Номер 307, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

307 Могут ли все отклонения некоторого набора от среднего арифметического:

а) быть положительными;

б) быть отрицательными;

в) равняться нулю?

Если не могут, объясните почему. Если могут, приведите пример.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определением отклонения и одним из ключевых свойств среднего арифметического. Пусть у нас есть набор из $n$ чисел: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Среднее арифметическое этого набора ($\bar{x}$) вычисляется по формуле:$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

Отклонение каждого числа $x_i$ от среднего арифметического — это разность $d_i = x_i - \bar{x}$.

Важнейшее свойство отклонений от среднего арифметического заключается в том, что их сумма всегда равна нулю:$\sum_{i=1}^{n} d_i = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = (\sum_{i=1}^{n} x_i) - n\bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$

Опираясь на это свойство, рассмотрим каждый пункт вопроса.

а) быть положительными;

Нет, не могут. Если бы все отклонения $d_i$ были положительными ($d_i > 0$), то их сумма $\sum d_i$ была бы строго больше нуля. Это противоречит основному свойству, согласно которому сумма отклонений от среднего арифметического всегда равна нулю. Для того чтобы сумма равнялась нулю, среди отклонений должны быть как положительные, так и отрицательные значения, либо все они должны быть равны нулю.

Ответ: не могут, так как сумма всех отклонений от среднего арифметического всегда равна нулю, а сумма нескольких положительных чисел (для непустого набора) всегда положительна.

б) быть отрицательными;

Нет, не могут. Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. Если бы все отклонения $d_i$ были отрицательными ($d_i < 0$), то их сумма $\sum d_i$ была бы строго меньше нуля. Это также противоречит свойству равенства суммы отклонений нулю.

Ответ: не могут, так как сумма всех отклонений от среднего арифметического всегда равна нулю, а сумма нескольких отрицательных чисел всегда отрицательна.

в) равняться нулю?

Да, могут. Это возможно в том и только в том случае, когда все числа в наборе одинаковы. Если все отклонения равны нулю ($d_i = 0$), то их сумма, очевидно, равна нулю ($\sum 0 = 0$), что не противоречит свойству. Условие $d_i = x_i - \bar{x} = 0$ для всех $i$ означает, что каждый элемент набора $x_i$ равен среднему арифметическому $\bar{x}$. Это справедливо, когда все элементы набора равны между собой.

Пример: для набора чисел $\{4, 4, 4, 4\}$ среднее арифметическое $\bar{x} = \frac{4+4+4+4}{4} = 4$. Отклонение каждого элемента от среднего равно $4 - 4 = 0$. Таким образом, все отклонения в этом наборе равны нулю.

Ответ: могут, если все числа в наборе одинаковы. Например, для набора $\{4, 4, 4\}$ все отклонения от среднего арифметического равны нулю.