Страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Что такое стандартное отклонение? Напишите формулу для вычисления стандартного отклонения.

1 Что такое стандартное отклонение? Напишите формулу для вычисления стандартного отклонения.

Стандартное отклонение (также известное как среднеквадратическое отклонение) — это статистический показатель, который измеряет степень разброса или вариативности набора данных относительно их среднего значения (математического ожидания). Проще говоря, оно показывает, насколько сильно значения в выборке отличаются друг от друга и от среднего значения.

Если стандартное отклонение низкое, это означает, что точки данных, как правило, находятся очень близко к среднему значению набора. Высокое стандартное отклонение указывает на то, что точки данных разбросаны в более широком диапазоне значений.

Стандартное отклонение является квадратным корнем из дисперсии. Дисперсия — это среднее значение квадратов отклонений от среднего. Извлечение квадратного корня возвращает единицы измерения к исходным (например, от долларов в квадрате обратно к долларам), что делает стандартное отклонение более интуитивно понятным по сравнению с дисперсией.

Формула для вычисления стандартного отклонения зависит от того, имеем ли мы дело со всей генеральной совокупностью (всеми возможными данными) или с выборкой из нее (частью данных).

Формула для генеральной совокупности (обозначается греческой буквой сигма, $ \sigma $):

$ \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2} $

где:
$ \sigma $ — стандартное отклонение генеральной совокупности;
$ N $ — размер (объем) генеральной совокупности;
$ x_i $ — каждый отдельный элемент совокупности;
$ \mu $ — среднее арифметическое (математическое ожидание) генеральной совокупности, которое вычисляется как $ \mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i $.

Формула для выборки (обозначается латинской буквой $ s $ или $ SD $):
Эта формула используется чаще, так как на практике мы почти всегда работаем с выборками, а не с полными генеральными совокупностями.

$ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} $

где:
$ s $ — стандартное отклонение выборки (несмещенная оценка);
$ n $ — размер (объем) выборки;
$ x_i $ — каждый отдельный элемент выборки;
$ \bar{x} $ — среднее арифметическое выборки, которое вычисляется как $ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $.

Использование $ n-1 $ в знаменателе вместо $ n $ называется поправкой Бесселя. Это делается для получения несмещенной (т.е. более точной) оценки дисперсии и стандартного отклонения генеральной совокупности на основе имеющейся выборки.

Ответ: Стандартное отклонение — это мера разброса значений в наборе данных относительно их среднего значения. Наиболее часто используемая формула для выборочного стандартного отклонения: $ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} $.

2 Чему равно стандартное отклонение числового набора, если его дисперсия равна 4?

2. Стандартное отклонение (также называемое среднеквадратичным отклонением) является мерой рассеивания или разброса значений в наборе данных. Оно по определению равно квадратному корню из дисперсии.

Связь между стандартным отклонением ($\sigma$) и дисперсией ($\sigma^2$) выражается формулой:

$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Согласно условию задачи, дисперсия числового набора равна 4. То есть:

$\sigma^2 = 4$

Чтобы найти стандартное отклонение, необходимо извлечь квадратный корень из значения дисперсии:

$\sigma = \sqrt{4} = 2$

Поскольку стандартное отклонение является мерой разброса, оно всегда является неотрицательной величиной.

Ответ: 2

3 Дан массив измерений массы шоколадных плиток в граммах. В каких единицах измеряется дисперсия? В каких единицах измеряется стандартное отклонение?

В каких единицах измеряется дисперсия?
Исходные данные (масса шоколадных плиток) измеряются в граммах (г). Дисперсия, по определению, является средним значением квадратов отклонений случайной величины от её математического ожидания. Формула для выборочной дисперсии выглядит так:
$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1} $
Здесь $ x_i $ — это значение i-го измерения (в граммах), а $ \bar{x} $ — среднее значение выборки (также в граммах). Разность $ (x_i - \bar{x}) $ имеет единицу измерения "граммы". Когда мы возводим эту разность в квадрат, $ (x_i - \bar{x})^2 $, единицы измерения также возводятся в квадрат. Следовательно, единица измерения дисперсии — это граммы в квадрате.
Ответ: Дисперсия измеряется в квадратных граммах ($ \text{г}^2 $).

В каких единицах измеряется стандартное отклонение?
Стандартное отклонение (или среднеквадратичное отклонение) является мерой разброса данных и определяется как квадратный корень из дисперсии.
$ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}} $
Поскольку дисперсия измеряется в квадратных граммах ($ \text{г}^2 $), то стандартное отклонение будет измеряться в квадратном корне из этой единицы: $ \sqrt{\text{г}^2} = \text{г} $. Таким образом, стандартное отклонение имеет ту же размерность, что и исходные измеряемые величины.
Ответ: Стандартное отклонение измеряется в граммах (г).

4 Может ли стандартное отклонение быть отрицательным?

Нет, стандартное отклонение не может быть отрицательным. Это следует напрямую из его математического определения и способа вычисления.

Стандартное отклонение (или среднеквадратическое отклонение) — это показатель того, насколько сильно значения в наборе данных разбросаны относительно их среднего арифметического. Оно вычисляется как квадратный корень из дисперсии.

Формула для стандартного отклонения (обозначаемого как $\sigma$ или $s$) выглядит следующим образом:
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N}}$
Здесь $x_i$ — это каждое отдельное значение в наборе данных, $\mu$ — среднее арифметическое этих значений, а $N$ — общее количество значений.

Давайте проанализируем компоненты этой формулы:
1. Сначала вычисляется разность между каждым значением и средним: $(x_i - \mu)$. Эта разность может быть положительной, отрицательной или равной нулю.
2. Затем каждая такая разность возводится в квадрат: $(x_i - \mu)^2$. Важнейший момент заключается в том, что квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным (то есть большим или равным нулю).
3. Далее, все эти неотрицательные значения (квадраты отклонений) суммируются. Сумма неотрицательных чисел также всегда будет неотрицательной.
4. Полученная сумма делится на количество элементов $N$ (которое по определению положительно). Это значение называется дисперсией ($\sigma^2$), и оно также всегда неотрицательно.
5. Наконец, стандартное отклонение $\sigma$ вычисляется как квадратный корень из дисперсии. По математическому определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{...}$) из неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом.

Таким образом, из-за операции возведения в квадрат на втором шаге, итоговое значение стандартного отклонения не может быть отрицательным. Его минимальное возможное значение — ноль. Это значение достигается только в том случае, когда все элементы в наборе данных одинаковы (например, в наборе [5, 5, 5, 5]), и, следовательно, нет никакого разброса.

Ответ: Нет, стандартное отклонение не может быть отрицательным. Оно всегда является неотрицательным числом, то есть большим или равным нулю ($\sigma \ge 0$).

318 Найдите стандартное отклонение числового набора, если его дисперсия равна:

а) $25$;

б) $121$;

в) $3,24$;

г) $1,69$.

а) Стандартное отклонение числового набора ($\sigma$) — это квадратный корень из его дисперсии ($D$). Формула для расчета: $\sigma = \sqrt{D}$.
В данном случае дисперсия $D = 25$.
Следовательно, стандартное отклонение равно: $\sigma = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5.

б) По определению, стандартное отклонение ($\sigma$) равно квадратному корню из дисперсии ($D$).
Дана дисперсия $D = 121$.
Вычисляем стандартное отклонение: $\sigma = \sqrt{121} = 11$.
Ответ: 11.

в) Стандартное отклонение ($\sigma$) находится по формуле $\sigma = \sqrt{D}$, где $D$ — дисперсия.
В этом пункте дисперсия $D = 3,24$.
Тогда стандартное отклонение будет: $\sigma = \sqrt{3,24} = 1,8$.
Ответ: 1,8.

г) Для нахождения стандартного отклонения ($\sigma$) необходимо извлечь квадратный корень из значения дисперсии ($D$).
Известно, что дисперсия $D = 1,69$.
Находим стандартное отклонение: $\sigma = \sqrt{1,69} = 1,3$.
Ответ: 1,3.

319 В числовом наборе 10 чисел, а стандартное отклонение равно 0. Приведите пример такого набора.

Стандартное отклонение — это мера разброса значений в наборе данных относительно их среднего арифметического. Формула для стандартного отклонения (обозначается греческой буквой сигма, $\sigma$) для набора из $n$ чисел $x_1, x_2, ..., x_n$ со средним значением $\mu$ имеет вид:

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}$

Согласно условию задачи, стандартное отклонение равно 0. Проанализируем, что это означает для набора чисел.

Если $\sigma = 0$, то и дисперсия (величина под корнем, $\sigma^2$) также должна быть равна 0:

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 = 0$

Так как количество чисел в наборе $n=10$ (положительное число), то равенство может выполняться только в том случае, если сама сумма равна нулю:

$\sum_{i=1}^{10} (x_i - \mu)^2 = 0$

Каждое слагаемое в этой сумме, $(x_i - \mu)^2$, представляет собой квадрат числа, и поэтому не может быть отрицательным (то есть, $(x_i - \mu)^2 \geq 0$). Сумма неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю.

Следовательно, для каждого элемента набора $x_i$ должно выполняться равенство:

$(x_i - \mu)^2 = 0$

Это эквивалентно тому, что:

$x_i - \mu = 0$

или

$x_i = \mu$

Это означает, что каждый элемент набора должен быть равен среднему арифметическому этого набора. Из этого следует, что все элементы в наборе должны быть одинаковыми, то есть не иметь никакого разброса.

Таким образом, для выполнения условия задачи необходимо составить набор из 10 одинаковых чисел. Можно выбрать абсолютно любое число. Например, возьмем число 3.

Ответ: {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3}.

320 Найдите стандартное отклонение набора данных. Результат округлите до сотых.

а) 1, 3, 5, 1, 3;

б) 0.2, 0.4, 1.1, 1.4, 0.7;

в) 234, 432, 521, 211, 424, 233;

г) -0.21, -0.23, -1.34, -0.43, -0.34.

Стандартное отклонение (или среднеквадратическое отклонение) является мерой разброса данных относительно их среднего значения. Чтобы найти стандартное отклонение набора данных, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вычислить среднее арифметическое набора данных ($\bar{x}$).
2. Для каждого значения в наборе данных найти квадрат его отклонения от среднего ($(x_i - \bar{x})^2$).
3. Вычислить среднее арифметическое этих квадратов отклонений. Это значение называется дисперсией ($\sigma^2$).
4. Извлечь квадратный корень из дисперсии. Полученное значение и есть стандартное отклонение ($\sigma$).

Формула для вычисления стандартного отклонения:

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$

где $n$ – количество элементов в наборе, $x_i$ – каждый элемент набора, а $\bar{x}$ – среднее арифметическое набора.

а) 1, 3, 5, 1, 3;

1. Найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{1+3+5+1+3}{5} = \frac{13}{5} = 2,6$

2. Найдем дисперсию ($\sigma^2$), то есть среднее значение квадратов отклонений от среднего:

$\sigma^2 = \frac{(1-2,6)^2 + (3-2,6)^2 + (5-2,6)^2 + (1-2,6)^2 + (3-2,6)^2}{5}$

$\sigma^2 = \frac{(-1,6)^2 + (0,4)^2 + (2,4)^2 + (-1,6)^2 + (0,4)^2}{5}$

$\sigma^2 = \frac{2,56 + 0,16 + 5,76 + 2,56 + 0,16}{5} = \frac{11,2}{5} = 2,24$

3. Найдем стандартное отклонение ($\sigma$), извлекая корень из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{2,24} \approx 1,4966...$

4. Округлим результат до сотых:

$\sigma \approx 1,50$

Ответ: 1,50

б) 0,2, 0,4, 1,1, 1,4, 0,7;

1. Найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{0,2+0,4+1,1+1,4+0,7}{5} = \frac{3,8}{5} = 0,76$

2. Найдем дисперсию ($\sigma^2$):

$\sigma^2 = \frac{(0,2-0,76)^2 + (0,4-0,76)^2 + (1,1-0,76)^2 + (1,4-0,76)^2 + (0,7-0,76)^2}{5}$

$\sigma^2 = \frac{(-0,56)^2 + (-0,36)^2 + (0,34)^2 + (0,64)^2 + (-0,06)^2}{5}$

$\sigma^2 = \frac{0,3136 + 0,1296 + 0,1156 + 0,4096 + 0,0036}{5} = \frac{0,972}{5} = 0,1944$

3. Найдем стандартное отклонение ($\sigma$):

$\sigma = \sqrt{0,1944} \approx 0,4409...$

4. Округлим результат до сотых:

$\sigma \approx 0,44$

Ответ: 0,44

в) 234, 432, 521, 211, 424, 233;

1. Найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{234+432+521+211+424+233}{6} = \frac{2055}{6} = 342,5$

2. Найдем дисперсию ($\sigma^2$):

$\sigma^2 = \frac{(234-342,5)^2 + (432-342,5)^2 + (521-342,5)^2 + (211-342,5)^2 + (424-342,5)^2 + (233-342,5)^2}{6}$

$\sigma^2 = \frac{(-108,5)^2 + (89,5)^2 + (178,5)^2 + (-131,5)^2 + (81,5)^2 + (-109,5)^2}{6}$

$\sigma^2 = \frac{11772,25 + 8010,25 + 31862,25 + 17292,25 + 6642,25 + 11990,25}{6}$

$\sigma^2 = \frac{87569,5}{6} \approx 14594,9167$

3. Найдем стандартное отклонение ($\sigma$):

$\sigma = \sqrt{14594,9167} \approx 120,8094...$

4. Округлим результат до сотых:

$\sigma \approx 120,81$

Ответ: 120,81

г) -0,21, -0,23, -1,34, -0,43, -0,34;

1. Найдем среднее арифметическое ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{-0,21 + (-0,23) + (-1,34) + (-0,43) + (-0,34)}{5} = \frac{-2,55}{5} = -0,51$

2. Найдем дисперсию ($\sigma^2$):

$\sigma^2 = \frac{(-0,21 - (-0,51))^2 + (-0,23 - (-0,51))^2 + (-1,34 - (-0,51))^2 + (-0,43 - (-0,51))^2 + (-0,34 - (-0,51))^2}{5}$

$\sigma^2 = \frac{(0,3)^2 + (0,28)^2 + (-0,83)^2 + (0,08)^2 + (0,17)^2}{5}$

$\sigma^2 = \frac{0,09 + 0,0784 + 0,6889 + 0,0064 + 0,0289}{5} = \frac{0,8926}{5} = 0,17852$

3. Найдем стандартное отклонение ($\sigma$):

$\sigma = \sqrt{0,17852} \approx 0,4225...$

4. Округлим результат до сотых:

$\sigma \approx 0,42$

Ответ: 0,42

321 Дан набор из десяти чисел: 4, 3, 2, 1, 9, 7, 2, 7, 1, 4.

Найдите среднее и стандартное отклонение (с точностью до сотых).

а) Найдите отрезок, который получается, если отступить от среднего влево и вправо на одно стандартное отклонение.

б) Какие значения попадают в этот отрезок?

в) Какие значения расположены левее левой границы этого отрезка?

г) Какие значения расположены правее правой границы?

Для начала найдем среднее арифметическое и стандартное отклонение для данного набора чисел: 4, 3, 2, 1, 9, 7, 2, 7, 1, 4.

1. Находим среднее арифметическое ($\bar{x}$). Это сумма всех чисел, деленная на их количество (n=10).

Сумма чисел: $4 + 3 + 2 + 1 + 9 + 7 + 2 + 7 + 1 + 4 = 40$.

Среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{40}{10} = 4$.

2. Находим стандартное отклонение ($\sigma$). Для этого сначала вычислим дисперсию ($\sigma^2$), которая является средним значением квадратов отклонений от среднего.

Квадраты отклонений от среднего ($\bar{x}=4$):

$(4-4)^2 = 0^2 = 0$
$(3-4)^2 = (-1)^2 = 1$
$(2-4)^2 = (-2)^2 = 4$
$(1-4)^2 = (-3)^2 = 9$
$(9-4)^2 = 5^2 = 25$
$(7-4)^2 = 3^2 = 9$
$(2-4)^2 = (-2)^2 = 4$
$(7-4)^2 = 3^2 = 9$
$(1-4)^2 = (-3)^2 = 9$
$(4-4)^2 = 0^2 = 0$

Сумма квадратов отклонений: $0 + 1 + 4 + 9 + 25 + 9 + 4 + 9 + 9 + 0 = 70$.

Дисперсия: $\sigma^2 = \frac{70}{10} = 7$.

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{7} \approx 2.64575...$

С точностью до сотых, $\sigma \approx 2.65$.

Итак, среднее равно 4, а стандартное отклонение примерно равно 2.65.

а) Найдите отрезок, который получается, если отступить от среднего влево и вправо на одно стандартное отклонение.

Чтобы найти отрезок, нужно от среднего арифметического отнять и прибавить стандартное отклонение. Отрезок имеет вид $[\bar{x} - \sigma, \bar{x} + \sigma]$.

Левая граница: $4 - 2.65 = 1.35$.

Правая граница: $4 + 2.65 = 6.65$.

Ответ: искомый отрезок — $[1.35; 6.65]$.

б) Какие значения попадают в этот отрезок?

Нужно выбрать из исходного набора {4, 3, 2, 1, 9, 7, 2, 7, 1, 4} те числа, которые больше или равны 1.35 и меньше или равны 6.65.

Проверим каждое значение:

• 4: $1.35 \le 4 \le 6.65$ (попадает)
• 3: $1.35 \le 3 \le 6.65$ (попадает)
• 2: $1.35 \le 2 \le 6.65$ (попадает)
• 1: $1 < 1.35$ (не попадает)
• 9: $9 > 6.65$ (не попадает)
• 7: $7 > 6.65$ (не попадает)
• 2: $1.35 \le 2 \le 6.65$ (попадает)
• 7: $7 > 6.65$ (не попадает)
• 1: $1 < 1.35$ (не попадает)
• 4: $1.35 \le 4 \le 6.65$ (попадает)

Ответ: в отрезок попадают значения 4, 3, 2, 2, 4.

в) Какие значения расположены левее левой границы этого отрезка?

Нужно найти значения из набора, которые меньше левой границы отрезка, то есть меньше 1.35.

Ответ: значения, расположенные левее левой границы — 1, 1.

г) Какие значения расположены правее правой границы?

Нужно найти значения из набора, которые больше правой границы отрезка, то есть больше 6.65.

Ответ: значения, расположенные правее правой границы — 9, 7, 7.

322 Дан набор из десяти чисел: -3, 3, -5, 7, -6, 6, -4, 3, -1, 0.

Найдите среднее и стандартное отклонение (с точностью до сотых).

а) Найдите отрезок, который получается, если отступить от среднего влево и вправо на одно стандартное отклонение.

б) Какие значения попадают в этот отрезок?

в) Какие значения расположены левее левой границы этого отрезка?

г) Какие значения расположены правее правой границы?

Для ответа на вопросы задачи необходимо сначала вычислить среднее значение и стандартное отклонение для данного набора из десяти чисел: $\{-3, 3, -5, 7, -6, 6, -4, 3, -1, 0\}$.

Среднее значение ($\bar{x}$) вычисляется как сумма всех элементов, деленная на их количество:

$\bar{x} = \frac{-3 + 3 - 5 + 7 - 6 + 6 - 4 + 3 - 1 + 0}{10} = \frac{0}{10} = 0$.

Стандартное отклонение ($\sigma$) — это квадратный корень из дисперсии ($D$). Дисперсия, в свою очередь, это средний квадрат отклонений от среднего значения: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$.

Поскольку среднее значение $\bar{x} = 0$, формула для дисперсии упрощается до $D = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}$.

Вычислим сумму квадратов всех чисел в наборе:

$\sum x_i^2 = (-3)^2 + 3^2 + (-5)^2 + 7^2 + (-6)^2 + 6^2 + (-4)^2 + 3^2 + (-1)^2 + 0^2 = 9 + 9 + 25 + 49 + 36 + 36 + 16 + 9 + 1 + 0 = 190$.

Теперь находим дисперсию:

$D = \frac{190}{10} = 19$.

Стандартное отклонение равно:

$\sigma = \sqrt{19} \approx 4.35889...$

Округляя до сотых, получаем $\sigma \approx 4.36$.

Теперь, имея среднее $\bar{x} = 0$ и стандартное отклонение $\sigma \approx 4.36$, можно ответить на поставленные вопросы.

а) Найдите отрезок, который получается, если отступить от среднего влево и вправо на одно стандартное отклонение.

Границы искомого отрезка определяются как $[\bar{x} - \sigma, \bar{x} + \sigma]$.

Левая граница: $0 - 4.36 = -4.36$.

Правая граница: $0 + 4.36 = 4.36$.

Таким образом, искомый отрезок — это $[-4.36, 4.36]$.

Ответ: $[-4.36, 4.36]$.

б) Какие значения попадают в этот отрезок?

Нам нужно найти все значения $x$ из исходного набора, которые удовлетворяют условию $-4.36 \le x \le 4.36$.

Этому условию соответствуют следующие числа: -3, 3, -4, 3, -1, 0.

Ответ: -4, -3, -1, 0, 3, 3.

в) Какие значения расположены левее левой границы этого отрезка?

Нам нужно найти все значения $x$ из набора, которые меньше левой границы, то есть $x < -4.36$.

Такими значениями являются: -5 и -6.

Ответ: -5, -6.

г) Какие значения расположены правее правой границы этого отрезка?

Нам нужно найти все значения $x$ из набора, которые больше правой границы, то есть $x > 4.36$.

Такими значениями являются: 6 и 7.

Ответ: 6, 7.

323 Удалите из таблицы 43 (с. 67) города Балашиху, Подольск и Верею. В примере 2 вычислено среднее и стандартное отклонение населения оставшихся городов: $\bar{x} = 67,7$ тыс. чел., $S = 57,2$ тыс. чел.

а) Будем считать подмосковный город малым, если его население меньше чем $\bar{x} - S$. Перечислите малые города.

б) Будем считать подмосковный город очень крупным, если его население больше чем $\bar{x} + 2S$. Перечислите очень крупные города. Подумайте, какие общие черты есть у этих городов.

а) Будем считать подмосковный город малым, если его население меньше чем $ \bar{x} - S $. Перечислите малые города.

Согласно условию задачи, даны среднее значение населения $ \bar{x} = 67,7 $ тыс. чел. и стандартное отклонение $ S = 57,2 $ тыс. чел. для городов Московской области после удаления Балашихи, Подольска и Вереи.

Малым считается город, население которого меньше порогового значения, которое мы вычислим по формуле: $ \bar{x} - S = 67,7 - 57,2 = 10,5 $ тыс. чел.

Таким образом, к малым городам относятся те, чье население меньше 10,5 тысяч человек. В исходных данных был город Верея с населением 4,8 тыс. человек, который соответствовал этому критерию, но он был исключен из выборки. Среди оставшихся городов нет ни одного с населением менее 10,5 тыс. человек. Ближайший по значению город — Ожерелье с населением 10,8 тыс. человек, что больше порогового значения.

Ответ: В данном списке городов малых городов нет.

б) Будем считать подмосковный город очень крупным, если его население больше чем $ \bar{x} + 2S $. Перечислите очень крупные города. Подумайте, какие общие черты есть у этих городов.

Очень крупным считается город, население которого превышает пороговое значение, вычисляемое по формуле: $ \bar{x} + 2S = 67,7 + 2 \times 57,2 = 67,7 + 114,4 = 182,1 $ тыс. чел.

Следовательно, мы ищем города с населением более 182,1 тысяч человек. В исходном списке был город Подольск (196,2 тыс. чел.), который подходил под это определение, но он был удален по условию. Самый населенный город в оставшемся списке — Люберцы (162,7 тыс. чел.), что меньше, чем 182,1 тыс. чел. Таким образом, в рассматриваемом списке очень крупных городов нет.

Поскольку в списке не оказалось городов, формально попадающих в категорию "очень крупных", проанализируем общие черты самых больших городов из оставшегося списка (таких как Люберцы, Мытищи, Коломна, Электросталь, Королёв, Химки). Эти города, а также удаленные из-за большого размера Подольск и Балашиха, имеют ряд общих черт:

• Они являются крупными промышленными центрами с развитым производством (машиностроение, металлургия, химическая и оборонная промышленность).
• Большинство из них расположено в непосредственной близости от Москвы и являются городами-спутниками, формируя Московскую городскую агломерацию.
• Они представляют собой важные транспортные узлы, через которые проходят крупные железнодорожные и автомобильные магистрали.
• Некоторые из них имеют статус "наукограда" (например, Королёв, Дубна, Фрязино) и являются центрами научной мысли и высоких технологий.

Ответ: В данном списке городов очень крупных городов нет. Общими чертами крупнейших городов Подмосковья являются их статус промышленных и научных центров, а также близкое расположение к Москве и развитая транспортная инфраструктура.