Номер 315, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

315 Даны два набора чисел. Отметьте числа на числовой прямой. Определите на глаз, у какого из наборов рассеивание значений больше. Проверьте ваш глазомер, вычислив и сравнив дисперсии наборов.

a) 2, 3, 4 и 6, 7, 8;

б) 3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18.

Для определения, у какого из наборов рассеивание значений больше, сначала отметим числа на числовой прямой и сделаем предположение на глаз. Затем, для проверки, вычислим и сравним дисперсии обоих наборов.

Отметив числа на числовой прямой, можно заметить, что числа из набора (а) (от 2 до 8) расположены более компактно, чем числа из набора (б) (от 3 до 18). Размах выборки (разница между максимальным и минимальным значением) для первого набора составляет $8 - 2 = 6$, а для второго $18 - 3 = 15$. Визуально кажется, что рассеивание больше у второго набора (б).

Проверим этот глазомер, вычислив дисперсию для каждого набора. Дисперсия ($D$) вычисляется по формуле: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$, где $\bar{x}$ — среднее арифметическое, а $n$ — количество чисел в наборе.

а) 2, 3, 4 и 6, 7, 8;

1. Найдём среднее арифметическое набора ($\bar{x}_a$):
$\bar{x}_a = \frac{2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8}{6} = \frac{30}{6} = 5$.

2. Вычислим сумму квадратов отклонений от среднего:
$\sum(x_i - \bar{x}_a)^2 = (2-5)^2 + (3-5)^2 + (4-5)^2 + (6-5)^2 + (7-5)^2 + (8-5)^2$
$= (-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 9 + 4 + 1 + 1 + 4 + 9 = 28$.

3. Найдём дисперсию набора ($D_a$):
$D_a = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} \approx 4.67$.

б) 3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18.

1. Найдём среднее арифметическое набора ($\bar{x}_b$):
$\bar{x}_b = \frac{3 + 5 + 7 + 9 + 12 + 14 + 16 + 18}{8} = \frac{84}{8} = 10.5$.

2. Вычислим сумму квадратов отклонений от среднего:
$\sum(x_i - \bar{x}_b)^2 = (3-10.5)^2 + (5-10.5)^2 + (7-10.5)^2 + (9-10.5)^2 + (12-10.5)^2 + (14-10.5)^2 + (16-10.5)^2 + (18-10.5)^2$
$= (-7.5)^2 + (-5.5)^2 + (-3.5)^2 + (-1.5)^2 + (1.5)^2 + (3.5)^2 + (5.5)^2 + (7.5)^2$
$= 56.25 + 30.25 + 12.25 + 2.25 + 2.25 + 12.25 + 30.25 + 56.25 = 202$.

3. Найдём дисперсию набора ($D_b$):
$D_b = \frac{202}{8} = \frac{101}{4} = 25.25$.

Сравнивая вычисленные дисперсии, $D_a \approx 4.67$ и $D_b = 25.25$, мы видим, что $D_b > D_a$. Это подтверждает нашу первоначальную визуальную оценку.
Ответ: рассеивание значений больше у набора (б), так как его дисперсия ($25.25$) больше дисперсии первого набора ($\approx 4.67$).