Номер 321, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

321 Дан набор из десяти чисел: 4, 3, 2, 1, 9, 7, 2, 7, 1, 4.

Найдите среднее и стандартное отклонение (с точностью до сотых).

а) Найдите отрезок, который получается, если отступить от среднего влево и вправо на одно стандартное отклонение.

б) Какие значения попадают в этот отрезок?

в) Какие значения расположены левее левой границы этого отрезка?

г) Какие значения расположены правее правой границы?

Для начала найдем среднее арифметическое и стандартное отклонение для данного набора чисел: 4, 3, 2, 1, 9, 7, 2, 7, 1, 4.

1. Находим среднее арифметическое ($\bar{x}$). Это сумма всех чисел, деленная на их количество (n=10).

Сумма чисел: $4 + 3 + 2 + 1 + 9 + 7 + 2 + 7 + 1 + 4 = 40$.

Среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{40}{10} = 4$.

2. Находим стандартное отклонение ($\sigma$). Для этого сначала вычислим дисперсию ($\sigma^2$), которая является средним значением квадратов отклонений от среднего.

Квадраты отклонений от среднего ($\bar{x}=4$):

$(4-4)^2 = 0^2 = 0$
$(3-4)^2 = (-1)^2 = 1$
$(2-4)^2 = (-2)^2 = 4$
$(1-4)^2 = (-3)^2 = 9$
$(9-4)^2 = 5^2 = 25$
$(7-4)^2 = 3^2 = 9$
$(2-4)^2 = (-2)^2 = 4$
$(7-4)^2 = 3^2 = 9$
$(1-4)^2 = (-3)^2 = 9$
$(4-4)^2 = 0^2 = 0$

Сумма квадратов отклонений: $0 + 1 + 4 + 9 + 25 + 9 + 4 + 9 + 9 + 0 = 70$.

Дисперсия: $\sigma^2 = \frac{70}{10} = 7$.

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{7} \approx 2.64575...$

С точностью до сотых, $\sigma \approx 2.65$.

Итак, среднее равно 4, а стандартное отклонение примерно равно 2.65.

а) Найдите отрезок, который получается, если отступить от среднего влево и вправо на одно стандартное отклонение.

Чтобы найти отрезок, нужно от среднего арифметического отнять и прибавить стандартное отклонение. Отрезок имеет вид $[\bar{x} - \sigma, \bar{x} + \sigma]$.

Левая граница: $4 - 2.65 = 1.35$.

Правая граница: $4 + 2.65 = 6.65$.

Ответ: искомый отрезок — $[1.35; 6.65]$.

б) Какие значения попадают в этот отрезок?

Нужно выбрать из исходного набора {4, 3, 2, 1, 9, 7, 2, 7, 1, 4} те числа, которые больше или равны 1.35 и меньше или равны 6.65.

Проверим каждое значение:

• 4: $1.35 \le 4 \le 6.65$ (попадает)
• 3: $1.35 \le 3 \le 6.65$ (попадает)
• 2: $1.35 \le 2 \le 6.65$ (попадает)
• 1: $1 < 1.35$ (не попадает)
• 9: $9 > 6.65$ (не попадает)
• 7: $7 > 6.65$ (не попадает)
• 2: $1.35 \le 2 \le 6.65$ (попадает)
• 7: $7 > 6.65$ (не попадает)
• 1: $1 < 1.35$ (не попадает)
• 4: $1.35 \le 4 \le 6.65$ (попадает)

Ответ: в отрезок попадают значения 4, 3, 2, 2, 4.

в) Какие значения расположены левее левой границы этого отрезка?

Нужно найти значения из набора, которые меньше левой границы отрезка, то есть меньше 1.35.

Ответ: значения, расположенные левее левой границы — 1, 1.

г) Какие значения расположены правее правой границы?

Нужно найти значения из набора, которые больше правой границы отрезка, то есть больше 6.65.

Ответ: значения, расположенные правее правой границы — 9, 7, 7.