$ является случайным событием, если $A \subseteq \Omega$. Например, событие «выпало четное число» при броске кубика — это случайное событие $A = \{2, 4, 6\}$, которое является подмножеством $\Omega$.

Теперь сопоставим эти два понятия. Возьмем любое элементарное событие, например, $\omega_i \in \Omega$. Мы можем рассмотреть его как множество, состоящее из одного этого элемента: $\{\omega_i\}$. Поскольку $\omega_i$ является элементом пространства $\Omega$, то множество $\{\omega_i\}$ является его подмножеством: $\{\omega_i\} \subseteq \Omega$.

Исходя из определения случайного события, любое подмножество пространства $\Omega$ является случайным событием. Следовательно, множество $\{\omega_i\}$, состоящее из одного элементарного события, также является случайным событием.

Таким образом, любое элементарное событие можно рассматривать как простейшее (непустое) случайное событие. В нашем примере с кубиком, элементарное событие «выпала 5» можно представить как случайное событие $B = \{5\}$, и так как $B \subseteq \Omega$, это корректное определение.

Ответ: Да, всякое элементарное событие опыта является случайным событием. Оно представляет собой частный случай случайного события, состоящего ровно из одного исхода.

3 Верно ли, что случайному событию может благоприятствовать только одно элементарное событие?

Нет, это утверждение неверно.

В теории вероятностей случайное событие определяется как любое подмножество пространства элементарных событий. Элементарное событие (или исход) — это один из возможных результатов случайного эксперимента, который нельзя разложить на более простые. Элементарные события, входящие в подмножество, которое определяет случайное событие, называются благоприятствующими этому событию.

Таким образом, случайному событию может благоприятствовать как одно, так и несколько элементарных событий.

Пример:

Рассмотрим эксперимент по подбрасыванию стандартного игрального кубика.

Пространство элементарных событий (все возможные исходы) в этом случае: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Каждое число в этом множестве — это элементарное событие.

Теперь определим случайное событие А = "выпало четное число очков".

Чтобы это событие произошло, результатом броска должно быть число 2, 4 или 6. Каждое из этих чисел является элементарным событием.

Следовательно, событию А благоприятствуют три элементарных события: $\{2, 4, 6\}$.

В то же время, если мы рассмотрим событие В = "выпало число 5", то ему будет благоприятствовать только одно элементарное событие: $\{5\}$. Такое событие, которому благоприятствует лишь один исход, само является элементарным.

Однако вопрос ставится о случайном событии в общем виде, а оно может быть составным (то есть состоять из нескольких элементарных). Поэтому утверждение, что случайному событию может благоприятствовать только одно элементарное событие, является ложным.

Ответ: Нет, неверно. Случайному событию может благоприятствовать как одно элементарное событие (если оно само является элементарным), так и несколько элементарных событий (если оно является составным).

4 Могут ли в опыте два случайных события наступить одновременно?

Да, два случайных события в одном опыте могут наступить одновременно. Однако это возможно не всегда. Всё зависит от того, являются ли рассматриваемые события совместными или несовместными.

Совместные (совместимые) события

Два события называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого в том же самом опыте. То есть они могут произойти одновременно.

Пример: Проводится опыт — подбрасывание стандартного игрального кубика.

Рассмотрим два события:

Событие A: «выпало четное число». Этому событию благоприятствуют исходы {2, 4, 6}.

Событие B: «выпало число, кратное трем». Этому событию благоприятствуют исходы {3, 6}.

Если на кубике выпадет число 6, то одновременно произойдут и событие A (поскольку 6 — четное), и событие B (поскольку 6 кратно 3). Следовательно, события A и B являются совместными. Их пересечение не является пустым множеством: $A \cap B = \{6\} \neq \emptyset$.

Несовместные (несовместимые) события

Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном и том же опыте. Наступление одного из них полностью исключает возможность наступления другого.

Пример: Снова рассмотрим опыт с подбрасыванием игрального кубика.

Рассмотрим два других события:

Событие C: «выпало четное число». Исходы: {2, 4, 6}.

Событие D: «выпало нечетное число». Исходы: {1, 3, 5}.

При одном броске кубика выпавшее число не может быть одновременно и четным, и нечетным. Таким образом, события C и D никогда не могут наступить вместе. Они являются несовместными. Пересечение множеств их исходов является пустым множеством: $C \cap D = \emptyset$.

Таким образом, два случайных события могут наступить одновременно, если они являются совместными, и не могут, если они несовместные.

Ответ: Да, два случайных события могут наступить одновременно, если они являются совместными (например, при броске кубика выпало "четное число" и "число, кратное 3" — это происходит, когда выпадает 6). Если же события несовместные (например, "выпало четное число" и "выпало нечетное число"), то они одновременно наступить не могут.

5 Могут ли в опыте два элементарных события наступить одновременно?

Нет, два элементарных события в одном и том же опыте (испытании) не могут наступить одновременно. Это следует из самого определения элементарного события в теории вероятностей.

Элементарное событие (или исход) — это простейший, неделимый результат случайного эксперимента. В результате каждого отдельного испытания обязательно наступает ровно одно элементарное событие.

Множество всех возможных элементарных событий образует пространство элементарных событий. По определению, элементарные события являются несовместными (взаимоисключающими). Это означает, что наступление одного из них исключает возможность наступления любого другого в том же самом испытании.

Рассмотрим пример: подбрасывание игральной кости.

• Эксперимент: однократное подбрасывание стандартного шестигранного кубика.
• Пространство элементарных событий: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, где каждое число — это элементарное событие (выпадение соответствующего количества очков).

В результате одного броска не может одновременно выпасть, например, и «2», и «5». Наступает только одно из шести возможных элементарных событий.

Таким образом, одновременное наступление двух различных элементарных событий противоречит их фундаментальному свойству — взаимной исключительности.

Ответ: Нет, два элементарных события в одном опыте не могут наступить одновременно, так как они по определению являются несовместными (взаимоисключающими).

260 Бросают одну игральную кость. Запишите событие A перечислением элементарных событий в фигурных скобках, если событие А состоит в том, что:

а) выпадает чётное число очков;

б) выпадает меньше 5 очков;

в) выпадает больше 2 очков;

г) выпадает от 2 до 5 очков.

При броске одной игральной кости пространство элементарных событий (все возможные исходы) — это множество чисел, которые могут выпасть на верхней грани. Обозначим это множество как $ \Omega $.
$ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.

а) выпадет чётное число очков;
Событие А состоит в том, что выпадет чётное число. Из множества всех возможных исходов $ \Omega $ выберем те, которые являются чётными. Это числа 2, 4 и 6.
Следовательно, множество элементарных событий, благоприятствующих событию А, имеет вид: $ A = \{2, 4, 6\} $.
Ответ: $ A = \{2, 4, 6\} $

б) выпадет меньше 5 очков;
Событие А состоит в том, что выпадет число очков, которое строго меньше 5. Из множества $ \Omega $ этому условию удовлетворяют числа 1, 2, 3 и 4.
Следовательно, искомое множество элементарных событий: $ A = \{1, 2, 3, 4\} $.
Ответ: $ A = \{1, 2, 3, 4\} $

в) выпадет больше 2 очков;
Событие А состоит в том, что выпадет число очков, которое строго больше 2. Из множества $ \Omega $ этому условию удовлетворяют числа 3, 4, 5 и 6.
Следовательно, искомое множество элементарных событий: $ A = \{3, 4, 5, 6\} $.
Ответ: $ A = \{3, 4, 5, 6\} $

г) выпадет от 2 до 5 очков.
Событие А состоит в том, что выпадет число очков в диапазоне от 2 до 5 включительно. Это означает, что число выпавших очков $ x $ должно удовлетворять неравенству $ 2 \le x \le 5 $. Из множества $ \Omega $ этому условию удовлетворяют числа 2, 3, 4 и 5.
Следовательно, искомое множество элементарных событий: $ A = \{2, 3, 4, 5\} $.
Ответ: $ A = \{2, 3, 4, 5\} $

261 Монету бросают 2 раза. Опишите словами следующие события:

а) $A = \{ОО, ОР\}$;

б) $B = \{ОР, РО\}$;

в) $C = \{РР, РО, ОР\}$;

г) $D = \{ОО, РР}\}$.

Для решения задачи определим пространство элементарных исходов при двукратном бросании монеты. Будем использовать обозначения: О — выпал «орел», Р — выпала «решка». Первая буква в паре обозначает результат первого броска, вторая — результат второго.

Все возможные исходы:

• ОО — оба раза выпал орел.
• ОР — сначала выпал орел, затем решка.
• РО — сначала выпала решка, затем орел.
• РР — оба раза выпала решка.

Теперь опишем словами каждое из предложенных событий.

а) Событие $A = \{ОО, ОР\}$.

В это множество входят два исхода: «оба раза орел» и «сначала орел, потом решка». Общим для этих двух исходов является то, что при первом броске выпал орел. Результат второго броска может быть любым. Таким образом, событие А заключается в том, что при первом броске выпал орел.

Ответ: При первом броске выпал орел.

б) Событие $B = \{ОР, РО\}$.

Это множество включает исходы, где один раз выпадает орел, а другой — решка. Порядок выпадения не важен. Это означает, что результаты бросков различны. Событие B можно описать как «выпали разные стороны монеты» или, что то же самое, «ровно один раз выпал орел».

Ответ: Ровно один раз выпал орел (или: выпали разные стороны монеты).

в) Событие $C = \{РР, РО, ОР\}$.

В это множество входят все возможные исходы, кроме исхода ОО (оба раза орел). Это означает, что событие C является противоположным событию «оба раза выпал орел». Словесно это можно описать как «выпало меньше двух орлов», или, что более наглядно, «хотя бы один раз выпала решка».

Ответ: Хотя бы один раз выпала решка.

г) Событие $D = \{ОО, РР\}$.

Это множество включает исходы, где результаты обоих бросков одинаковы: либо оба орлы (ОО), либо обе решки (РР). Таким образом, событие D заключается в том, что результаты двух бросков совпали.

Ответ: Результаты обоих бросков совпали (или: выпали одинаковые стороны монеты).

262 Шахматисты Андреев и Борисов играют между собой. Игра может окончиться победой одного из них или вничью. Известно, что Андреев не проиграл Борисову. Какие элементарные события благоприятствуют этому событию?

В шахматной партии между двумя игроками, Андреевым и Борисовым, возможны три различных элементарных исхода (события), которые являются взаимоисключающими:

1. Победа Андреева.
2. Победа Борисова.
3. Ничья.

Нас интересует событие, которое описано в условии как "Андреев не проиграл Борисову". Чтобы определить, какие элементарные события ему благоприятствуют, нужно проанализировать каждый из трех возможных исходов.

- Если исход партии — победа Андреева, то Андреев не проиграл. Следовательно, это элементарное событие благоприятствует указанному событию.
- Если исход партии — ничья, то ни один из игроков не проиграл, в том числе и Андреев. Следовательно, это элементарное событие также благоприятствует указанному событию.
- Если исход партии — победа Борисова, то это означает, что Андреев проиграл. Этот исход не благоприятствует событию "Андреев не проиграл".

Таким образом, из трех возможных элементарных событий два являются благоприятствующими.

Ответ: победа Андреева и ничья.

263 Нарисуйте в тетради таблицу элементарных событий опыта, где игральную кость бросают дважды. Закрасьте в таблице элементарные события, благоприятствующие событию:

а) «выпадут одинаковые числа»;

б) «при каждом броске выпадет число очков, кратное трём»;

в) «сумма очков при первом и втором бросках равна 5»;

г) «произведение выпавших очков равно 10».

Опыт состоит в двукратном бросании игральной кости. Каждое элементарное событие представляет собой упорядоченную пару чисел $(x, y)$, где $x$ — число очков, выпавшее при первом броске, а $y$ — число очков, выпавшее при втором броске. Общее число элементарных событий равно $6 \times 6 = 36$.

Составим таблицу всех элементарных событий (исходов) опыта:

а) «выпадут одинаковые числа»

Этому событию благоприятствуют исходы, у которых число очков при первом и втором бросках совпадает. Такими исходами являются пары $(x, y)$, где $x = y$.

Закрасим (выделим жирным) эти события в таблице:

Ответ: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).

б) «при каждом броске выпадет число очков, кратное трём»

На гранях игральной кости числа, кратные трём, — это 3 и 6. Событию благоприятствуют исходы, где и при первом, и при втором броске выпало одно из этих чисел.

Закрасим (выделим жирным) эти события в таблице:

Ответ: (3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6).

в) «сумма очков при первом и втором бросках равна 5»

Этому событию благоприятствуют исходы $(x, y)$, для которых выполняется условие $x + y = 5$. Найдем такие пары: $1+4=5$, $2+3=5$, $3+2=5$, $4+1=5$.

Закрасим (выделим жирным) эти события в таблице:

Ответ: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1).

г) «произведение выпавших очков равно 10»

Этому событию благоприятствуют исходы $(x, y)$, для которых выполняется условие $x \times y = 10$. Поскольку $x$ и $y$ могут принимать значения только от 1 до 6, возможные пары множителей для числа 10 это $2 \times 5 = 10$ и $5 \times 2 = 10$.

Закрасим (выделим жирным) эти события в таблице:

Ответ: (2, 5), (5, 2).

264 Пользуясь таблицей элементарных событий опыта с двумя бросками игральной кости, укажите элементарные события, которые благоприятствуют событию:

а) «сумма очков равна 7»;

б) «при втором броске выпадает больше очков, чем при первом»;

в) «сумма очков не меньше 6».

а) «сумма очков равна 7»

Элементарное событие (исход) при двух бросках игральной кости можно представить в виде упорядоченной пары чисел $(x, y)$, где $x$ — количество очков при первом броске, а $y$ — при втором. Нам нужно найти все пары, для которых выполняется условие $x + y = 7$.

Перечислим все подходящие пары, последовательно перебирая значение первого броска $x$ от $1$ до $6$:

• Если $x=1$, то $y = 7-1=6$. Получаем пару $(1, 6)$.
• Если $x=2$, то $y = 7-2=5$. Получаем пару $(2, 5)$.
• Если $x=3$, то $y = 7-3=4$. Получаем пару $(3, 4)$.
• Если $x=4$, то $y = 7-4=3$. Получаем пару $(4, 3)$.
• Если $x=5$, то $y = 7-5=2$. Получаем пару $(5, 2)$.
• Если $x=6$, то $y = 7-6=1$. Получаем пару $(6, 1)$.

Ответ: $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$, $(6, 1)$.

б) «при втором броске выпадет больше очков, чем при первом»

Этому событию благоприятствуют элементарные события $(x, y)$, для которых выполняется неравенство $y > x$.

Переберём все возможные значения для первого броска $x$ и найдём для каждого соответствующие значения $y$:

• Если $x=1$, то $y$ может быть $2, 3, 4, 5, 6$. Пары: $(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$.
• Если $x=2$, то $y$ может быть $3, 4, 5, 6$. Пары: $(2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)$.
• Если $x=3$, то $y$ может быть $4, 5, 6$. Пары: $(3, 4), (3, 5), (3, 6)$.
• Если $x=4$, то $y$ может быть $5, 6$. Пары: $(4, 5), (4, 6)$.
• Если $x=5$, то $y$ может быть только $6$. Пара: $(5, 6)$.
• Если $x=6$, то нет значений $y$, которые были бы больше $6$.

Ответ: $(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)$.

в) «сумма очков не меньше 6»

Данному событию благоприятствуют элементарные события $(x, y)$, для которых выполняется неравенство $x + y \ge 6$. Это означает, что сумма очков может быть равна $6, 7, 8, 9, 10, 11$ или $12$.

Перечислим все подходящие пары, сгруппировав их по сумме:

• Сумма равна 6: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$.
• Сумма равна 7: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$.
• Сумма равна 8: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$.
• Сумма равна 9: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$.
• Сумма равна 10: $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$.
• Сумма равна 11: $(5, 6), (6, 5)$.
• Сумма равна 12: $(6, 6)$.

Ответ: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)$.

265 Биатлонист делает по одному выстрелу в каждую из пяти мишеней. Что является элементарным событием в этом опыте? Сколько элементарных событий благоприятствует событию:

а) «биатлонист попадёт ровно в четыре мишени»?

б) «биатлонист попадёт ровно в одну мишень»?

Элементарным событием в этом опыте является конкретный исход для всех пяти выстрелов. Поскольку для каждого выстрела есть два возможных результата — попадание (П) или промах (Н), элементарное событие представляет собой упорядоченную последовательность из пяти таких результатов.
Например, последовательность (П, Н, П, П, Н) является одним из элементарных событий. Она означает, что биатлонист попал в первую, третью и четвертую мишени, а во вторую и пятую промахнулся.

а) «биатлонист попадёт ровно в четыре мишени»
Это событие означает, что в последовательности из пяти выстрелов будет ровно четыре попадания (П) и один промах (Н). Нам нужно найти количество таких последовательностей. По сути, это задача на выбор одной мишени из пяти, в которую биатлонист промахнется.
Возможные варианты (где Н - промах, П - попадание):

• НПППП (промах по первой мишени)
• ПНППП (промах по второй мишени)
• ППНПП (промах по третьей мишени)
• ПППНП (промах по четвертой мишени)
• ППППН (промах по пятой мишени)

Всего существует 5 таких комбинаций. Это число можно также найти с помощью формулы числа сочетаний, выбрав 1 позицию для промаха из 5:
$C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = 5$
Таким образом, 5 элементарных событий благоприятствуют этому событию.
Ответ: 5

б) «биатлонист попадёт ровно в одну мишень»
Это событие означает, что в последовательности из пяти выстрелов будет ровно одно попадание (П) и четыре промаха (Н). Нам нужно найти количество таких последовательностей. Это задача на выбор одной мишени из пяти, в которую биатлонист попадет.
Возможные варианты:

• ПНННН (попадание по первой мишени)
• НПННН (попадание по второй мишени)
• ННПНН (попадание по третьей мишени)
• НННПН (попадание по четвертой мишени)
• ННННП (попадание по пятой мишени)

Всего существует 5 таких комбинаций. Это число можно также найти с помощью формулы числа сочетаний, выбрав 1 позицию для попадания из 5:
$C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = 5$
Таким образом, 5 элементарных событий благоприятствуют этому событию.
Ответ: 5