Номер 5, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

5 Может ли дисперсия числового набора быть отрицательной?

Нет, дисперсия числового набора не может быть отрицательной. Это утверждение следует непосредственно из определения и формулы расчета дисперсии.

Дисперсия является мерой разброса или изменчивости данных. Она показывает, насколько в среднем значения в наборе отклоняются от их среднего арифметического.

Для расчета дисперсии ($D$ или $\sigma^2$) набора чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ с объемом $n$ выполняются следующие шаги:

Сначала вычисляется среднее арифметическое значение $\bar{x}$ (математическое ожидание):

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Затем вычисляется сама дисперсия как среднее значение квадратов отклонений каждого элемента набора от среднего арифметического:

$D = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Проанализируем эту формулу, чтобы понять, почему результат не может быть отрицательным:

1. Для каждого элемента $x_i$ вычисляется его отклонение от среднего: $(x_i - \bar{x})$. Это значение может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

2. Каждое такое отклонение возводится в квадрат: $(x_i - \bar{x})^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. То есть, для любого $i$ выполняется условие $(x_i - \bar{x})^2 \ge 0$.

3. В числителе формулы находится сумма этих неотрицательных величин: $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$. Сумма неотрицательных чисел также всегда неотрицательна, то есть $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \ge 0$.

4. В знаменателе стоит $n$ — количество элементов в наборе, которое по определению является положительным целым числом ($n > 0$).

Таким образом, дисперсия вычисляется как частное от деления неотрицательного числа на положительное. Результат такой операции никогда не может быть отрицательным. Дисперсия всегда больше или равна нулю ($D \ge 0$).

Дисперсия равна нулю в единственном случае: когда все элементы числового набора равны между собой. В этой ситуации разброс данных отсутствует, каждое значение совпадает со средним, все отклонения равны нулю, и, следовательно, дисперсия тоже равна нулю.

Ответ: Нет, дисперсия числового набора не может быть отрицательной, поскольку она по определению является средним значением квадратов отклонений, а квадрат любого действительного числа — величина неотрицательная.