Страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

2 Чему равна сумма всех отклонений чисел набора от их среднего арифметического?

Сумма всех отклонений чисел в любом наборе от их среднего арифметического всегда равна нулю. Это одно из фундаментальных свойств среднего арифметического. Докажем это утверждение в общем виде.

Пусть имеется некоторый набор из $n$ чисел: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

1. Определение среднего арифметического

Среднее арифметическое этого набора, которое мы обозначим как $\bar{x}$, вычисляется как сумма всех чисел, деленная на их количество:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

2. Определение отклонения от среднего

Отклонение каждого отдельного числа $x_i$ от среднего арифметического $\bar{x}$ — это разность $(x_i - \bar{x})$.

3. Расчет суммы всех отклонений

Задача состоит в том, чтобы найти сумму отклонений для всех чисел набора. Обозначим эту сумму буквой $S$:

$S = (x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + \dots + (x_n - \bar{x})$

Используя знак суммирования, это можно записать более компактно:

$S = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})$

Используя свойства суммирования, мы можем преобразовать это выражение:

$S = \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \bar{x}$

Первая часть, $\sum_{i=1}^{n} x_i$, — это просто сумма всех чисел в наборе. Вторая часть, $\sum_{i=1}^{n} \bar{x}$, — это сумма среднего значения $\bar{x}$, повторенного $n$ раз, что равно $n \cdot \bar{x}$.

Таким образом, наша формула принимает вид:

$S = \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right) - n \cdot \bar{x}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для $\bar{x}$ из шага 1:

$S = \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right) - n \cdot \left(\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\right)$

Сокращаем $n$ в знаменателе и множитель $n$ перед дробью:

$S = \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right) - \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)$

В результате получаем:

$S = 0$

Это доказывает, что для любого набора чисел сумма отклонений от их среднего арифметического всегда равна нулю.

Пример на конкретных числах:

Рассмотрим набор чисел: {4, 5, 9}.

1. Найдем среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{4 + 5 + 9}{3} = \frac{18}{3} = 6$.

2. Найдем отклонения каждого числа от среднего:

• Отклонение для 4: $4 - 6 = -2$
• Отклонение для 5: $5 - 6 = -1$
• Отклонение для 9: $9 - 6 = 3$

3. Сложим все отклонения:

$S = (-2) + (-1) + 3 = -3 + 3 = 0$.

Пример подтверждает теоретический вывод.

Ответ: 0

3 Чему равно среднее арифметическое всех отклонений от среднего арифметического в наборе?

Чтобы найти среднее арифметическое всех отклонений от среднего арифметического в наборе, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить, что такое среднее арифметическое и отклонение от него.
Пусть у нас есть набор чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$, состоящий из $n$ элементов.
Среднее арифметическое этого набора ($\bar{x}$) вычисляется по формуле:
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Отклонение каждого элемента $x_i$ от среднего арифметического — это разность $d_i = x_i - \bar{x}$.

2. Найти сумму всех отклонений.
Сумма всех отклонений от среднего арифметического равна:
$\sum_{i=1}^{n} d_i = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})$
Используя свойства суммы, мы можем переписать это выражение:
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = (x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + \ldots + (x_n - \bar{x})$
Сгруппируем члены:
$(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) - (\underbrace{\bar{x} + \bar{x} + \ldots + \bar{x}}_{n \text{ раз}}) = (\sum_{i=1}^{n} x_i) - n \cdot \bar{x}$
Из определения среднего арифметического мы знаем, что $\sum_{i=1}^{n} x_i = n \cdot \bar{x}$.
Подставим это в наше выражение:
$n \cdot \bar{x} - n \cdot \bar{x} = 0$
Таким образом, сумма всех отклонений от среднего арифметического всегда равна нулю.

3. Найти среднее арифметическое всех отклонений.
Среднее арифметическое отклонений — это их сумма, деленная на их количество ($n$):
$\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})}{n} = \frac{0}{n} = 0$

Пример:
Рассмотрим набор чисел: {3, 5, 8, 12}.
1. Найдем среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{3 + 5 + 8 + 12}{4} = \frac{28}{4} = 7$.
2. Найдем отклонения от среднего для каждого числа:

• $3 - 7 = -4$
• $5 - 7 = -2$
• $8 - 7 = 1$
• $12 - 7 = 5$

3. Найдем среднее арифметическое этих отклонений:
$\frac{(-4) + (-2) + 1 + 5}{4} = \frac{0}{4} = 0$.

Это фундаментальное свойство среднего арифметического: оно является "центром масс" набора данных, поэтому сумма положительных и отрицательных отклонений от него всегда уравновешивает друг друга и в сумме дает ноль. Соответственно, и среднее этих отклонений будет равно нулю.

Ответ: 0

4 Что такое абсолютное отклонение?

Абсолютное отклонение — это мера разброса или вариативности данных, которая показывает, насколько отдельное значение в наборе данных отличается от центрального значения этого набора (чаще всего от среднего арифметического или медианы). Важной особенностью является то, что это отклонение всегда является неотрицательным числом, так как оно вычисляется по модулю (абсолютной величине).

Определение и формула

Абсолютное отклонение для одного элемента выборки ($x_i$) от среднего значения ($\bar{x}$) вычисляется как модуль их разности.

Формула абсолютного отклонения для одного элемента:

$d_i = |x_i - \bar{x}|$

где:

• $d_i$ — абсолютное отклонение i-го элемента.
• $x_i$ — i-й элемент набора данных.
• $\bar{x}$ — мера центральной тенденции (как правило, среднее арифметическое).

Часто на практике используют среднее абсолютное отклонение (Mean Absolute Deviation, MAD), которое представляет собой среднее арифметическое всех абсолютных отклонений в наборе данных. Оно дает общую оценку разброса данных.

Формула среднего абсолютного отклонения:

$MAD = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| = \frac{|x_1 - \bar{x}| + |x_2 - \bar{x}| + \dots + |x_n - \bar{x}|}{n}$

где $n$ — количество элементов в наборе данных.

Ответ: Абсолютное отклонение — это модуль разности между конкретным значением в выборке и центральным значением (например, средним арифметическим), вычисляемый по формуле $d_i = |x_i - \bar{x}|$.

Пример расчета

Рассмотрим набор данных: {3, 5, 6, 6, 9}.

1. Найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{3 + 5 + 6 + 6 + 9}{5} = \frac{29}{5} = 5.8$

2. Вычислим абсолютное отклонение для каждого элемента:

• Для 3: $|3 - 5.8| = |-2.8| = 2.8$
• Для 5: $|5 - 5.8| = |-0.8| = 0.8$
• Для 6: $|6 - 5.8| = |0.2| = 0.2$
• Для 6: $|6 - 5.8| = |0.2| = 0.2$
• Для 9: $|9 - 5.8| = |3.2| = 3.2$

Таким образом, мы получили набор абсолютных отклонений: {2.8, 0.8, 0.2, 0.2, 3.2}.

3. Вычислим среднее абсолютное отклонение (MAD):

$MAD = \frac{2.8 + 0.8 + 0.2 + 0.2 + 3.2}{5} = \frac{7.2}{5} = 1.44$

Это означает, что в среднем значения в данном наборе отклоняются от среднего арифметического на 1.44.

Ответ: Для набора {3, 5, 6, 6, 9} абсолютные отклонения от среднего (5.8) равны 2.8, 0.8, 0.2, 0.2, 3.2, а среднее абсолютное отклонение составляет 1.44.

Свойства и применение

Абсолютное отклонение обладает рядом важных свойств:

• Простота интерпретации: Оно измеряется в тех же единицах, что и исходные данные, что делает его интуитивно понятным.
• Устойчивость к выбросам: По сравнению со стандартным отклонением, которое возводит разности в квадрат, абсолютное отклонение менее чувствительно к экстремально большим или малым значениям (выбросам) в данных.

Применяется в различных областях:

• Статистика: Для описания вариативности данных как альтернатива стандартному отклонению.
• Эконометрика и машинное обучение: Среднее абсолютное отклонение является основой для метрики качества моделей, известной как средняя абсолютная ошибка (Mean Absolute Error, MAE), которая оценивает точность прогнозов.
• Финансы: Для оценки риска и волатильности активов.

Ответ: Абсолютное отклонение — это простая для интерпретации и устойчивая к выбросам мера разброса данных, используемая в статистике, эконометрике и финансах.

301 Даны два числовых набора. Нанесите их на числовую прямую или изобразите на диаграмме. Сравните рассеивания этих двух наборов. У какого из них рассеивание больше?

а) 1, 3, 2, 1, 3, 2, 3 и 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6;

б) 1, 3, 2, 1, 3, 2, 3 и 2, 4, 5, 5, 6, 6, 8;

в) 1, 3, 2, 1, 3, 2, 3 и 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9.

Для сравнения рассеивания (разброса) данных в наборах, мы можем использовать как визуальное представление на числовой прямой, так и числовые характеристики, такие как размах и дисперсия. Размах — это разность между максимальным и минимальным значениями в наборе. Дисперсия — это мера разброса данных относительно их среднего значения. Чем больше эти величины, тем больше рассеивание.

Даны два набора:
Набор 1: 1, 3, 2, 1, 3, 2, 3.
Набор 2: 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6.

Для удобства анализа упорядочим элементы в каждом наборе:
Набор 1 (упорядоченный): 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3.
Набор 2 (упорядоченный): 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6.

На числовой прямой точки первого набора расположены в диапазоне от 1 до 3. Точки второго набора расположены в диапазоне от 4 до 6. Визуально оба набора занимают отрезки одинаковой длины.

Вычислим размах для каждого набора:
Размах набора 1: $R_1 = 3 - 1 = 2$.
Размах набора 2: $R_2 = 6 - 4 = 2$.

Размахи наборов равны. Для более точного сравнения можно вычислить дисперсию ($D$).
Среднее значение для набора 1: $\bar{x}_1 = \frac{1+1+2+2+3+3+3}{7} = \frac{15}{7}$.
Дисперсия набора 1: $D_1 = \frac{2 \cdot (1 - \frac{15}{7})^2 + 2 \cdot (2 - \frac{15}{7})^2 + 3 \cdot (3 - \frac{15}{7})^2}{7} = \frac{238}{343} = \frac{34}{49}$.

Среднее значение для набора 2: $\bar{x}_2 = \frac{4+4+5+5+6+6+6}{7} = \frac{36}{7}$.
Дисперсия набора 2: $D_2 = \frac{2 \cdot (4 - \frac{36}{7})^2 + 2 \cdot (5 - \frac{36}{7})^2 + 3 \cdot (6 - \frac{36}{7})^2}{7} = \frac{238}{343} = \frac{34}{49}$.

Так как и размахи, и дисперсии обоих наборов равны, их рассеивания одинаковы. Можно заметить, что каждый элемент второго набора на 3 больше соответствующего элемента первого набора, то есть второй набор получен из первого сдвигом на 3, а сдвиг не меняет рассеивание.

Ответ: Рассеивания наборов одинаковы.

Даны два набора:
Набор 1: 1, 3, 2, 1, 3, 2, 3.
Набор 2: 2, 4, 5, 5, 6, 6, 8.

Упорядочим наборы:
Набор 1 (упорядоченный): 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3.
Набор 2 (упорядоченный): 2, 4, 5, 5, 6, 6, 8.

На числовой прямой точки первого набора расположены в диапазоне от 1 до 3. Точки второго набора расположены в более широком диапазоне от 2 до 8. Визуально второй набор более разбросан.

Вычислим размах для каждого набора:
Размах набора 1: $R_1 = 3 - 1 = 2$.
Размах набора 2: $R_2 = 8 - 2 = 6$.

Размах второго набора ($R_2=6$) значительно больше размаха первого набора ($R_1=2$), что указывает на большее рассеивание во втором наборе. Подтвердим это вычислением дисперсии.
Дисперсия набора 1 (из пункта а): $D_1 = \frac{34}{49} \approx 0.69$.

Среднее значение для набора 2: $\bar{x}_2 = \frac{2+4+5+5+6+6+8}{7} = \frac{36}{7}$.
Дисперсия набора 2: $D_2 = \frac{(2-\frac{36}{7})^2 + (4-\frac{36}{7})^2 + 2 \cdot (5-\frac{36}{7})^2 + 2 \cdot (6-\frac{36}{7})^2 + (8-\frac{36}{7})^2}{7} = \frac{1022}{343} \approx 2.98$.

Так как $R_2 > R_1$ и $D_2 > D_1$, рассеивание второго набора больше.

Ответ: Рассеивание второго набора больше.

Даны два набора:
Набор 1: 1, 3, 2, 1, 3, 2, 3.
Набор 2: 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9.

Упорядочим наборы:
Набор 1 (упорядоченный): 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3.
Набор 2 (упорядоченный): 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9.

На числовой прямой точки первого набора расположены в диапазоне от 1 до 3. Точки второго набора расположены в диапазоне от 7 до 9. Визуально оба набора занимают отрезки одинаковой длины.

Вычислим размах для каждого набора:
Размах набора 1: $R_1 = 3 - 1 = 2$.
Размах набора 2: $R_2 = 9 - 7 = 2$.

Размахи наборов равны. Вычислим дисперсии.
Дисперсия набора 1 (из пункта а): $D_1 = \frac{34}{49}$.

Среднее значение для набора 2: $\bar{x}_2 = \frac{7+7+7+8+8+9+9}{7} = \frac{55}{7}$.
Дисперсия набора 2: $D_2 = \frac{3 \cdot (7 - \frac{55}{7})^2 + 2 \cdot (8 - \frac{55}{7})^2 + 2 \cdot (9 - \frac{55}{7})^2}{7} = \frac{3 \cdot (\frac{-6}{7})^2 + 2 \cdot (\frac{1}{7})^2 + 2 \cdot (\frac{8}{7})^2}{7} = \frac{\frac{108+2+128}{49}}{7} = \frac{238}{343} = \frac{34}{49}$.

Так как размахи и дисперсии обоих наборов равны ($R_1 = R_2 = 2$ и $D_1 = D_2 = \frac{34}{49}$), их рассеивания одинаковы.

Ответ: Рассеивания наборов одинаковы.

302 Даны гистограммы двух числовых наборов, в которых чисел поровну (рис. 73). Сравните рассеивания этих двух наборов. У какого из них рассеивание больше?

Рисунок 73

Для того чтобы сравнить рассеивание двух числовых наборов, необходимо проанализировать, как их значения распределены на гистограммах. Рассеивание (или разброс) является мерой того, насколько сильно значения в наборе данных отклоняются от их среднего значения. Чем дальше значения расположены от центра распределения, тем больше рассеивание.

Проанализируем первую гистограмму (зеленую). На ней мы видим, что данные распределены по всему широкому диапазону от 0 до 50. Высота столбцов в крайних интервалах (например, от 0 до 10 и от 40 до 50) сопоставима с высотой столбцов в центральных интервалах. Это означает, что в наборе присутствует значительное количество как малых, так и больших значений, которые находятся далеко от центра распределения. Такое "плоское" и широкое распределение указывает на большое рассеивание данных.

Теперь рассмотрим вторую гистограмму (розовую). Здесь, напротив, наблюдается ярко выраженный пик в центральном интервале от 20 до 30. Большинство значений набора данных сгруппировано в центре, вблизи среднего значения. По мере удаления от центрального интервала высота столбцов (то есть частота) резко уменьшается. Это говорит о том, что значения, далекие от центра, встречаются редко. Такое распределение с высоким и узким пиком указывает на малое рассеивание данных.

Сравнивая два распределения, можно заключить, что в первом наборе данных значения значительно более разбросаны относительно своего центра, чем во втором, где большинство значений сконцентрировано в узком диапазоне. Если бы мы вычисляли стандартное отклонение (стандартную меру рассеивания), то для первого набора оно было бы существенно больше, так как в нем много значений с большим отклонением от среднего.

Ответ: Рассеивание больше у первого числового набора (представленного зеленой гистограммой).

303 На рисунке 74 изображены два числовых набора на координатной прямой. У какого из них, на ваш взгляд, рассеивание больше?

(1)

(2)

Рисунок 74

Рассеивание (или разброс) — это мера того, насколько сильно значения в наборе данных отличаются друг от друга. Чем больше рассеивание, тем дальше в среднем точки расположены друг от друга на координатной прямой. Чтобы ответить на вопрос, необходимо визуально сравнить распределение точек в обоих наборах.

В первом наборе (1) большая часть точек (шесть из девяти) образует плотную группу, или кластер. Это говорит о том, что большинство значений очень близки друг к другу и имеют малый разброс между собой. Хотя три точки находятся на значительном удалении, общая картина характеризуется высокой концентрацией данных в одной области.

Во втором наборе (2) точки распределены по координатной прямой гораздо более равномерно. Расстояния между соседними точками в целом больше, и нет явных областей концентрации. Это означает, что значения в наборе в целом более разбросаны по всему диапазону.

Таким образом, несмотря на то, что общий размах (расстояние между крайними точками) у наборов может быть сопоставим, данные во втором наборе в целом более рассеяны.

Ответ: Рассеивание больше у второго числового набора.

304 Рассмотрите таблицу 52 (с. 156) «Время прихода в школу». Чтобы вовремя приготовиться к уроку, нужно прийти в школу не позже, чем в 8:20. Какова примерно доля случаев, когда:

а) Сергей вовремя готов к уроку;

б) Иван вовремя готов к уроку?

Таблица 52. Время прихода в школу

Чтобы найти примерную долю случаев, необходимо вычислить относительную частоту события. Относительная частота — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу наблюдений.

По условию, чтобы вовремя приготовиться к уроку, нужно прийти в школу не позже, чем в 8:20. Это значит, что время прихода должно быть меньше или равно 8:20 ($ \text{время} \le 8:20 $). Это и есть благоприятный исход.

Общее число наблюдений для каждого ученика, согласно таблице, равно 10.

а) Сергей вовремя готов к уроку

Проанализируем времена прихода Сергея: 8:15, 8:14, 8:14, 8:15, 8:16, 8:15, 8:25, 8:15, 8:14, 8:16. Посчитаем, сколько раз он пришел не позже 8:20. Такими случаями являются: 8:15, 8:14, 8:14, 8:15, 8:16, 8:15, 8:15, 8:14, 8:16. Единственный раз, когда он пришел позже, — это в 8:25. Таким образом, число благоприятных исходов для Сергея равно 9.

Доля случаев, когда Сергей вовремя готов к уроку, равна:

$ \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число наблюдений}} = \frac{9}{10} = 0,9 $.

Ответ: $0,9$.

б) Иван вовремя готов к уроку

Проанализируем времена прихода Ивана: 8:11, 8:19, 8:27, 8:12, 8:35, 8:17, 8:22, 8:13, 8:18, 8:23. Посчитаем, сколько раз он пришел не позже 8:20. Такими случаями являются: 8:11, 8:19, 8:12, 8:17, 8:13, 8:18. Случаи, когда он пришел позже: 8:27, 8:35, 8:22, 8:23. Таким образом, число благоприятных исходов для Ивана равно 6.

Доля случаев, когда Иван вовремя готов к уроку, равна:

$ \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число наблюдений}} = \frac{6}{10} = 0,6 $.

Ответ: $0,6$.

305 Найдите отклонения от среднего арифметического чисел набора:

a) 1, -2, 3, 4, 1, 2;

б) -2,5, 3,1, 5,3, -1,3, 4,8.

а)

Чтобы найти отклонения от среднего арифметического для набора чисел 1, -2, 3, 4, 1, 2, сначала нужно вычислить само среднее арифметическое.

1. Найдем сумму всех чисел в наборе:
$1 + (-2) + 3 + 4 + 1 + 2 = 9$

2. Разделим сумму на количество чисел в наборе (их 6), чтобы найти среднее арифметическое ($\bar{x}$):
$\bar{x} = \frac{9}{6} = 1,5$

3. Теперь найдем отклонение для каждого числа, вычитая среднее арифметическое из каждого числа набора:
Отклонение для 1: $1 - 1,5 = -0,5$
Отклонение для -2: $-2 - 1,5 = -3,5$
Отклонение для 3: $3 - 1,5 = 1,5$
Отклонение для 4: $4 - 1,5 = 2,5$
Отклонение для 1: $1 - 1,5 = -0,5$
Отклонение для 2: $2 - 1,5 = 0,5$
Ряд отклонений: -0,5; -3,5; 1,5; 2,5; -0,5; 0,5.

Ответ: -0,5; -3,5; 1,5; 2,5; -0,5; 0,5.

б)

Аналогично поступим с набором чисел -2,5; 3,1; 5,3; -1,3; 4,8.

1. Найдем сумму всех чисел (их 5):
$-2,5 + 3,1 + 5,3 + (-1,3) + 4,8 = 9,4$

2. Вычислим среднее арифметическое:
$\bar{x} = \frac{9,4}{5} = 1,88$

3. Найдем отклонения от среднего арифметического для каждого числа:
Отклонение для -2,5: $-2,5 - 1,88 = -4,38$
Отклонение для 3,1: $3,1 - 1,88 = 1,22$
Отклонение для 5,3: $5,3 - 1,88 = 3,42$
Отклонение для -1,3: $-1,3 - 1,88 = -3,18$
Отклонение для 4,8: $4,8 - 1,88 = 2,92$
Ряд отклонений: -4,38; 1,22; 3,42; -3,18; 2,92.

Ответ: -4,38; 1,22; 3,42; -3,18; 2,92.

306 Дан некоторый числовой набор. Известно, что сумма отклонений от среднего всех чисел, кроме последнего, равна:

а) 57;

б) -4,37.

Найдите отклонение последнего числа.

Для решения этой задачи воспользуемся основным свойством среднего арифметического. Сумма отклонений всех чисел набора от их среднего арифметического всегда равна нулю.

Пусть дан числовой набор $x_1, x_2, \ldots, x_n$, а его среднее арифметическое равно $\bar{x}$.

Отклонение каждого числа от среднего вычисляется как $x_i - \bar{x}$.

Основное свойство можно записать в виде формулы:

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$

Эту сумму можно разбить на две части: сумму отклонений всех чисел, кроме последнего, и отклонение последнего числа:

$\left( \sum_{i=1}^{n-1} (x_i - \bar{x}) \right) + (x_n - \bar{x}) = 0$

В условии задачи нам дана первая часть этого выражения — сумма отклонений всех чисел, кроме последнего. Обозначим ее как $S_{n-1}$. Вторую часть — отклонение последнего числа — обозначим как $d_n$. Тогда уравнение примет вид:

$S_{n-1} + d_n = 0$

Отсюда следует, что отклонение последнего числа равно сумме отклонений остальных чисел, взятой с противоположным знаком:

$d_n = -S_{n-1}$

Теперь решим подпункты, используя эту формулу.

а)

По условию, сумма отклонений от среднего всех чисел, кроме последнего, равна 57. То есть, $S_{n-1} = 57$.

Тогда отклонение последнего числа равно:

$d_n = -S_{n-1} = -57$

Ответ: -57

б)

По условию, сумма отклонений от среднего всех чисел, кроме последнего, равна -4,37. То есть, $S_{n-1} = -4,37$.

Тогда отклонение последнего числа равно:

$d_n = -S_{n-1} = -(-4,37) = 4,37$

Ответ: 4,37

307 Могут ли все отклонения некоторого набора от среднего арифметического:

а) быть положительными;

б) быть отрицательными;

в) равняться нулю?

Если не могут, объясните почему. Если могут, приведите пример.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определением отклонения и одним из ключевых свойств среднего арифметического. Пусть у нас есть набор из $n$ чисел: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Среднее арифметическое этого набора ($\bar{x}$) вычисляется по формуле:$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

Отклонение каждого числа $x_i$ от среднего арифметического — это разность $d_i = x_i - \bar{x}$.

Важнейшее свойство отклонений от среднего арифметического заключается в том, что их сумма всегда равна нулю:$\sum_{i=1}^{n} d_i = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = (\sum_{i=1}^{n} x_i) - n\bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$

Опираясь на это свойство, рассмотрим каждый пункт вопроса.

а) быть положительными;

Нет, не могут. Если бы все отклонения $d_i$ были положительными ($d_i > 0$), то их сумма $\sum d_i$ была бы строго больше нуля. Это противоречит основному свойству, согласно которому сумма отклонений от среднего арифметического всегда равна нулю. Для того чтобы сумма равнялась нулю, среди отклонений должны быть как положительные, так и отрицательные значения, либо все они должны быть равны нулю.

Ответ: не могут, так как сумма всех отклонений от среднего арифметического всегда равна нулю, а сумма нескольких положительных чисел (для непустого набора) всегда положительна.

б) быть отрицательными;

Нет, не могут. Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. Если бы все отклонения $d_i$ были отрицательными ($d_i < 0$), то их сумма $\sum d_i$ была бы строго меньше нуля. Это также противоречит свойству равенства суммы отклонений нулю.

Ответ: не могут, так как сумма всех отклонений от среднего арифметического всегда равна нулю, а сумма нескольких отрицательных чисел всегда отрицательна.

в) равняться нулю?

Да, могут. Это возможно в том и только в том случае, когда все числа в наборе одинаковы. Если все отклонения равны нулю ($d_i = 0$), то их сумма, очевидно, равна нулю ($\sum 0 = 0$), что не противоречит свойству. Условие $d_i = x_i - \bar{x} = 0$ для всех $i$ означает, что каждый элемент набора $x_i$ равен среднему арифметическому $\bar{x}$. Это справедливо, когда все элементы набора равны между собой.

Пример: для набора чисел $\{4, 4, 4, 4\}$ среднее арифметическое $\bar{x} = \frac{4+4+4+4}{4} = 4$. Отклонение каждого элемента от среднего равно $4 - 4 = 0$. Таким образом, все отклонения в этом наборе равны нулю.

Ответ: могут, если все числа в наборе одинаковы. Например, для набора $\{4, 4, 4\}$ все отклонения от среднего арифметического равны нулю.