Номер 2, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Дайте определение дисперсии.

Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние) в теории вероятностей и статистике — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Иными словами, дисперсия показывает, насколько сильно значения случайной величины отклоняются от её среднего значения. Чем больше дисперсия, тем больше изменчивость или разброс данных.

Формально, дисперсия случайной величины $X$ — это математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от её математического ожидания $M(X)$. Обозначается как $D(X)$ или $Var(X)$.

Математическое определение дисперсии:
$D(X) = M[(X - M(X))^2]$

В зависимости от типа случайной величины, эта формула раскрывается по-разному:

• Для дискретной случайной величины, принимающей значения $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$, её математическое ожидание равно $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$. Тогда дисперсия вычисляется как:
  $D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - M(X))^2 p_i$
• Для непрерывной случайной величины с функцией плотности вероятности $f(x)$, её математическое ожидание равно $M(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$. Тогда дисперсия вычисляется как:
  $D(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - M(X))^2 f(x) dx$

Для практических расчетов часто используется более удобная формула, которая выводится из основного определения:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$
Эта формула гласит, что дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её математического ожидания.

В статистике при работе с выборкой данных (набором наблюдений $x_1, x_2, \ldots, x_n$) используется выборочная дисперсия, которая является оценкой истинной (генеральной) дисперсии совокупности, из которой была взята выборка. Существует два её вида:

• Смещённая выборочная дисперсия: $s_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$, где $\bar{x}$ — выборочное среднее.
• Несмещённая (исправленная) выборочная дисперсия: $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$. Она даёт более точную оценку генеральной дисперсии, особенно для малых выборок. Деление на $n-1$ вместо $n$ называется поправкой Бесселя.

Основные свойства дисперсии:

• Дисперсия всегда неотрицательна: $D(X) \ge 0$.
• Дисперсия постоянной величины равна нулю: $D(C) = 0$.
• Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии в квадрате: $D(C \cdot X) = C^2 \cdot D(X)$, где $C$ — константа.
• Если $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий: $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$.

Так как дисперсия измеряется в квадратных единицах исходной величины (например, если рост измеряется в метрах, то дисперсия будет в квадратных метрах), для более наглядной интерпретации разброса используют среднеквадратическое отклонение (или стандартное отклонение), которое равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma = \sqrt{D(X)}$. Оно имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Ответ: Дисперсия (обозначается $D(X)$ или $Var(X)$) — это ключевая характеристика в теории вероятностей и статистике, которая количественно описывает степень разброса или изменчивости значений случайной величины относительно её математического ожидания. Она вычисляется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $D(X) = M[(X - M(X))^2]$. Чем выше значение дисперсии, тем дальше в среднем значения величины отстоят от центра распределения.