Страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

247 Автомобиль подъезжает к перекрёстку (рис. 62).

Определим возможные элементарные события:

«автомобиль повернёт направо»,

«автомобиль повернёт налево»,

«автомобиль поедет прямо»,

«автомобиль развернётся и поедет обратно».

Можно ли считать эти элементарные события равновозможными? Объясните свой ответ.

Указание. Подумайте, так ли часто автомобили разворачиваются и едут обратно. Какие события будут случаться чаще, если автомобиль подъезжает к улице с более оживлённым движением?

Рисунок 62

Нет, эти элементарные события нельзя считать равновозможными.

Объясните свой ответ.

Равновозможными событиями называют такие, у которых шансы наступить абсолютно одинаковы. В случае с автомобилем на перекрёстке это не так. Выбор направления движения водителем зависит от множества факторов, которые делают вероятности этих событий различными.

1. Маршрут водителя. У водителя есть конкретная цель поездки, и его маршрут, скорее всего, предполагает одно определённое действие на этом перекрёстке (например, ехать прямо). Остальные варианты он будет рассматривать, только если ошибся дорогой или изменил планы.

2. Редкость разворота. Событие «автомобиль развернётся и поедет обратно» является наименее вероятным. Такой манёвр на перекрёстке выполняется очень редко и часто запрещён правилами дорожного движения. Его вероятность близка к нулю по сравнению с другими вариантами.

3. Интенсивность движения и тип дороги. Вероятности поворотов и движения прямо также обычно не равны. Если автомобиль движется по главной, оживлённой улице, а пересекает её второстепенная, то наиболее вероятно, что автомобиль продолжит движение прямо. И наоборот, если автомобиль подъезжает по второстепенной дороге к главной, то чаще он будет поворачивать направо или налево, чтобы влиться в основной поток.

Таким образом, у каждого из четырёх рассматриваемых событий своя, отличная от других, вероятность. Обозначим события: $A$ – поворот направо, $B$ – поворот налево, $C$ – движение прямо, $D$ – разворот. В общем случае их вероятности не равны: $P(A) \neq P(B) \neq P(C) \neq P(D)$.

Ответ: Нет, эти элементарные события нельзя считать равновозможными, так как их вероятности сильно различаются в зависимости от маршрута водителя, правил дорожного движения на конкретном перекрёстке и интенсивности движения на пересекающихся дорогах. Событие «развернётся и поедет обратно» почти всегда является наименее вероятным.

248 Команда высшей лиги, встречаясь в матче по футболу с командой первой лиги, может либо победить или проиграть, либо встреча закончится вничью. Равновозможны ли эти элементарные события? Обоснуйте своё мнение.

Рассматриваемые элементарные события – это три возможных исхода футбольного матча для команды высшей лиги: победа, поражение и ничья.

События называются равновозможными, если у них одинаковые шансы на наступление, то есть их вероятности равны. Если бы эти три исхода были равновозможными, то вероятность каждого из них (вероятность победы $P_{победа}$, вероятность поражения $P_{поражение}$ и вероятность ничьей $P_{ничья}$) была бы равна $1/3$.

Однако в условии задачи говорится о встрече команд разного уровня: из высшей и первой лиг. Команды, выступающие в высшей лиге, как правило, значительно сильнее команд из первой лиги. Это обусловлено лучшим подбором игроков, более высоким уровнем финансирования и качеством тренировочного процесса.

Из-за этой разницы в классе команд, вероятность победы команды высшей лиги выше, чем вероятность ее поражения. Вероятность ничьей также, скорее всего, будет отличаться от вероятностей победы и поражения. Таким образом, можно утверждать, что $P_{победа} > P_{поражение}$. Поскольку вероятности как минимум двух элементарных событий не равны, то все три события не являются равновозможными.

Ответ: Нет, эти элементарные события не являются равновозможными. Команда высшей лиги, как правило, сильнее команды первой лиги, поэтому вероятность ее победы выше, чем вероятность поражения. Равновозможными события могли бы считаться (с определенной долей условности) при встрече команд примерно равной силы.

249 Случайный опыт может закончиться одним из трёх элементарных событий: a, b или c. Чему равна вероятность элементарного события c, если:

а) $P(a) = 0,4; P(b) = 0,2;$

б) $P(a) = \frac{1}{2}; P(b) = \frac{1}{3};$

в) $P(a) = 0,1; P(b) = 0,01;$

г)* $P(a) = p; P(b) = 0,8 - p?$ Какие значения может принимать $p? $

а) По основному свойству вероятностей элементарных событий, сумма их вероятностей равна 1. Для данного опыта это означает: $P(a) + P(b) + P(c) = 1$.
Чтобы найти вероятность события $c$, выразим её из этого равенства: $P(c) = 1 - P(a) - P(b)$.
Подставим известные значения: $P(c) = 1 - 0,4 - 0,2 = 0,4$.
Ответ: $P(c) = 0,4$.

б) Используем ту же формулу: $P(c) = 1 - P(a) - P(b)$.
Подставим значения $P(a) = \frac{1}{2}$ и $P(b) = \frac{1}{3}$.
$P(c) = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$P(c) = \frac{6}{6} - \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{6 - 3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $P(c) = \frac{1}{6}$.

в) Используем формулу $P(c) = 1 - P(a) - P(b)$.
Подставим известные значения: $P(c) = 1 - 0,1 - 0,01 = 0,89$.
Ответ: $P(c) = 0,89$.

г)* Сначала найдем вероятность события $c$ в зависимости от $p$:
$P(c) = 1 - P(a) - P(b) = 1 - p - (0,8 - p) = 1 - p - 0,8 + p = 0,2$.
Вероятность события $c$ является постоянной величиной и равна $0,2$.
Теперь найдем, какие значения может принимать $p$. Вероятность любого события не может быть отрицательной и не может быть больше 1. Поэтому должны выполняться следующие условия:
1) $P(a) \ge 0 \implies p \ge 0$
2) $P(b) \ge 0 \implies 0,8 - p \ge 0 \implies p \le 0,8$
3) $P(a) \le 1 \implies p \le 1$
4) $P(b) \le 1 \implies 0,8 - p \le 1 \implies -p \le 0,2 \implies p \ge -0,2$
Объединяя все условия ($p \ge 0$, $p \le 0,8$, $p \le 1$, $p \ge -0,2$), получаем, что $p$ должен находиться в интервале $[0; 0,8]$.
Ответ: $P(c) = 0,2$; $p$ может принимать значения от 0 до 0,8 включительно, то есть $0 \le p \le 0,8$.

250 Игральная кость несимметрична. В таблице 49 показаны вероятности выпадения на этой кости 1, 2, 3, 5 или 6 очков. Найдите вероятность выпадения 4 очков.

Таблица 49. Вероятности выпадения граней

Число очков: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Вероятность: $1/4$, $1/12$, $1/6$, ?, $1/12$, $1/4$

События, заключающиеся в выпадении 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игральной кости, являются несовместными и образуют полную группу событий. Это означает, что в результате одного броска обязательно произойдет одно из этих событий. Согласно основному свойству теории вероятностей, сумма вероятностей всех возможных исходов равна единице.

Пусть $P(n)$ — это вероятность выпадения $n$ очков. Тогда мы можем записать следующее равенство:

$P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1$

Из таблицы нам известны вероятности выпадения 1, 2, 3, 5 и 6 очков. Подставим эти значения в формулу:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + P(4) + \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = 1$

Чтобы найти неизвестную вероятность $P(4)$, сначала сложим все известные вероятности. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4, 12 и 6 это 12.

$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$

$\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$

Теперь просуммируем вероятности:

$\frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{3+1+2+1+3}{12} = \frac{10}{12}$

Подставим полученную сумму обратно в уравнение:

$\frac{10}{12} + P(4) = 1$

Теперь выразим $P(4)$:

$P(4) = 1 - \frac{10}{12}$

Представим 1 в виде дроби $\frac{12}{12}$:

$P(4) = \frac{12}{12} - \frac{10}{12} = \frac{2}{12}$

Сократим полученную дробь:

$P(4) = \frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6}$

Таким образом, вероятность выпадения 4 очков равна $\frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

251 В некотором случайном эксперименте все элементарные события равновозможны. Найдите вероятность каждого элементарного события, если всего в этом эксперименте количество элементарных событий равно:

а) 25;

б) 17;

в) 100.

По условию задачи, все элементарные события в случайном эксперименте равновозможны. Это означает, что вероятность каждого из них одинакова. Если общее число элементарных событий равно $N$, а сумма вероятностей всех элементарных событий должна быть равна 1, то вероятность $p$ каждого отдельного элементарного события вычисляется по формуле:

$p = \frac{1}{N}$

Применим эту формулу для каждого случая.

а)

В этом случае общее количество элементарных событий $N = 25$.Вероятность каждого элементарного события равна:

$p = \frac{1}{25} = 0,04$

Ответ: $\frac{1}{25}$.

б)

В этом случае общее количество элементарных событий $N = 17$.Вероятность каждого элементарного события равна:

$p = \frac{1}{17}$

Ответ: $\frac{1}{17}$.

в)

В этом случае общее количество элементарных событий $N = 100$.Вероятность каждого элементарного события равна:

$p = \frac{1}{100} = 0,01$

Ответ: $\frac{1}{100}$.

252 Все элементарные события случайного опыта равновозможны. Сколько элементарных событий в этом опыте, если вероятность каждого равна:

a) $\frac{1}{3}$;

б) $0,1$;

в) $0,125$;

г) $\frac{1}{k}$?

Пусть $N$ — общее количество элементарных событий в случайном опыте. По условию, все элементарные события равновозможны, и вероятность каждого из них равна $p$. Сумма вероятностей всех элементарных событий должна быть равна 1. Это можно выразить формулой:
$N \cdot p = 1$
Отсюда мы можем найти количество элементарных событий $N$, зная вероятность $p$:
$N = \frac{1}{p}$

а)
Если вероятность каждого события $p = \frac{1}{3}$, то общее количество элементарных событий $N$ равно:
$N = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$.
Ответ: 3.

б)
Если вероятность каждого события $p = 0,1$, сначала представим это значение в виде обыкновенной дроби: $p = 0,1 = \frac{1}{10}$.
Тогда общее количество элементарных событий $N$ равно:
$N = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10$.
Ответ: 10.

в)
Если вероятность каждого события $p = 0,125$, представим это значение в виде обыкновенной дроби: $p = 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Тогда общее количество элементарных событий $N$ равно:
$N = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$.
Ответ: 8.

г)
Если вероятность каждого события $p = \frac{1}{k}$, то общее количество элементарных событий $N$ равно:
$N = \frac{1}{\frac{1}{k}} = k$.
(При этом $k$ должно быть натуральным числом, так как количество событий является целым положительным числом).
Ответ: k.

253 В каждом из двух случайных опытов все элементарные события равновозможны. В каком из этих опытов вероятность элементарного события больше, если:

а) в первом опыте элементарных событий больше, чем во втором;

б) в первом опыте элементарных событий меньше, чем во втором;

в) в этих опытах элементарных событий поровну?

Для решения задачи воспользуемся определением вероятности для опытов с равновозможными элементарными событиями. Если общее число таких событий равно $N$, то вероятность каждого элементарного события $p$ вычисляется по формуле $p = 1/N$. Из этой формулы следует, что чем больше число элементарных событий, тем меньше вероятность каждого из них.

Обозначим число элементарных событий в первом опыте как $n_1$, а во втором — как $n_2$. Тогда вероятности элементарного события для этих опытов будут $p_1 = 1/n_1$ и $p_2 = 1/n_2$ соответственно.

а) По условию, в первом опыте элементарных событий больше, чем во втором. Математически это записывается как $n_1 > n_2$. При сравнении дробей $p_1 = 1/n_1$ и $p_2 = 1/n_2$ с одинаковыми числителями большей будет та, у которой знаменатель меньше. Так как $n_1 > n_2$, то $1/n_1 < 1/n_2$, а значит $p_1 < p_2$. Таким образом, вероятность элементарного события больше во втором опыте.
Ответ: во втором опыте.

б) По условию, в первом опыте элементарных событий меньше, чем во втором. Это означает, что $n_1 < n_2$. В этом случае знаменатель $n_1$ меньше знаменателя $n_2$, поэтому дробь $1/n_1$ будет больше дроби $1/n_2$. Следовательно, $p_1 > p_2$. Таким образом, вероятность элементарного события больше в первом опыте.
Ответ: в первом опыте.

в) По условию, в этих опытах элементарных событий поровну. Это означает, что $n_1 = n_2$. В таком случае знаменатели в формулах для вероятностей $p_1 = 1/n_1$ и $p_2 = 1/n_2$ равны, а значит, и сами вероятности равны: $p_1 = p_2$.
Ответ: вероятности в этих опытах равны.