Номер 295, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

295 Одно время на улицах и вокзалах профессиональные игроки предлагали прохожим испытать удачу в простой игре. Зажав в кулаке обычный носовой платок так, что наружу высовывались только четыре уголка, игрок предлагал прохожему взять два любых конца и потянуть за них. Если прохожий вытаскивал два соседних уголка, то он проигрывал. Если прохожий вытаскивал два противоположных уголка, то он выигрывал. Найдите вероятность выигрыша прохожего.

Рисунок 67

Для решения этой задачи необходимо определить общее количество возможных исходов и количество благоприятных исходов, а затем найти их отношение. Это соответствует классическому определению вероятности.

1. Найдем общее число исходов.

У носового платка 4 уголка. Прохожий выбирает 2 из них. Порядок, в котором он выбирает уголки, не важен. Следовательно, нам нужно найти число сочетаний из 4 элементов по 2. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (всего уголков) и $k=2$ (выбираемые уголки). Подставим значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Таким образом, существует 6 различных пар уголков, которые можно выбрать. Это общее число всех возможных исходов.

Перечислим все возможные пары, пронумеровав уголки по часовой стрелке от 1 до 4: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4).

2. Найдем число благоприятных исходов.

Выигрыш наступает, если прохожий вытаскивает два противоположных уголка. У квадратного платка есть две пары противоположных углов.

Используя нашу нумерацию, противоположными будут пары (1,3) и (2,4). Следовательно, число благоприятных (выигрышных) исходов равно 2.

3. Найдем вероятность выигрыша.

Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $n$:

$P = \frac{m}{n}$

В нашем случае $m=2$ и $n=6$.

$P(\text{выигрыш}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.