Страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

241 Команда «Математик» проводит встречу из нескольких матчей по волейболу с командой «Физик». Ничья невозможна. Встреча проводится до двух побед одной из команд. Победу «Математика» обозначим буквой $M$, а победу «Физика» — буквой $\Phi$. Одним из элементарных событий является $MM$.

а) Запишите все возможные элементарные события.

$MM$, $\Phi\Phi$, $M\Phi M$, $\Phi M\Phi$.

б) Запишите все элементарные события, при которых встречу выигрывает команда «Физик».

$\Phi\Phi$, $\Phi M\Phi$.

в) Предположим, что во встрече победила команда «Математик». Какой буквой оканчивается запись соответствующих элементарных событий?

$M$.

г) Какое наибольшее количество матчей может состояться?

3.

а) Запишите все возможные элементарные события.
Встреча проводится до двух побед одной из команд. Это означает, что серия игр останавливается, как только одна из команд набирает 2 победы. Рассмотрим все сценарии:
1. Встреча длится 2 матча. Это возможно, если одна команда выигрывает оба первых матча.

• Команда «Математик» побеждает: ММ.
• Команда «Физик» побеждает: ФФ.

2. Встреча длится 3 матча. Это происходит, если после двух матчей счет равный, 1-1. Тогда третий матч становится решающим.

• Сначала побеждает «Математик», затем «Физик». В третьем матче может победить «Математик» (исход МФМ) или «Физик» (исход МФФ).
• Сначала побеждает «Физик», затем «Математик». В третьем матче может победить «Математик» (исход ФММ) или «Физик» (исход ФМФ).

Таким образом, мы перечислили все возможные исходы, при которых встреча завершается.
Ответ: ММ, ФФ, МФМ, МФФ, ФММ, ФМФ.

б) Запишите все элементарные события, при которых встречу выигрывает команда «Физик».
Команда «Физик» выигрывает встречу, если она первой одерживает две победы. Из списка всех элементарных событий, полученного в пункте а), выберем те, в которых команда «Физик» побеждает (то есть буква Ф встречается дважды, и вторая Ф является последним символом в последовательности):

• ФФ: «Физик» выигрывает два матча подряд.
• МФФ: «Физик» выигрывает второй и третий матчи, завершая встречу.
• ФМФ: «Физик» выигрывает первый и третий матчи, завершая встречу.

Ответ: ФФ, МФФ, ФМФ.

в) Предположим, что во встрече победила команда «Математик». Какой буквой оканчивается запись соответствующих элементарных событий?
Если встречу выигрывает команда «Математик», это означает, что именно ее вторая победа завершает серию матчей. Найдем все такие элементарные события из списка в пункте а):

• ММ
• МФМ
• ФММ

Во всех этих случаях последней буквой в записи является М, так как последний сыгранный матч — это победный матч для команды «Математик».
Ответ: Буквой М.

г) Какое наибольшее количество матчей может состояться?
Встреча заканчивается, как только одна из команд набирает две победы.

• Минимальное количество матчей — 2. Это происходит при счете 2-0 (исходы ММ или ФФ).
• Максимальное количество матчей играется тогда, когда победитель не определен после двух игр. Это возможно только при счете 1-1 (исходы МФ или ФМ). В этом случае для выявления победителя необходим третий матч. После третьего матча счет неизбежно станет либо 2-1, либо 1-2, и встреча завершится.

Таким образом, более трех матчей сыграно быть не может.
Ответ: 3.

242 В ящике три детали: две исправные детали $a$ и $b$ и одна бракованная деталь $c$. Из ящика наугад извлекают по одной детали, пока не обнаружат бракованную. Элементарные события этого опыта будем записывать в виде последовательности букв. Например, $abc, ac$ и т. д.

а) Является ли последовательность $cab$ элементарным событием в этом опыте?

б) Какими буквами может заканчиваться запись элементарного события?

в) Выпишите все элементарные события этого опыта.

а) По условию задачи, опыт прекращается, как только извлекают бракованную деталь, то есть деталь $c$. Последовательность $cab$ означает, что первой была извлечена деталь $c$. В этот момент, согласно правилам, эксперимент должен был завершиться. Результатом такого события была бы последовательность $c$. Продолжение извлечения деталей $a$ и $b$ противоречит условию. Следовательно, последовательность $cab$ не может быть элементарным событием этого опыта.
Ответ: Нет, не является.

б) Эксперимент останавливается в момент обнаружения бракованной детали. Это означает, что последняя деталь в любой последовательности, являющейся элементарным событием, обязательно должна быть бракованной деталью $c$. Если бы последней была исправная деталь ($a$ или $b$), это означало бы, что бракованная деталь $c$ была извлечена ранее, и опыт должен был закончиться на ней. Таким образом, любая запись элементарного события заканчивается буквой $c$.
Ответ: Только буквой $c$.

в) Чтобы выписать все элементарные события, рассмотрим все возможные сценарии извлечения деталей до обнаружения бракованной:
1. Бракованная деталь $c$ извлекается первой. Опыт на этом заканчивается. Элементарное событие: $c$.
2. Первой извлекается исправная деталь, а второй — бракованная.
- Сначала извлекли $a$, затем $c$. Событие: $ac$.
- Сначала извлекли $b$, затем $c$. Событие: $bc$.
3. Первые две извлеченные детали — исправные, а третья — бракованная (она последняя в ящике).
- Сначала извлекли $a$, потом $b$, затем $c$. Событие: $abc$.
- Сначала извлекли $b$, потом $a$, затем $c$. Событие: $bac$.
Других вариантов нет, так как все детали закончились.
Ответ: $c, ac, bc, abc, bac$.

243 Игральную кость подбрасывают трижды. Сколько элементарных событий в этом эксперименте?

В данном эксперименте элементарным событием является упорядоченная последовательность из трех чисел, где каждое число — это результат, выпавший на игральной кости при одном из трех бросков.

Стандартная игральная кость имеет 6 граней, пронумерованных от 1 до 6. Следовательно, при каждом отдельном броске возможно 6 различных исходов.

Поскольку кость подбрасывается трижды, и результаты каждого броска не зависят от предыдущих, мы можем применить комбинаторное правило умножения для нахождения общего числа элементарных событий.

Количество возможных исходов для первого броска равно 6.
Для каждого из этих исходов существует 6 возможных исходов для второго броска.
И для каждой из полученных пар исходов существует 6 возможных исходов для третьего броска.

Таким образом, общее количество элементарных событий ($N$) вычисляется как произведение количества исходов для каждого из трех бросков:
$N = 6 \times 6 \times 6 = 6^3$

Вычислим значение этого выражения:
$6^3 = 216$

Следовательно, в этом эксперименте существует 216 элементарных событий.

Ответ: 216

244 Игральную кость подбрасывают трижды. Найдите количество элементарных событий, при которых в сумме выпадет:

а) 3 очка;

б) 4 очка;

в) 2 очка.

При каждом броске игральной кости может выпасть число от 1 до 6. Так как кость подбрасывают трижды, каждое элементарное событие — это упорядоченная тройка чисел $(x_1, x_2, x_3)$, где $x_1, x_2, x_3$ — результаты первого, второго и третьего бросков соответственно. Найдем количество таких троек для каждой заданной суммы.

а) 3 очка

Нам нужно найти количество комбинаций, для которых сумма очков на трех костях равна 3. То есть, $x_1 + x_2 + x_3 = 3$, при этом значение на каждой кости $x_i \ge 1$.
Поскольку минимальное значение на каждой кости равно 1, наименьшая возможная сумма трех бросков составляет $1 + 1 + 1 = 3$.
Это означает, что существует только одна комбинация, дающая в сумме 3 очка: когда при каждом из трех бросков выпадает 1.
Элементарное событие: (1, 1, 1).
Количество таких событий — 1.
Ответ: 1.

б) 4 очка

Нам нужно найти количество комбинаций, для которых сумма очков равна 4: $x_1 + x_2 + x_3 = 4$, при $x_i \ge 1$.
Чтобы получить 4 в сумме, числа на костях должны быть {2, 1, 1}. Других наборов натуральных чисел, дающих в сумме 4, не существует.
Теперь необходимо учесть порядок выпадения этих чисел, так как (2, 1, 1) и (1, 2, 1) — это разные элементарные события. Двойка может выпасть при первом, втором или третьем броске. Таким образом, получаем следующие комбинации:
1. (2, 1, 1)
2. (1, 2, 1)
3. (1, 1, 2)
Всего существует 3 таких события. Это можно также рассчитать по формуле перестановок с повторениями: $\frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: 3.

в) 2 очка

Нам нужно найти количество комбинаций, для которых сумма очков равна 2: $x_1 + x_2 + x_3 = 2$, при $x_i \ge 1$.
Как мы уже определили, минимально возможная сумма очков при трех бросках игральной кости составляет $1 + 1 + 1 = 3$.
Получить в сумме 2 очка невозможно, так как это значение меньше минимально возможной суммы.
Следовательно, количество таких элементарных событий равно 0.
Ответ: 0.

245 Игральную кость подбрасывают трижды. Найдите количество элементарных событий, при которых в сумме выпадает более:

а) $17$ очков;

б) $16$ очков;

в) $15$ очков.

а) 17 очков
Найдём количество элементарных событий, при которых сумма очков, выпавших при трёх бросках игральной кости, больше 17. Пусть $S$ — сумма очков. Условие можно записать как $S > 17$.
Максимально возможная сумма очков при трёх бросках — это $6+6+6=18$.
Следовательно, единственное значение суммы, которое удовлетворяет условию $S > 17$, — это $S=18$.
Сумму 18 можно получить только одним способом: когда на всех трёх костях выпадает 6 очков. Этот исход записывается как упорядоченная тройка (6, 6, 6).
Таким образом, существует только одно такое элементарное событие.
Ответ: 1

б) 16 очков
Найдём количество элементарных событий, при которых сумма очков больше 16, то есть $S > 16$. Это означает, что сумма может быть равна 17 или 18.
1. Случаи, когда сумма равна 18 ($S=18$): как было выяснено в предыдущем пункте, такой исход только один — (6, 6, 6).
2. Случаи, когда сумма равна 17 ($S=17$): нам нужно найти все тройки $(x_1, x_2, x_3)$ такие, что $x_1+x_2+x_3=17$ и $1 \le x_i \le 6$. Единственный набор чисел (без учёта порядка), который даёт в сумме 17, — это {6, 6, 5}. Перечислим все возможные упорядоченные тройки, которые можно составить из этих чисел: (6, 6, 5), (6, 5, 6) и (5, 6, 6). Всего 3 исхода.
Общее количество событий, при которых сумма очков больше 16, равно сумме количеств событий для $S=17$ и $S=18$: $3 + 1 = 4$.
Ответ: 4

в) 15 очков
Найдём количество элементарных событий, при которых сумма очков больше 15, то есть $S > 15$. Это означает, что сумма может быть равна 16, 17 или 18.
Количество событий, при которых сумма больше 16 (т.е. равна 17 или 18), уже найдено в пункте б) и составляет 4.
Теперь найдём количество событий, при которых сумма равна 16 ($S=16$). Для этого определим все наборы чисел, дающие в сумме 16:
- Набор {6, 6, 4}: $6+6+4=16$. Возможные исходы (перестановки): (6, 6, 4), (6, 4, 6), (4, 6, 6). Всего 3 исхода.
- Набор {6, 5, 5}: $6+5+5=16$. Возможные исходы (перестановки): (6, 5, 5), (5, 6, 5), (5, 5, 6). Всего 3 исхода.
Других наборов из чисел от 1 до 6, дающих в сумме 16, нет. Таким образом, общее количество исходов с суммой 16 равно $3 + 3 = 6$.
Итоговое количество событий, при которых сумма больше 15, равно сумме количеств событий для $S=16$, $S=17$ и $S=18$: $6 + 4 = 10$.
Ответ: 10