Номер 4, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

4 Может ли стандартное отклонение быть отрицательным?

Нет, стандартное отклонение не может быть отрицательным. Это следует напрямую из его математического определения и способа вычисления.

Стандартное отклонение (или среднеквадратическое отклонение) — это показатель того, насколько сильно значения в наборе данных разбросаны относительно их среднего арифметического. Оно вычисляется как квадратный корень из дисперсии.

Формула для стандартного отклонения (обозначаемого как $\sigma$ или $s$) выглядит следующим образом:
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N}}$
Здесь $x_i$ — это каждое отдельное значение в наборе данных, $\mu$ — среднее арифметическое этих значений, а $N$ — общее количество значений.

Давайте проанализируем компоненты этой формулы:
1. Сначала вычисляется разность между каждым значением и средним: $(x_i - \mu)$. Эта разность может быть положительной, отрицательной или равной нулю.
2. Затем каждая такая разность возводится в квадрат: $(x_i - \mu)^2$. Важнейший момент заключается в том, что квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным (то есть большим или равным нулю).
3. Далее, все эти неотрицательные значения (квадраты отклонений) суммируются. Сумма неотрицательных чисел также всегда будет неотрицательной.
4. Полученная сумма делится на количество элементов $N$ (которое по определению положительно). Это значение называется дисперсией ($\sigma^2$), и оно также всегда неотрицательно.
5. Наконец, стандартное отклонение $\sigma$ вычисляется как квадратный корень из дисперсии. По математическому определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{...}$) из неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом.

Таким образом, из-за операции возведения в квадрат на втором шаге, итоговое значение стандартного отклонения не может быть отрицательным. Его минимальное возможное значение — ноль. Это значение достигается только в том случае, когда все элементы в наборе данных одинаковы (например, в наборе [5, 5, 5, 5]), и, следовательно, нет никакого разброса.

Ответ: Нет, стандартное отклонение не может быть отрицательным. Оно всегда является неотрицательным числом, то есть большим или равным нулю ($\sigma \ge 0$).